(提出:02/09)

第14回レポート課題
図に示すように相当応力-相当塑性ひずみ関係が線形硬
化則で記述できる剛塑性材料がある．この材料の
(1） x-y 方向への等二軸引張り（別図O-B），
(2) x 方向への平面ひずみ引張り[dεyyp=0]，引き続いて
y 方向への平面ひずみ引張り[dεxxp=0]（別図O-A-B）
において，それぞれ
εyyp=0.1になるまで変形させた
ときの相当応力，相当塑性ひ
ずみを求めよ．また，加工硬
化の程度が大きいのはどちら
か．ただしY = 200 [MPa]， H
= 400 [MPa]とする．
εxxp=0.1,
学生番号：
氏
名：
dε yyp = 0.1
y
dε xxp = 0.1
σ
O
1
ε
（最終回はじめに提出）
(1)変形O-B
(2)変形O-A-B
dε yyp = 0.1
dε yyp = 0.1
x
O
O
O
x
ε xxp
0.1
O
ε yyp = ε xxp
p
zz
ε = −2ε
dε yyp = 0.1
x
・O-Bは比例変形の等二軸引張り
・比例変形なので，相当塑性ひずみの計算
には全ひずみ理論の式が適用可能
・せん断ひずみ無し
p
xx
dε yyp ( A− B ) = 0.1
dε zzp ( A − B ) = −dε yyp ( A− B )
ε yyp
dε xxp = 0.1
・O-A-Bは非比例変形
・O-Aはx方向への平面ひずみ引張り[dεyyp=0]
・A-Bはy方向への平面ひずみ引張り[dεxxp=0]
・非比例変形なのでひずみ増分理論の式を適
用し，相当塑性ひずみ増分を変形経路に
沿って加算する．
・せん断ひずみ無し
x
dε xxp ( A− B ) = 0
B
A
B
y
O
dε xxp = 0.1
dε xxp = 0.1
0.1
z
B
y
B
A
ε yyp
y
z
dε xxp = 0.1
x
dε xxp = 0.1
O
B
y
O
B
A
H
Y
dε yyp = 0.1
x
σ = Y+Hε
dε yyp = 0.1
y
z
B
B
0.1
A
O
ε xxp
0.1
dε
p
xx ( O − A )
= 0.1
dε yyp (O − A ) = 0
dε zzp (O − A) = −dε xxp ( O − A )
変形O-Bの相当塑性ひずみ
変形O-A-Bの相当塑性ひずみ(O-A)
変形O-Bは比例変形なので，相当塑性ひずみは次の式で表さ
れる．
変形O-A-Bは非比例変形なので，次のひずみ増分理論の式を
用い，経路に沿って相当塑性ひずみ増分を加算してゆく．
ε =
2 p 2
1
(ε xx ) + (ε yyp ) 2 + (ε zzp ) 2 + (γ xyp ) 2 + (γ yzp ) 2 + (γ zxp ) 2
3
3
{
} {
x-y 方向等二軸引張りにおいては，
ε yyp = ε xxp , ε zzp = −2ε xxp , γ xyp = γ yzp = γ zxp = 0
となるので，
ε=
2 p 2
(ε xx ) + (ε xxp ) 2 + 4(ε xxp ) 2 = 2ε xxp
3
{
}
}
dε =
2
1
( dε xxp ) 2 + (dε yyp ) 2 + ( dε zzp ) 2 + ( dγ xyp ) 2 + ( dγ yzp ) 2 + ( dγ zxp ) 2
3
3
{
} {
まず，変形O-A部分については，x方向への平面ひずみ引張り
であるから，
dε yyp ( O − A) = 0, dε zzp ( O − A) = −dε xxp ( O − A) ,
dγ xyp ( O − A) = dγ yzp ( O − A) = dγ zxp ( O − A) = 0
となるので，
dε ( O − A ) =
2
2
dε xxp (O − A)
(dε xxp (O − A) ) 2 + 0 + (dε xxp ( O − A) ) 2 =
3
3
{
}
}
変形O-A-Bの相当塑性ひずみ(A-B)
次に，変形A-B部分については，y方向への平面ひずみ引張り
であるから，
dε xxp ( A− B ) = 0, dε zzp ( A− B ) = −dε yyp ( A− B ) ,
dγ xyp ( A− B ) = dγ yzp ( A− B ) = dγ zxp ( A− B ) = 0
2
2
0 + (dε yyp ( A− B ) ) 2 + (dε yyp ( A− B ) ) 2 =
dε yyp ( A− B )
3
3
{
}
よって，変形O-A-Bにおける最終的な相当塑性ひずみは，
ε = dε (O − A) + dε ( A− B ) =
2
2
dε xxp ( O − A) +
dε yyp ( A− B )
3
3
加工硬化の程度
σ [MPa]
変形O-B（等二軸引張り）
ε yyp
変形O-A-B
A
O
Y =200
B
0.1
292
280
0.1
ε xxp
H=400MPa
1
変形O-A-Bの方が
加工硬化が大きい
O
0.2
0.23
よって，(1) 変形O-B【等二軸引張り】の場合，
ε = 2ε xxp = 0.2, σ = 200 + 400 × 0.2 = 280 [ MPa ]
また，(2)変形O-A-B【平面ひずみ引張りO-A＋平面ひずみ引張
りA-B】の場合，
となるので，
dε ( A− B ) =
相当塑性ひずみと相当応力
ε
塑性変形には変形経路依存性があり，最終状態のひずみが同じ
でも，そこへ至る経路が異なれば相当塑性ひずみや相当応力が
異なる（したがって応力状態や加工硬化の程度も異なる）．
2
2
dε xxp (O − A) +
dε yyp ( A− B ) = 0.23,
3
3
σ = 200 + 400 × 0.23 = 292 [ MPa]
ε=

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