転位の応力場について

転位の応力場について
by T.Koyama
１．等方弾性体における構成方程式
まず、フ−リエ変換および逆フ−リエ変換を、関数 f (r ) のフ−リエ変換を F ( k ) として、
F (k ) =
1
V
∫
r
f (r ) exp( −ikr )dr
f (r ) = ∫ F ( k ) exp(ikr )
k
dk
(2π )3
にて定義しよう。関係式として、デルタ関数はフ−リエ変換にて
1
V
∫ exp( −ikr )dr = δ (k )
r
と表現できる。なぜなら、デルタ関数の定義から、 F ( k ) = δ ( k ) と置くと、
f (r ) = ∫ δ ( k ) exp(ikr )
k
dk
=1
(2π )3
であり、 f (r ) = 1 であるので、
δ (k ) = F (k ) =
1
V
∫
r
f (r ) exp( −ikr )dr =
1
V
∫ exp(−ikr )dr
r
となるからである。ちなみに、この関係を用いて、
1
f (r ) exp( −ikr )dr
V ∫r
1
dk'
= ∫ ∫ F ( k') exp(ik'r )
exp( −ikr )dr
(2π )3
V r k'
1 1
=
F ( k') exp{i ( k' − k ) r}dk'dr
(2π )3 V ∫r ∫k'
F (k ) =
⎡1
= ∫ F ( k') ⎢
k'
⎣V
⎤ dk'
∫ exp{i(k' − k ) r}dr ⎥⎦ (2π )
r
= ∫ F ( k')δ ( k' − k )
k'
3
dk'
= F (k )
(2π )3
となっていることがわかる。
さて、原子の変位場と eigen 歪場をそれぞれ u(r ) および eklT (r ) とし、そのフーリエ表現を
dk
k
(2π )3
dk
eklT (r ) = ∫ eklT ( k ) exp(ikr )
k
(2π )3
u(r ) = ∫ U( k ) exp(ikr )
と定義する。これより拘束歪の変動量 δ eklc (r ) = eklc (r ) − eklc はその定義から、
1
δ eklc (r ) =
dk
1 ⎛ ∂ uk ∂ ul ⎞ 1
+
⎜
⎟ = ∫k i{klU k ( k ) + kkU l ( k )}exp(ikr )
2 ⎝ ∂ rl ∂ rk ⎠ 2
(2π )3
にて与えられる。また、弾性歪エネルギ−は、
Estr =
=
=
=
=
=
1
1
1
σ ij eij dr +
σ ijA eijA dr − ∫ σ ijA eijT dr
∫
∫
V r
2V r
2V r
1
1
1
Cijkl ( eklc + δ eklc − eklT )( eijc + δ eijc − eijT )dr +
Cijkl eklA eijA dr − ∫ Cijkl eklA eij0 dr
∫
∫
V r
2V r
2V r
1
1
1
Cijkl {δ eklc − ( eklT − eklc )}{δ eijc − ( eijT − eijc )}dr +
Cijkl eklA eijA dr − ∫ Cijkl eklA eijT dr
∫
∫
V r
2V r
2V r
1
1
1
Cijkl ( eijT − eijc )( eklT − eklc )dr − ∫ Cijkl ( eklT − eklc )δ eijc dr +
Cijklδ eijcδ eklc dr
∫
∫
r
r
r
V
2V
2V
1
1
+
Cijkl eklA eijA dr − ∫ Cijkl eklA eijT dr
∫
r
V r
2V
1
1
1
Cijkl eijT − eijT
eklT − eklT dr − ∫ Cijkl eklT − eklT δ eijc dr +
Cijklδ eijcδ eklc dr
∫
∫
r
r
r
V
2V
2V
1
1
+
Cijkl eklA eijA dr − ∫ Cijkl eklA eijT dr
∫
r
V r
2V
1
1
1
Cijkl eijT − eijT
eklT − eklT
− ∫ Cijkl eklT − eklT δ eijc dr +
Cijklδ eijcδ eklc dr
∫
r
r
V
2V
2V
1
1
+
Cijkl eklA eijA dr − ∫ Cijkl eklA eijT dr
∫
r
V r
2V
(
(
)(
)(
)
(
)
(
)
)
にて与えられるので、平均拘束歪については、力の釣り合い条件から、
∂ Estr 1
=
∂ eijc V
1
V
1
V
∫C
r
ijkl
( eklc + δ eklc − eklT )dr = 0
1
1
Cijklδ eklc dr −
∫
r
V r
V
1
c
T
∫r Cijkl ekl dr − V ∫r Cijkl ekl dr = 0
1
Cijkl eklc − Cijkl ∫ eklT dr = 0
V r
1
⎛
⎞
Cijkl ⎜ eklc − ∫ eklT dr ⎟ = 0
r
V
⎝
⎠
1
∴ eklc = ∫ eklT (r )dr = eklT (r )
V r
∫C
e dr +
c
ijkl kl
∫C
r
e dr = 0
T
ijkl kl
が成立している。つまり、平均の拘束歪 eklc は、eigen 歪の平均値に等しい。
次に平衡方程式を定義しよう。ただし弾性率は定数と仮定する。
2
⎧⎪ ∂δ eklc (r ) ∂ eklT (r ) ⎫⎪
−
⎬ = 0,
∂ rj ⎪⎭
⎪⎩ ∂ rj
σ ij , j = Cijkl ⎨
⎧⎪ ∂δ eklc (r ) ∂ eklT (r ) ⎫⎪
∴ Cijkl ⎨
−
⎬=0
∂ rj ⎪⎭
⎪⎩ ∂ rj
これより、平衡方程式のフーリエ表現
c
T
⎪⎧ ∂δ ekl (r ) ∂ ekl (r ) ⎪⎫
−
Cijkl ⎨
⎬=0
∂ rj ⎪⎭
⎪⎩ ∂ rj
⎧ 1
dk
dk ⎫
− ∫ ik j eklT ( k ) exp(ikr )
Cijkl ⎨ − ∫ k j {klU k ( k ) + kkU l ( k )}exp(ikr )
⎬=0
3
k
(2π )
