01/27 レポート課題(提出:02/03)

第13回レポート課題
(1) 剛塑性材料の平板（板面がx-y面に一致）の
(a) x方向平面ひずみ引張り（y方向ひずみ=0）
(b) x方向・y方向等二軸引張り
におけるひずみ経路を，ε xxp − ε yyp 平面および
ε xxp − ε zzp 平面に描け．
学生番号：
氏
名：
p
(2) 上記(a), (b)において， ε xx = 0.1の時点におけ
る相当塑性ひずみ，相当応力，各応力成分を
求めよ．なお，材料はミーゼスの降伏条件にし
たがい， σ = 630 ⋅ ε 0.25 の関係があるものと
する．
（第15回講義はじめに提出，スペースが足りないときは裏面へ）
(1-a) ひずみ経路：平面ひずみ引張り
(a) x方向平面ひずみ引張り（ y方向ひずみ＝０）の場合，
dε yyp = 0
であるから，塑性体積一定条件より塑性ひずみ増分の成分間の
比に関して次の式が成り立つ．
dε yyp
dε zzp
= 0,
= −1
p
dε xx
dε xxp
p
p
ε yy ε zz
初期状態では全ての塑性ひ
ずみ成分は０であることを考
慮すれば，
p
yy
p
zz
ε = 0, ε = −ε
ε yyp = 0
(1)の結果からわかるように(a), (b)と v
も比例変形であるので，相当塑性 ε =
ひずみは右の式で与えられる．
相当応力・偏差応力
2 p p
ε ij ε ij
3
一方，相当応力は右の式で
与えられる．
ε p = aε p , ε zzp = (−1 − a)ε xxp
xx
(1)の結果より，(a), (b)において右 yy
の関係が成り立つ．
(a = 0 or 1)
(a), (b)ともせん断変形は生じない
ε ijp = γ ijp = 0 when i ≠ j
ので，せん断ひずみは０．
2 p p
ε ij ε ij = 2 (a 2 + a + 1) / 3 ⋅ε xxp , (a = 0 or 1)
3
(A)
σ = 630 ⋅ ε 0.25 の関係式より，相当応力は次のようになる．
[
σ = 630 ⋅ 2 (a 2 + a + 1) / 3 ⋅ε xxp
]
0.25
, (a = 0 or 1)
σ =
3
sij sij
2
p
(a), (b)は比例変形であることから全ひずみ理論 ε ij = sij Λ
が適用でき，前出の議論から以下の関係式が導かれる．
s xx =
ε xxp
Λ
, s yy = as xx , s zz = (−1 − a ) s xx , sij = 0 when i ≠ j
以上より，sxx に関して次の式が得られる．
よって相当塑性ひずみは次のようになる．
v
ε zzp = −2ε xxp
であり，ひずみ経路は右図の
ようになる．
相当塑性ひずみ・相当応力
ε=
ε xxp
O
ε yyp = ε xxp , ε zzp = −2ε xxp
ε zzp = −ε xxp
であり，ひずみ経路は右図の
ようになる．
(b) x, y方向等二軸引張りの場合，σxx＝σyy 以外の応力成分は０であ
ることから，偏差応力成分は以下のようになる．
1
2
s xx = s yy = σ xx , s zz = − σ xx , s xy = s yx = s yz = s zy = s zx = s xz = 0
3
3
よって，ひずみ増分理論より求める塑性ひずみ増分の成分間の
比に関して次の式が成り立つ．
ε yyp ε zzp
dε yyp
dε zzp
=
1
,
=
−
2
ε yyp = ε xxp
dε xxp
dε xxp
初期状態では全ての塑性ひ
ずみ成分は０であるから，
ε xxp
O
p
xx
(1-b) ひずみ経路：等二軸引張り
[
2
p
σ = 3(a 2 + a + 1) ⋅ s xx = 630 ⋅ 2 (a + a + 1) / 3 ⋅ε xx
s xx =
(B)
630
2
3(a + a + 1)
[
⋅ 2 (a 2 + a + 1) / 3 ⋅ε xxp
]
]
0.25
0.25
(C)
1
(2) 得られた結果
各応力成分
応力成分については，板厚方向応力が作用していない（ σ zz = 0 ）
こと，つまり平面応力状態であることから次の式が成り立つ．
2
1
s xx = σ xx − σ yy
3
3
2
1
s yy = as xx = σ yy − σ xx
3
3
1
s zz = (−1 − a) s xx = − (σ xx + σ yy )
3
σ xx = (a + 2) s xx
σ yy = (2a + 1)s xx (D)
せん断応力成分は当然ながら０である． (σ xy = σ yz = σ zx = 0)
(a) x方向平面ひずみ引張り（a = 0）:
v
ε = 0.2 / 3 = 0.115, σ = 367.2 MPa, ( s xx = 212 MPa),
σ xx = 414 MPa, σ yy = 212 MPa, σ zz = τ xy = τ yz = τ zx = 0
(b) x, y方向等二軸引張り（a = 1） :
v
ε = 0.2, σ = 421.3 MPa, ( s xx = 140.4 MPa),
σ xx = σ yy = 421.3 MPa, σ zz = τ xy = τ yz = τ zx = 0
(補足) x方向単軸引張りの場合（a = -1/2） :
v
以上の式(A)～(D)において， (a)平面ひずみ引張りでは a = 0，
(b)等二軸引張りでは a = 1 として ε xxp = 0.1 を代入すれば結果
が得られる．
ε = 0.1, σ = 354.3 MPa, ( s xx = 236.2 MPa),
σ xx = 354.3 MPa, σ yy = σ zz = τ xy = τ yz = τ zx = 0
2

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