7 類 V クラス線形代数学第二演習第 7 回演習問題略解 [ [1] 3 0 0 4 ] [ と [ 3 1 0 4 3 1 0 4 ] [ は相似であるが, 3 0 0 3 ] [ と 3 1 0 3 ] は相似ではないことを確かめよ. [ ] 3 1 0 4 ] の固有値は 3 と 4 であり, 両方の代数的重複度は 1 となる. よって [ ] 3 0 は対角化可能となり, と相似である. 0 4 [ ] [ ] 3 1 0 の唯一つの固有値 3 の代数的重複度は 2 だが, 固有ベクトルはとそのスカ 0 3 1 [ ] 3 1 ラー倍しかない. つまり固有値 3 の幾何的重複度は 1 となり, 1 < 2 なのでは対角 0 3 [ ] 3 0 化可能ではない. 特にとは相似ではない. 0 3 解答  0 1 0 0  [2] 行列 J =  0 0 0 0 JP = P K のとき    0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0    と K =    が相似ではないことを示せ. (ヒント:   0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P が正則ではないことを確かめればよい.) J と K のうちに対角化可能なものがあるか調べよ. 解答 K = P −1 JP のとき JP = P K も成り立つ. 4 次正方行列 P = [ pij ] について    p21 p22 p23 p24 0  0   0 0 0   0 JP =   = PK =   p41 p42 p43 p44  0 0 0 0 0 0 p11 p21 p31 p41 p12 p22 p32 p42  0 0   0 0 となれば p21 = p22 = p24 = 0, さらに p41 = p42 = p44 = 0 が従う. よって P の第 2 行と第 4 行に注意すれば rank P ≤ 3 であることが分かる. ゆえに P は正則ではなく, K = P −1 JP を満たす P は存在しない. 言い換えれば J と K は互いに相似ではない. det(J − λI) = det(K − λI) = λ4 なので J でも K でも固有値は 0 しかない. よって J か K と相似である対角行列の候補は零行列 O しかない. しかし O と相似である行列は O のみなので, J でも K でも対角化可能ではない. [3] 次の主張を示せ: A と B が相似であれば A2 と B 2 も互いに相似である. A2 と B 2 が相似であるとき A と B は必ずしも相似ではない. −1 2 −1 2 −1 −1 −1 2 実際 [ , B ]= P AP[なら B ] = (P AP ) = P AP P AP = P A P となる. 一 0 0 0 1 方, A = とB= は相似ではないが (なぜならば, また零行列と相似である 0 0 0 0 [ ] 0 0 ものは零行列しかないから), A2 = B 2 = なので A2 と B 2 は相似である. 0 0 解答 [4] V を K 上のベクトル空間とし, f : V → V を線形変換とする. K の元 λ ̸= µ と V の 0 でない元 v, w に関して f (v) = λv かつ f (w) = µw とする. (つまり v と w は f の相異なる固有値 λ, µ それぞれに対する固有ベクトルでる.) ベクトル v と w が線形独立であることを示せ. 三つの固有値に関しても同じ主張を証明せよ. 解答ある t ∈ K について v = tw と仮定すると f (v) = f (tw) = tf (w) = tµw = µ · tw = µv が従う. よって λv = µv, つまり (λ − µ)v = 0 となり, v ̸= 0 だから λ − µ = 0 を得る. それは矛盾なので v と w は線形独立であることが分かる. 三つの固有値の場合 f (vi ) = λi vi (i = 1, 2, 3) とし, c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 と仮定するとき (i) 両辺に f を行うと c1 λ1 v1 + c2 λ2 v2 + c3 λ3 v3 = 0, (ii) 両辺に λ1 を掛けると c1 λ1 v1 + c2 λ1 v2 + c3 λ1 v3 = 0 が得られる. よって c2 (λ2 − λ1 )v2 + c3 (λ3 − λ1 )v3 = 0 が成り立つ. ただし (λ2 − λ1 )v2 と (λ3 − λ1 )v3 は相異なる固有値 λ2 と λ3 それぞれに対する固有ベクトルなので, 問題の前半より c2 = c3 = 0 が従う. 最後に, 元の仮定より c1 = 0 も容易に分かる. すなわち v1 , v2 , v3 の一次独立性が示された. [5] 次の行列が対角化可能かどうか判定せよ.     0 2 −1 −2 1 4     (a) −2 0 −2 (b) −2 1 4  1 2 0 −2 1 4  (c)  0 −2 −2   −2 0 −2 −2 −2 0 解答全て対角化可能である. (a) のとき固有値は −3, 0, 3 であり, 各代数的重複度が 1 なので対角化可能性が従う. (b) に関して固有値は 0 と 3 となる. 3 の重複度が 1 で, その固 ([ ]) 有空間 span 1 1 1 が行列の像であることがすぐに分かる. 次元定理によると, 核の, 言い換えれば固有値 0 に対する固有空間の次元は 2. よって 0 に関しても代数的重複度と幾何的重複度が一致する. 従って行列は対角化可能である. (c) の行列は対称なので, 対角化可能となる. (注釈でも良い.) お知らせ (b) と (c) に関してもっと陽的な計算 2 月 3 日には期末試験を行う. 場所と時間はいつもと同じ.