(2π )3 ⎭
⎩ 2 k
1
dk
⎡
⎤
T
∫k ⎢⎣ −Cijkl 2 k j {klU k (k ) + kkU l (k )} − iCijkl k j ekl (k )⎥⎦ exp(ikr ) (2π )3 = 0
1
−Cijkl k j {klU k ( k ) + kkU l ( k )} − iCijkl k j eklT ( k ) = 0
2
Cijkl k j klU k ( k ) + Cijkl k j kkU l ( k )
= −iCijkl k j eklT ( k )
2
を得る。ここで、両辺の ij を pq に、また右辺の kl を mn に変える。両辺の ij を pq に変え
る理由は、虚数 i と添え字の i が紛らわしいからである。また右辺の kl を mn に変える理由
は、本来、拘束歪( kkU l ( k ) に関係する部分)と固有歪( ηkl Q ( k ) に関係する部分)は常に同じ方
向を向く必要はないからである。したがって、前者の添え字はそのままに、また後者の添
え字を mn に変える。また j (もしくは i )方向は、平衡方程式にて応力を微分する方向であ
り、これは両辺とも共通しているので、ij を pq に変える際には両辺の全てを同時に変えな
くてはならない。したがって、平衡方程式のフーリエ表現は、
C pqkl k q klU k ( k ) + C pqkl k q kkU l ( k )
2
T
= −iC pqmn k q emn
(k )
にて与えられる。さらに、弾性定数の対称性から、 C pqkl k q klU k ( k ) = C pqkl k q kkU l (k ) であるの
で、最終的に、
T
C pqkl k q kkU l ( k ) = −iC pqmn k q emn
(k )
が得られる。ここで、
G pl−1 ( k ) = C pqkl k q kk
を定義すると、 U l ( k ) は、
T
C pqkl k q kkU l ( k ) = −iC pqmn k q emn
(k )
∴ U l ( k ) = −iG pl ( k )C pqmn k q emT n ( k )
となるので、
3
1
dk
i{klU k ( k ) + kkU l ( k )}exp(ikr )
∫
k
2
(2π )3
1
dk
T
( k ) exp(ikr )
= ∫ {G pk ( k )k q kl + G pl ( k )k q kk }C pqmn emn
2 k
( 2π )3
δ eklc (r ) =
より、拘束歪は、
eklc (r ) = eklc + δ eklc (r )
1
dk
T
{G pk ( k )kq kl + G pl ( k )k q kk }C pqmn emn
( k ) exp(ikr )
∫
2 k
( 2π )3
1
dk
T
= eklT (r ) + ∫ {Ω pk ( n)nq nl + Ω pl ( n)nq nk }C pqmn emn
( k ) exp(ikr )
k
2
( 2π )3
= eklc +
と計算できることがわかる。ここで、 G pl ( k ) =
G pl ( k )k q kk =
Ω pl ( n)
k
2
Ω pl ( n)
k2
であり、
k 2 nq nk = Ω pl ( n)nq nk
の関係を用いた。また等方体の場合、
G pl ( k ) =
Ω pl ( n) =
k 2 {δ pl ( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k p kl }
(λ + 2µ )µ k
δ pl ( λ + 2 µ ) − (λ + µ )n p nl
6
=
δ pl (λ + 2 µ ) − ( λ + µ )n p nl
(λ + 2µ )µ k 2
(λ + 2µ )µ
である。応力についてはフックの法則から
σ ij (r ) = Cijkl {eklc (r ) − eklT (r )}
⎡
⎤
1
dk
T
= Cijkl ⎢ eklT (r ) + ∫ {Ω pk ( n)nq nl + Ω pl ( n)nq nk }C pqmn emn
− eklT (r ) ⎥
( k ) exp(ikr )
3
2 k
( 2π )
⎣
⎦
dk
1
T
( k ) exp(ikr )
= Cijkl ∫ {Ω pk ( n)nq nl + Ω pl ( n)nq nk }C pqmn emn
− Cijkl eklT (r ) − eklT (r )
3
k
2
(2π )
{
と計算される。また弾性歪 ekl (r ) は
ekl (r ) = eklc (r ) − eklT (r )
1
dk
T
− eklT (r )
{Ω pk ( n)nq nl + Ω pl ( n)nq nk }C pqmn emn
( k ) exp(ikr )
3
∫
k
2
( 2π )
1
dk
T
= ∫ {Ω pk ( n)nq nl + Ω pl ( n)nq nk }C pqmn emn
− eklT (r ) − eklT (r )
( k ) exp(ikr )
3
k
2
( 2π )
= eklT (r ) +
{
である。変位場は、
4
}
}
ul (r ) = ∫ U l ( k ) exp(ikr )
k
dk
dk
T
= ∫ −iG pl ( k )C pqmn k q emn
( k ) exp(ikr )
3
k
(2π )
(2π )3
である。
以上から、弾性歪エネルギ−は、
1
Cijkl eij (r )ekl (r )dr
2V ∫r
1
=
Cijkl ⎡⎣ eijT (r ) + δ eijc (r ) − eijT (r ) ⎤⎦ ⎡⎣ eklT (r ) + δ eklc (r ) − eklT (r ) ⎤⎦ dr
∫
r
2V
1
=
Cijkl ⎡⎣ eijT (r ) − eijT (r ) − δ eijc (r ) ⎤⎦ ⎡⎣ eklT (r ) − eklT (r ) − δ eklc (r ) ⎤⎦ dr
∫
r
2V
1
=
