年 番号 1 4 正の実数 a に対して,座標平面上で次の放物線を考える. 氏名 a を正の実数とし ,p を正の有理数とする.座標平面上の 2 つの曲線 y = axp (x > 0) と y = log x (x > 0) を考える.この 2 つの曲線の共有点が 1 点のみであるとし ,その共有点を xp Q とする.以下の問いに答えよ.必要であれば, lim = 1 を証明なしに用いてよい. x!1 log x 1 ¡ 4a2 C : y = ax + 4a 2 (1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ. a が正の実数全体を動くとき,C の通過する領域を図示せよ. ( 東京大学 2015 ) (2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を,x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を p を 用いて表せ. (3) (2) で得られる立体の体積が 2¼ になるときの p の値を求めよ. ( 東京大学 2015 ) 2 以下の命題 A,B それぞれに対し,その真偽を述べよ.また,真ならば証明を与え,偽ならば反 例を与えよ. 命題 A 命題 B n3 + 100 = n 2 が成り立つ. 26 整数 n; m; ` が 5n + 5m + 3` = 1 をみたすならば,10nm + 3m` + 3n` < 0 が成 n が正の整数ならば, 5 数列 fpn g を次のように定める. p1 = 1; り立つ. ( 東京大学 2015 ) p2 = 2; pn+2 p2n+1 + 1 = pn (n = 1; 2; 3; Ý) p2n+1 + p2n + 1 が n によらないことを示せ. pn+1 pn (2) すべての n = 2; 3; 4; Ý に対し,pn+1 + pn¡1 を pn のみを使って表せ. (1) (3) 数列 fqn g を次のように定める. 3 座標平面上の 2 点 A(¡1; 1),B(1; ¡1) を考える.また,P を座標平面上の点とし,その x 座 q1 = 1; q2 = 1; qn+2 = qn+1 + qn (n = 1; 2; 3; Ý) 標の絶対値は 1 以下であるとする.次の条件 ‘ または ’ をみたす点 P の範囲を図示し,そ すべての n = 1; 2; 3; Ý に対し,pn = q2n¡1 を示せ. の面積を求めよ. ( 東京大学 2015 ) ‘ 頂点の x 座標の絶対値が 1 以上の 2 次関数のグラフで,点 A,P,B をすべて通るものがある. ’ 点 A,P,B は同一直線上にある. ( 東京大学 2015 ) 6 m を 2015 以下の正の整数とする.2015 Cm が偶数となる最小の m を求めよ. ( 東京大学 2015 ) 7 ` を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする.さらに,以下の 3 条件 ‘,’,“ で定まる円 C1 ,C2 を考える. ¼ 7 ; S = であるとき,tan ® + tan ¯ の値を求めよ.さらに,® 5 ¯ のとき, 4 6 tan ® の値を求めよ. (2) ® + ¯ = ‘ 円 C1 ,C2 は 2 つの不等式 x = 0,y = 0 で定まる領域に含まれる. ’ 円 C1 ,C2 は直線 ` と同一点で接する. “ 円 C1 は x 軸と点 (1; 0) で接し,円 C2 は y 軸と接する. 円 C1 の半径を r1 ,円 C2 の半径を r2 とする.8r1 + 9r2 が最小となるような直線 ` の方程式と, その最小値を求めよ. ( 東京大学 2014 ) ( 東京大学 2015 ) 8 以下の問いに答えよ. (1) t を実数の定数とする.実数全体を定義域とする関数 f(x) を f(x) = ¡2x2 + 8tx ¡ 12x + t3 ¡ 17t2 + 39t ¡ 18 と定める.このとき,関数 f(x) の最大値を t を用いて表せ. 1 (2) (1) の「関数 f(x) の最大値」を g(t) とする.t が t = ¡ p の範囲を動くとき,g(t) の最小 2 値を求めよ. ( 東京大学 2014 ) 9 1 辺の長さが 1 の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える.3 点 P,Q,R を,それぞ れ辺 AE,辺 BF,辺 CG 上に,4 点 O,P,Q,R が同一平面上にあるようにとる.四角形 OPQR の面積を S とおく.また,ÎAOP を ®,ÎCOR を ¯ とおく. (1) S を tan ® と tan ¯ を用いて表せ. 10 u を実数とする.座標平面上の 2 つの放物線 C1 : y = ¡x2 + 1 C2 : y = (x ¡ u)2 + u を考える.C1 と C2 が共有点をもつような u の値の範囲は,ある実数 a; b により,a 5 u 5 b と表される. (1) a; b の値を求めよ. (2) u が a 5 u 5 b をみたすとき,C1 と C2 の共有点を P1 (x1 ; y1 ),P2 (x2 ; y2 ) とする.ただし, 共有点が 1 点のみのときは,P1 と P2 は一致し,ともにその共有点を表すとする. 2 x1 y 2 ¡ x2 y 1 を u の式で表せ. (3) (2) で得られる u の式を f(u) とする.定積分 I= Z b a f(u) du を求めよ. ( 東京大学 2014 )
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