C : y = ax 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
4
正の実数 a に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
氏名
a を正の実数とし，p を正の有理数とする．座標平面上の 2 つの曲線 y = axp (x > 0) と
y = log x (x > 0) を考える．この 2 つの曲線の共有点が 1 点のみであるとし，その共有点を
xp
Q とする．以下の問いに答えよ．必要であれば， lim
= 1 を証明なしに用いてよい．
x!1 log x
1 ¡ 4a2
C : y = ax +
4a
2
(1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ．
a が正の実数全体を動くとき，C の通過する領域を図示せよ．
（東京大学 2015 ）
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を p を
用いて表せ．
(3) (2) で得られる立体の体積が 2¼ になるときの p の値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
2
以下の命題 A，B それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反
例を与えよ．
命題 A
命題 B
n3
+ 100 = n 2 が成り立つ．
26
整数 n; m; ` が 5n + 5m + 3` = 1 をみたすならば，10nm + 3m` + 3n` < 0 が成
n が正の整数ならば，
5
数列 fpn g を次のように定める．
p1 = 1;
り立つ．
（東京大学 2015 ）
p2 = 2;
pn+2
p2n+1 + 1
=
pn
(n = 1; 2; 3; Ý)
p2n+1 + p2n + 1
が n によらないことを示せ．
pn+1 pn
(2) すべての n = 2; 3; 4; Ý に対し，pn+1 + pn¡1 を pn のみを使って表せ．
(1)
(3) 数列 fqn g を次のように定める．
3
座標平面上の 2 点 A(¡1; 1)，B(1; ¡1) を考える．また，P を座標平面上の点とし，その x 座
q1 = 1;
q2 = 1;
qn+2 = qn+1 + qn
(n = 1; 2; 3; Ý)
標の絶対値は 1 以下であるとする．次の条件 ‘ または ’ をみたす点 P の範囲を図示し，そ
すべての n = 1; 2; 3; Ý に対し，pn = q2n¡1 を示せ．
の面積を求めよ．
（東京大学 2015 ）
‘ 頂点の x 座標の絶対値が 1 以上の 2 次関数のグラフで，点 A，P，B をすべて通るものがある．
’ 点 A，P，B は同一直線上にある．
（東京大学 2015 ）
6
m を 2015 以下の正の整数とする．2015 Cm が偶数となる最小の m を求めよ．
（東京大学 2015 ）
7
` を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の 3 条件 ‘，’，“
で定まる円 C1 ，C2 を考える．
¼
7
; S =
であるとき，tan ® + tan ¯ の値を求めよ．さらに，® 5 ¯ のとき，
4
6
tan ® の値を求めよ．
(2) ® + ¯ =
‘ 円 C1 ，C2 は 2 つの不等式 x = 0，y = 0 で定まる領域に含まれる．
’ 円 C1 ，C2 は直線 ` と同一点で接する．
“ 円 C1 は x 軸と点 (1; 0) で接し，円 C2 は y 軸と接する．
円 C1 の半径を r1 ，円 C2 の半径を r2 とする．8r1 + 9r2 が最小となるような直線 ` の方程式と，
その最小値を求めよ．
（東京大学 2014 ）
（東京大学 2015 ）
8
以下の問いに答えよ．
(1) t を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数 f(x) を
f(x) = ¡2x2 + 8tx ¡ 12x + t3 ¡ 17t2 + 39t ¡ 18
と定める．このとき，関数 f(x) の最大値を t を用いて表せ．
1
(2) (1) の「関数 f(x) の最大値」を g(t) とする．t が t = ¡ p の範囲を動くとき，g(t) の最小
2
値を求めよ．
（東京大学 2014 ）
9
1 辺の長さが 1 の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える．3 点 P，Q，R を，それぞ
れ辺 AE，辺 BF，辺 CG 上に，4 点 O，P，Q，R が同一平面上にあるようにとる．四角形 OPQR
の面積を S とおく．また，ÎAOP を ®，ÎCOR を ¯ とおく．
(1) S を tan ® と tan ¯ を用いて表せ．
10 u を実数とする．座標平面上の 2 つの放物線
C1 : y = ¡x2 + 1
C2 : y = (x ¡ u)2 + u
を考える．C1 と C2 が共有点をもつような u の値の範囲は，ある実数 a; b により，a 5 u 5 b
と表される．
(1) a; b の値を求めよ．
(2) u が a 5 u 5 b をみたすとき，C1 と C2 の共有点を P1 (x1 ; y1 )，P2 (x2 ; y2 ) とする．ただし，
共有点が 1 点のみのときは，P1 と P2 は一致し，ともにその共有点を表すとする．
2 x1 y 2 ¡ x2 y 1
を u の式で表せ．
(3) (2) で得られる u の式を f(u) とする．定積分
I=
Z
b
a
f(u) du
を求めよ．
（東京大学 2014 ）

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