Cijkl ⎡⎣ eijT (r ) − eijT (r ) ⎤⎦ ⎡⎣ eklT (r ) − eklT (r ) ⎤⎦ dr
∫
r
2V
1
1
Cijkl ⎡⎣δ eijc (r ) ⎤⎦ ⎡⎣δ eklc (r ) ⎤⎦ dr
− ∫ Cijkl ⎡⎣δ eijc (r ) ⎤⎦ ⎡⎣ eklT (r ) − eklT (r ) ⎤⎦ dr +
∫
r
r
V
2V
Estr =
と計算される。ここで、
∂ Estr
= −Cijkl ⎡⎣ eijT (r ) + δ eijc (r ) − eijT (r ) ⎤⎦ = Cijkl ⎡⎣ eijT (r ) − eijT (r ) − δ eijc (r ) ⎤⎦ = −σ ij (r )
∂ eklT (r )
である。
２．らせん転位の変位場
らせん転位の eigen 歪場は、
T
T
(r ) = e32
(r ) =
e23
1
bδ ( r2 ) H ( − r1 )
2
にて表現できる（付録参照）。ここで、H はステップ関数で、
H ( − r1 ) = 1, ( r1 < 0)
H ( − r1 ) = 0, ( r1 > 0)
である。eigen 歪場のフーリエ変換は、
5
1
T
(r ) exp( −ikr )dr
e23
∫
r
V
1 1
= ∫ bδ ( r2 ) H ( − r1 ) exp( −ikr )dr
V r2
b
=
δ ( r2 ) H ( − r1 ) exp{−i ( k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}dr1dr2 dr3
2V ∫r1 ∫r2 ∫r3
b
=
H ( − r1 ) exp( −ik1r1 )dr1 ∫ δ ( r2 ) exp( −ik2 r2 )dr2 ∫ exp( −ik3 r3 )dr3
r2
r3
2V ∫r1
b L
1 δ ( k3 )
=
LLδ ( k3 ) = − b
2V −ik1
2 ik1
T
(k ) =
e23
{
}{
}{
}
と計算できる。ここで、δ関数のフーリエ表現
1
exp( −ikr )dr = δ ( k )
L ∫r
と、ステップ関数の空間微分がδ関数に等しいとして、以下の関係式を用いた。
1
δ ( r ) exp( −ikr )dr = 1
L ∫r
dk
dk
δ ( r ) = ∫ F ( k ) exp(ikr )
= ∫ exp(ikr )
k
2π k
2π
1
dk
exp(ikr )
H (r ) = ∫
k ik
2π
1 1
=
H ( r ) exp( −ikr )dr
ik L ∫r
1
1
H ( − r ) exp( −ikr )dr =
∫
−ik
L r
F (k ) =
以上から、らせん転位による変位場は、
6
T
( k ) exp(ikr )
u3 (r ) = ∫ −iG p 3 ( k )C pqmn k q emn
k
dk
(2π )3
T
T
= −i ∫ {G p 3 ( k )C pq 23k q e23
( k ) + G p 3 ( k )C pq 32 k q e32
( k )} exp(ikr )
k
T
= −2i ∫ {G p 3 ( k )C pq 23 k q e23
( k )} exp(ikr )
k
dk
(2π )3
dk
(2π )3
T
T
= −2i ∫ {G23 ( k )C2323 k3 e23
( k ) + G33 ( k )C3223 k2 e23
( k )} exp(ikr )
k
dk
(2π )3
⎧ −( λ + µ ) k 2 k3
⎫ ⎧ 1 δ ( k3 ) ⎫
( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k32
dk
µ k3 +
µ k2 ⎬ ⎨ − b
= −2i ∫ ⎨
⎬ exp(ikr )
4
4
k
(λ + 2µ )µ k
(2π )3
⎩ (λ + 2µ ) µ k
⎭ ⎩ 2 ik1 ⎭
⎧ −( λ + µ )k2 k3 k3 ( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k32 k2 ⎫
dk
δ ( k3 ) exp(ikr )
= b∫ ⎨
+
⎬
4
4
k
( λ + 2 µ )k
(2π )3
k1 ⎭
⎩ ( λ + 2 µ )k k1
=
⎧ ( λ + 2 µ )k 2 k2 − 2( λ + µ )k2 k32 ⎫
dk
b
⎨
⎬ δ ( k3 ) exp(ikr )
4
∫
k
(2π )3
(λ + 2µ ) ⎩
k k1
⎭
=
k2
b
dk
b( λ + µ ) k2 k32
dk
δ
(
)
exp(
)
δ ( k3 ) exp(ikr )
kr
−
k
i
3
2
3
4
∫
∫
2 k k1k
(2π )
( λ + 2 µ ) k k1k
(2π )3
= b∫
k2
dk
δ ( k3 ) exp{i ( k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}
2
2
(2π )3
k1 ( k + k2 + k3 )
= b∫
dk dk
k2
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )} 1 22
2
(2π )
k1 ( k + k2 )
k
k
=
2
1
2
1
⎛r ⎞ b
⎛r ⎞
2π tan −1 ⎜ 2 ⎟ =
tan −1 ⎜ 2 ⎟
(2π )
⎝ r1 ⎠ 2π
⎝ r1 ⎠
b
2
と計算される。ここで、積分の公式、
∫
k
1
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )}dk1dk2 = −π log( r12 + r22 )
2
k + k2
2
1
⎛r ⎞
k2
1
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )}dk1dk2 = 2π tan −1 ⎜ 2 ⎟
2
2
k k k +k
1 1
2
⎝ r1 ⎠
kk
rr
∫k (k12 +1 k2 22 )2 exp{i(k1r1 + k2 r2 )}dk1dk2 = −π r12 1+2r22
∫
rr
k22
1
2
2
∫k (k12 + k22 )2 exp{i(k1r1 + k2 r2 )}dk1dk2 = − 2 π log( r1 + r2 ) − π r12 1+2r22
を用いた。また、
7
dk
k
(2π )3
dk
T
= −2i ∫ {G p 2 ( k )C pq 23 k q e23
( k )} exp(ikr )
k
(2π )3
T
( k ) exp(ikr )
u2 (r ) = ∫ −iG p 2 ( k )C pqmn k q emn
T
= −2i ∫ {G32 ( k )C3223 k2 + G22 ( k )C2323k3 } e23
( k ) exp(ikr )
k
dk
(2π )3
⎧ −( λ + µ ) k3 k 2
⎫ ⎧ 1 δ ( k3 ) ⎫
( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k22
dk
exp(ikr )
µ
µ k3 ⎬ ⎨ − b
= −2i ∫ ⎨
+
k
⎬
2
4
4
k
( 2π )3
(λ + 2µ )µ k
⎩ (λ + 2µ )µ k
⎭ ⎩ 2 ik1 ⎭
=0
dk
T
( k ) exp(ikr )
u1 (r ) = ∫ −iG p1 ( k )C pqmn k q emn
k
(2π )3
dk
T
( k )} exp(ikr )
= −2i ∫ {G p1 ( k )C pq 23k q e23
k
(2π )3
dk
T
( k ) exp(ikr )
= −2i ∫ {G31 ( k )C3223 k2 + G21 ( k )C2323 k3 } e23
k
(2π )3
⎧ −( λ + µ )k3 k1
⎫ ⎧ 1 δ ( k3 ) ⎫
−( λ + µ )k2 k1
dk
µ k2 +
µ k3 ⎬ ⎨ − b
exp(ikr )
= −2i ∫ ⎨
⎬
4
4
k
(λ + 2µ )µ k
(2π )3
⎩ (λ + 2µ )µ k
⎭ ⎩ 2 ik1 ⎭
=0
である。
３．刃状転位の変位場
刃状転位の eigen 歪場は、
T
e21
(r ) = e12T (r ) =
1
bδ ( r2 ) H ( − r1 )
2
にて与えられる（付録参照）。このフーリエ変換は、らせん転位の場合と同様に、
1
T
(r ) exp( −ikr )dr
e21
V ∫r
1 1
= ∫ bδ ( r2 ) H ( − r1 ) exp( −ikr )dr
V r2
1 δ ( k3 )
=− b
2 ik1
T
(k ) =
e21
となる。これより、刃状転位による変位場は、
8
T
u1 (r ) = ∫ −iG p1 ( k )C pqmn k q emn
( k ) exp(ikr )
k
dk
(2π )3
T
( k )} exp(ikr )
= −i ∫ {G p1 ( k )C pq12 k q e12T ( k ) + G p1 ( k )C pq 21k q e21
k
= −2i ∫ {G p1 ( k )C pq12 k q e12T ( k )} exp(ikr )
k
dk
(2π )3
dk
(2π )3
= −2i ∫ {G21 ( k )C2112 k1e12T ( k ) + G11 ( k )C1212 k2 e12T ( k )} exp(ikr )
k
dk
(2π )3
⎧ −( λ + µ )k2 k1
⎫ ⎧ 1 δ ( k3 ) ⎫
( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k12
dk
µ k1 +
µ k2 ⎬ ⎨ − b
= −2i ∫ ⎨
⎬ exp(ikr )
4
4
k
(λ + 2µ )µ k
(2π )3
⎩ (λ + 2µ )µ k
⎭ ⎩ 2 ik1 ⎭
⎧ −( λ + µ )k2 k1 k1 ( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k12 k2 ⎫
dk
δ ( k3 ) exp(ikr )
= b∫ ⎨
+
⎬
4
4
k
k1 ⎭
( λ + 2 µ )k
(2π )3
⎩ ( λ + 2 µ )k k1
=
⎧ ( λ + 2 µ )k 2 k2 − 2( λ + µ )k2 k12 ⎫
b
dk
⎨
⎬ δ ( k3 ) exp(ikr )
4
∫
k
(λ + 2µ ) ⎩
k k1
(2π )3
⎭
= b∫
k2
dk
b( λ + µ ) k1k2
dk
−
δ ( k3 ) exp(ikr )
δ ( k3 ) exp(ikr )
2
3
4
∫
k1k
(2π )
(λ + 2µ ) k k
(2π )3
= b∫
k2
dk
δ ( k3 ) exp{i ( k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}
2
2
k1 ( k + k2 + k3 )
(2π )3
k
k
2
1
k1k2
dk
2b( λ + µ )
δ ( k3 ) exp{i ( k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}
2
2
2
2
∫
(2π )3
( λ + 2 µ ) k ( k1 + k2 + k3 )
−
= b∫
k
k2
k1k2
dk
dk
2 b( λ + µ )
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )}
−
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )}
2
2
2
2 2
∫
k
k1 ( k + k2 )
(2π )
(λ + 2µ )
( k1 + k2 )
(2π ) 2
2
1
=
⎛ r ⎞ 2b( λ + µ ) π
r1r2
2π tan −1 ⎜ 2 ⎟ +
2
2
2
(2π )
⎝ r1 ⎠ (λ + 2 µ ) (2π ) r1 + r2
=
⎛ r ⎞ b 2( λ + µ ) r1r2
b
tan −1 ⎜ 2 ⎟ +
2
2
2π
⎝ r1 ⎠ 4π ( λ + 2 µ ) r1 + r2
=
⎛r ⎞ b
r1r2
b
1
tan −1 ⎜ 2 ⎟ +
2
2
2π
⎝ r1 ⎠ 4π (1 − ν ) r1 + r2
b
2
9
dk
(2π )3
dk
= −2i ∫ {G p 2 ( k )C pq12 k q e12T ( k )} exp(ikr )
k
(2π )3
T
( k ) exp(ikr )
u2 (r ) = ∫ −iG p 2 ( k )C pqmn k q emn
k
= −2i ∫ {G12 ( k )C1212 k2 e12T ( k ) + G22 ( k )C2112 k1e12T ( k )} exp(ikr )
k
dk
(2π )3
⎧ −( λ + µ )k1k2
⎫ ⎧ 1 δ ( k3 ) ⎫
( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k22
dk
µ
= −2i ∫ ⎨
+
µ k1 ⎬ ⎨ − b
exp(ikr )
k
⎬
2
4
4
k
(2π )3
(λ + 2µ )µ k
⎩ (λ + 2µ )µ k
⎭ ⎩ 2 ik1 ⎭
⎧ −( λ + µ )k22 ( λ + 2 µ )k 2 − ( λ + µ )k22 ⎫
dk
= b∫ ⎨
+
⎬ δ ( k3 ) exp(ikr )
4
4
k
( λ + 2 µ )k
(2π )3
⎩ ( λ + 2 µ )k
⎭
⎧ ( λ + 2 µ )k 2 k2 − 2( λ + µ )k2 k12 ⎫
b
dk
=
⎨
⎬ δ (k3 ) exp(ikr )
4
∫
k
(λ + 2µ ) ⎩
(2π )3
k k1
⎭
= b∫
k
= b∫
k
2b( λ + µ ) k22
1
dk
dk
δ
r
)
−
δ ( k3 ) exp(ikr )
k
(
)
exp(
k
i
3
3
4
2
∫
k
(2π )
(λ + 2µ )
(2π )3
k
k
1
dk
δ ( k3 ) exp{i (k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}
2
2
2
( k1 + k2 + k3 )
(2π )3
k22
2b( λ + µ )
dk
δ ( k3 ) exp{i ( k1r1 + k2 r2 + k3 r3 )}
2
2
2 2
∫
k
(λ + 2µ )
( k1 + k2 + k3 )
(2π )3
−
= b∫
k22
2b( λ + µ )
1
dk
dk
−
exp{i ( k1r1 + k2 r2 )}
exp{
(
+
)}
i
k
r
k
r
1
1
2
2
2
2
2
2
2 2
∫
k
(2π )
(λ + 2µ )
( k1 + k2 )
(2π ) 2
( k1 + k2 )
=−
b
k
=−
=
(2π )
π log( r12 + r22 ) −
2
r22 ⎫
2b( λ + µ ) 1 ⎧ 1
2
2
π
π
log(
)
−
+
−
r
r
⎨
⎬
1
2
( λ + 2 µ ) (2π )2 ⎩ 2
r12 + r22 ⎭
r22 ⎫
1 ⎧ 1
b
b
2
2
log( r12 + r22 ) −
log(
)
−
+
−
r
r
⎨
⎬
1
2
4π
4π (1 − ν ) ⎩ 2
r12 + r22 ⎭
b
8π
r22
1
b
⎛ 2ν − 1 ⎞
2
2
+
+
log(
)
r
r
1
2
⎜
⎟
4π (1 − ν ) r12 + r22
⎝ 1 −ν ⎠
および
T
( k ) exp(ikr )
u3 (r ) = ∫ −iG p 3 ( k )C pqmn k j emn
k
dk
=0
(2π )3
にて与えられる。またラーメの定数とポアソン比の関係は、ν =
2( λ + µ )
1
1
1
1
=
=
=
=
λ + 2µ
λ
λ
1 −ν
λ + 2µ
1−
1−
2λ + 2 µ
2λ + 2 µ
2(λ + µ )
である。
４．らせん転位の応力場
10
λ
2( λ + µ )
より、
らせん転位の変位場が得られたので、これを微分することによって応力場は以下のよう
に計算される。まず変位場をまとめると、
u1 (r ) = u2 (r ) = 0
u3 (r ) =
⎛r ⎞
b
tan −1 ⎜ 2 ⎟
2π
⎝ r1 ⎠
である。これより、
∂ u3
b
=
∂ r1 2π
⎛ r2 ⎞
r2
b
⎜− 2 ⎟ = −
2
2π r1 + r22
⎛ r2 ⎞ ⎝ r1 ⎠
1+ ⎜ ⎟
⎝ r1 ⎠
1
2
⎛1⎞ b
r1
⎜ ⎟=
2
2
⎛ r2 ⎞ ⎝ r1 ⎠ 2π r1 + r2
1+ ⎜ ⎟
⎝ r1 ⎠
∂ u1 ∂ u1 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u2 ∂ u2 ∂ u3
=
=
=
=
=
=
=0
∂ r1 ∂ r2 ∂ r3
∂ r1
∂ r2
∂ r3
∂ r3
∂ u3
b
=
∂ r2 2π
1
2
となり、拘束歪変動量は、
δ e11c =
∂u
∂ u1
∂u
c
c
= 0, δ e22
= 2 = 0, δ e33
= 3 =0
∂ r1
∂ r2
∂ r3
1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
1⎛
1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
1⎛ b
δ e12c = δ e21c = ⎜ 1 + 2 ⎟ = 0
2 ⎝ ∂ r2 ∂ r1 ⎠
⎞
r
b
r
b
2
2
δ e13c = δ e31c = ⎜ 1 + 3 ⎟ = ⎜ −
⎟=−
2 ⎝ ∂ r3 ∂ r1 ⎠ 2 ⎝ 2π r12 + r22 ⎠
4π r12 + r22
r
⎞
b
r
1
1
δ e23c = δ e32c = ⎜ 2 + 3 ⎟ = ⎜
=
2
2 ⎟
2
2 ⎝ ∂ r3 ∂ r2 ⎠ 2 ⎝ 2π r1 + r2 ⎠ 4π r1 + r22
T
T
と計算される。ここで、らせん転位の eigen 歪場 e23
(r ) = e32
(r ) =
1
bδ ( r2 ) H ( − r1 ) の空間平均
2
は、
1
T
e23
( r ) dr
∫
r
V
1
1
= ∫ ∫ ∫ bδ ( r2 ) H ( − r1 )dr1dr2 dr3
r
r
r
V 1 2 32
1 1
= b ∫ H ( − r1 )dr1 ∫ δ ( r2 )dr2 ∫ dr3
r2
r3
2 V r1
b
1 1 L
= b
L=
2 V 2
2L
T
e23
(r ) =
T
であるので、 L → ∞ において e23
(r ) → 0 となる。したがって、平均の拘束歪 eijc は０とおい
11
て良い。したがって、拘束歪は、
c
c
c
e11c = e22
= e33
= e12c = e21
=0
c
=−
e13c = e31
c
c
= e32
=
e23
r2
b
2
4π r1 + r22
r1
b
2
4π r1 + r22
と表現される。これより応力場は、
T
c
T
σ 11 = C11kl ( eklc − eklT ) = C1111 ( e11c − e11T ) + C1122 ( e22c − e22
) + C1133 ( e33
− e33
)=0
T
c
T
σ 22 = C22 kl ( eklc − eklT ) = C2211 ( e11c − e11T ) + C2222 ( e22c − e22
) + C2233 ( e33
− e33
)=0
T
c
T
σ 33 = C33kl ( eklc − eklT ) = C3311 ( e11c − e11T ) + C3322 ( e22c − e22
) + C3333 ( e33
− e33
)=0
T
)=0
σ 12 = C12 kl ( eklc − eklT ) = C1212 ( e12c − e12T ) + C1221 ( e21c − e21
T
) = 2 µ ( e13c − e13T )
σ 13 = C13kl ( eklc − eklT ) = C1313 ( e13c − e13T ) + C1331 ( e31c − e31
T
c
T
c
T
) + C2332 ( e32
− e32
) = 2 µ ( e23
σ 23 = C23kl ( eklc − eklT ) = C2323 ( e23c − e23
− e23
)
にて与えられるので、先の拘束歪式を代入して、らせん転位の応力場は、
σ 11 = σ 22 = σ 33 = σ 12 = 0
µ b r2
− 2 µ e13T
2
2
2π r1 + r2
µ b r1
T
c
T
T
σ 23 = 2 µ ( e23c − e23
) = 2 µ e23
− 2 µ e23
=
− 2 µ e23
2
2
2π r1 + r2
σ 13 = 2 µ ( e13c − e13T ) = 2 µ e13c − 2 µ e13T = −
と計算される。
５．刃状転位の応力場
刃状転位の変位場が得られたので、これを微分することによって応力場は以下のように
計算される。まず変位場をまとめると、
⎛r ⎞
r1r2
b
b
tan −1 ⎜ 2 ⎟ +
2
2
2π
⎝ r1 ⎠ 4π (1 − ν ) r1 + r2
r22
b 2ν − 1
b
log( r12 + r22 ) +
u2 ( r ) =
8π 1 − ν
4π (1 − ν ) r12 + r22
u1 (r ) =
u3 (r ) = 0
である。これより、
12
∂ u1
b
=
∂ r1 2π
⎛ r2 ⎞
r2 ( r12 + r22 ) − 2r12 r2
r2
r2 ( r22 − r12 )
b
b
b
−
+
=
−
+
2 ⎜
2 ⎟
( r12 + r22 ) 2
2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
⎛ r2 ⎞ ⎝ r1 ⎠ 4π (1 − ν )
1+ ⎜ ⎟
⎝ r1 ⎠
1
⎛1⎞
r1 ( r12 − r22 )
r1 ( r12 + r22 ) − 2r1r22
r1
b
b
b
+
+
=
⎟
2 ⎜
( r12 + r22 ) 2
2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
⎛ r2 ⎞ ⎝ r1 ⎠ 4π (1 − ν )
1+ ⎜ ⎟
⎝ r1 ⎠
r1r22
∂ u2
b 2ν − 1 r1
b
=
−
∂ r1 4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
∂ u1
b
=
∂ r2 2π
1
r12 r2
∂ u2
b 2ν − 1 r2
b
=
+
∂ r2 4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
∂ u1 ∂ u2 ∂ u3 ∂ u3 ∂ u3
=
=
=
=
=0
∂ r3 ∂ r3
∂ r1
∂ r2
∂ r3
となり、拘束歪の変動量は、
δ e11c =
∂ u1
r2
r2 ( r22 − r12 )
b
b
=−
+
2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
∂ r1
δ e22c =
∂ u2
r12 r2
b 2ν − 1 r2
b
=
+
∂ r2 4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 )2
1 ⎛ ∂u
∂u ⎞
δ e12c = ⎜ 1 + 2 ⎟
2 ⎝ ∂ r2 ∂ r1 ⎠
=
r1r22 ⎤
r1
r1 ( r12 − r22 ) b 2ν − 1 r1
1⎡ b
b
b
−
+
+
2 ⎢⎣ 2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2 4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2 ⎥⎦
=
1⎡ b
2 ⎣⎢ 2π
=
r1 ( r12 − 3r22 )
b ⎛ 1 ⎞ r1
b
+
⎜
⎟
8π ⎝ 1 − ν ⎠ r12 + r22 8π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
=
r1 ( r12 − r22 )
b
4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
r1 ( r12 − r22 ) − 2r1r22 ⎤
b
2ν − 1 ⎞ r1
⎛
+
+
1
⎜
⎟
⎥
2 − 2ν ⎠ r12 + r22 4π (1 − ν )
( r12 + r22 ) 2
⎝
⎦
δ e13c = δ e23c = δ e31c = δ e32c = δ e33c = 0
δ e11c + δ e22c = −
=−
r2
r2 ( r22 − r12 ) b 2ν − 1 r2
r12 r2
b
b
b
+
+
+
2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2 4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
r2 ( r22 − r12 )
2r12 r2
b 2(1 − ν ) r2
b 2ν − 1 r2
b
b
+
+
+
4π 1 − ν r12 + r22 4π 1 − ν r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
=
r2 ( r12 + r22 )
b 4ν − 3 r2
b
+
4π 1 − ν r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 )2
=
b 2ν − 1 r2
2π 1 − ν r12 + r22
T
(r ) = e12T (r ) =
と計算される。ここで、刃状転位の eigen 歪場 e21
13
1
bδ ( r2 ) H ( − r1 ) の空間平均は、
2
1
T
e21
( r ) dr
V ∫r
1
1
= ∫ ∫ ∫ bδ ( r2 ) H ( − r1 )dr1dr2 dr3
V r1 r2 r3 2
1 1
= b ∫ H ( − r1 )dr1 ∫ δ ( r2 )dr2 ∫ dr3
r2
r3
2 V r1
b
1 1 L
= b
L=
2 V 2
2L
T
e21
(r ) =
T
であるので、 L → ∞ において e21
(r ) → 0 となる。したがって、平均の拘束歪 eijc は０とおい
て良い。したがって、拘束歪は、
r2
r2 ( r22 − r12 )
r2
b
b
b
b ( λ + µ ) r2 ( r22 − r12 )
e =−
+
=−
+
2π r12 + r22 4π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
2π r12 + r22 2π λ + 2 µ ( r12 + r22 )2
c
11
c
e22
=
r12 r2
r2
r12 r2
µ
b 2ν − 1 r2
b
b
b (λ + µ )
+
=
−
+
4π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
2π λ + 2 µ r12 + r22 π λ + 2 µ ( r12 + r22 ) 2
e12c =
r1 ( r12 − r22 )
b
4π (1 − ν ) ( r12 + r22 )2
c
c
c
c
e13c = e23
= e31
= e32
= e33
=0
c
e11c + e22
=
r2
b 2ν − 1 r2
b µ
=−
2
2
2
π λ + 2µ r1 + r22
2π 1 − ν r1 + r2
と表現される。なおここで、
1
=
1 −ν 1 −
1
λ
1
=
1−
2( λ + µ )
λ
2λ + 2 µ
=
1
2( λ + µ )
=
λ + 2µ
λ + 2µ
2λ + 2 µ
λ
−1
−2 µ
2ν − 1
2λ − 2( λ + µ )
2( λ + µ )
=
=
=
λ
1 −ν
2( λ + µ ) − λ
λ + 2µ
1−
2( λ + µ )
2
λ
ν
1 −ν
=
2( λ + µ )
1−
λ
2( λ + µ )
=
λ
λ
=
2( λ + µ ) − λ λ + 2 µ
である。これより応力場は、
14
T
c
T
σ 11 = C11kl ( eklc − eklT ) = C1111 ( e11c − e11T ) + C1122 ( e22c − e22
) + C1133 ( e33
− e33
)
c
c
= ( λ + 2 µ )e11c + λ e22
= λ ( e11c + e22
) + 2 µ e11c
T
c
T
σ 22 = C22 kl ( eklc − eklT ) = C2211 ( e11c − e11T ) + C2222 ( e22c − e22
) + C2233 ( e33
− e33
)
c
c
c
= ( λ + 2 µ )e22
+ λ e11c = λ ( e11c + e22
) + 2 µ e22
T
c
T
c
σ 33 = C33kl ( eklc − eklT ) = C3311 ( e11c − e11T ) + C3322 ( e22c − e22
) + C3333 ( e33
− e33
) = λ ( e11c + e22
)
T
σ 12 = C12 kl ( eklc − eklT ) = C1212 ( e12c − e12T ) + C1221 ( e21c − e21
) = 2 µ ( e12c − e12T )
σ 13 = σ 23 = 0
にて与えられるので、先の拘束歪式を代入して、刃状転位の応力場は、
σ 33 = λ ( e11c + e22c ) = −
r2
r2
b µν
=−
2
2
π λ + 2 µ r + r2
π 1 − ν r1 + r22
b
λµ
2
1
σ 11 = λ ( e11c + e22c ) + 2 µ e11c
=−
⎧ b
r2
r2
r2 ( r22 − r12 ) ⎫
b µν
b
µ
+
2
−
+
⎨
2
2
2
2 2 ⎬
π 1 − ν r12 + r22
⎩ 2π r1 + r2 4π (1 − ν ) ( r1 + r2 ) ⎭
=−
r2
r2 ( r22 − r12 )
µb
b µν
b µ (1 − ν ) r2
−
+
π 1 − ν r12 + r22 π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
r2
r2 ( r22 − r12 )
µb
b µ
=−
+
π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
⎧ 2r2 ( r12 + r22 ) − r2 ( r22 − r12 ) ⎫
r2 (3r12 + r22 )
µb
=
−
⎨
⎬
2π (1 − ν ) ⎩
( r12 + r22 )2
2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
⎭
c
c
= λ ( e11c + e22
) + 2 µ e22
=−
σ 22
=−
µb
⎧ b (2ν − 1) r2
r2
r12 r2 ⎫
b µν
b
+
2
µ
+
⎨
2
2
2
2 2 ⎬
π 1 − ν r12 + r22
⎩ 4π 1 − ν r1 + r2 2π (1 − ν ) ( r1 + r2 ) ⎭
r2
r12 r2
µ b 2ν
µ b (2ν − 1) r2
µb
=−
+
+
2π 1 − ν r12 + r22 2π 1 − ν r12 + r22 π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
=−
=
2r12 r2
r2
µb 1
µb
+
2π 1 − ν r12 + r22 2π (1 − ν ) ( r12 + r22 ) 2
µb
⎧ − r2 ( r12 + r22 ) + 2r12 r2 ⎫
r2 ( r12 − r22 )
µb
=
⎨
⎬
2
2 2
2π (1 − ν ) ⎩
( r12 + r22 ) 2
⎭ 2π (1 − ν ) ( r1 + r2 )
σ 12 = 2 µ ( e12c − e12T ) = 2 µ e12c − 2 µ e12T =
µb
r1 ( r12 − r22 )
− 2 µ e12T
2
2 2
2π (1 − ν ) ( r1 + r2 )
と計算される。
「付録：転位における eigen 歪の一般的表記」
転位が走った２次元領域をSとしよう。Sは曲がっていても良い。この曲面Sのエッジに転
位が存在し、このエッジが転位線Lである。転位線Lに沿う単位ベクトルをνとし（方向は
どちらでも良い）、バーガース回路を、右ネジが進む方向がν方向に一致するように取る。
バーガース回路の起点と終点はS面に取るが、この起点と終点は転位が存在するので一致し
15
ない。起点側の面をS-とし、終点側の面をS+とする（なお便宜的にS-およびS+と記している
だけでいずれも座標的にはS面である）。S+面上の終点をS-面上の起点に対して相対的にずら
したベクトルをバーガースベクトルbと定義する。つまり、b=(S+面上の終点)−(S-面上の起
点)である。またS+面からS-面に向けて垂直に立てたベクトルをnとする（したがってnはバ
ーガース回路に沿ってS面を垂直に貫く単位ベクトルとなる）。νとbが直交する場合が刃状
転位で、平行な場合がらせん転位である。この転位のeigen変形勾配 β *ji は、
β *ji ( x ) = −bi n jδ (S − r )
にて与えられる。δ (S − r ) は１次元デルタ関数で、S − r は任意の点 r の S 面からの距離であ
る。つまり、 β *ji は点 r が S 面上に存在する場合にのみ値を持つ。これより転位による eigen
歪は、
eijT (r ) =
1 *
1
( β ij + β *ji ) = − (b j ni + bi n j )δ (S − r )
2
2
にて定義される。
具体的にすべり面が平面である１本の転位について考えて見よう。まず、x 軸を書く。
次に x 軸の負の数直線部分を全て含むように平面 S 面を置く。この面がすべり面である。
続いて x 軸の原点からこの S 面に垂直に y 軸を置く。座標は右手系を用いるので、x 軸を y
軸側に回転させたときに右ネジの進む方向に z 軸を取る。これより S 面は x-z 平面(x<0)と
なり、転位線は z 軸になるのでνを z 軸の正の方向にしよう。したがって、先の定義から
n = (0, −1, 0) となり、また δ (S − r ) = δ ( y ) H ( − x ) と置くことが出来る。以上で転位の空間的
配置は全て決定されたが、まだ刃状転位からせん転位かは設定していない。この転位が刃
状転位であるならば、 b = ( ±b, 0, 0) のいずれかであり、らせん転位ならば b = (0, 0, ± b) のい
ずれかである。成分内の ± は転位がすべる方向に対応している。例として、 b = (b, 0, 0) お
よび b = (0, 0, b) の場合について eigen 歪を書き下して見よう。
b = (b, 0, 0) の刃状転位では、
1
1
eijT (r ) = − (b j ni + bi n j )δ (S − r ) = − (b j ni + bi n j )δ ( y ) H ( − x )
2
2
1
1
T
e12T (r ) = e21
(r ) = − (b2 n1 + b1n2 )δ ( y ) H ( − x ) = bδ ( y ) H ( − x )
2
2
と表される。他の eijT (r ) は０である。同様に、 b = (0, 0, b) のらせん転位では、
1
1
eijT (r ) = − (b j ni + bi n j )δ (S − r ) = − (b j ni + bi n j )δ ( y ) H ( − x )
2
2
1
1
T
T
e23
(r ) = e32
(r ) = − (b3n2 + b2 n3 )δ ( y ) H ( − r1 ) = bδ ( y ) H ( − x )
2
2
と表される。この場合も他の eijT ( x ) は０である。
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