藤田保健衛生大学後期数学;pdf

藤田保健衛生大学　後期　数学
１ 2013年　藤田保健衛生大学　後期　問題 1
不等式 0 a+ b 1x + 0 2a -3b 1 <0 の解が x <-
0 ⅰ1　このとき、 a , b の満たす条件は
0 11
1
であるという。
3
である。
0 ⅱ1　0 ⅰ1で得られた条件を満たし、さらに b <1 の時の x の 2 次不等式
0 a 2 -4b1 x 2 -0 8 b 2-4a1 x - 0 12b 2-6a1 >0 の解は
0 21
である。
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２ 2013年　藤田保健衛生大学　後期　問題 2
2
2
2
2
0 ⅰ1　1 +4 % 1+3 , 2 +4 % 2+3 , ･････ , n +4 % n +3 , ････ , 100 +4 % 100+3
の 100 個の数のうち、6 の倍数は
0 31
個ある。
1
5
0 ⅱ1　tan a = 3 を満たす a に対して、tan 2 a- 6 p の値は
8
9
0 41
である。
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３ 2013年　藤田保健衛生大学　後期　問題 3
座標平面上の 2 点 P 0 a , b 1、Q 0 a , b 1 が直線 ：y =mx に関して対称であるとする。ただし、P は  上にないとする。
0 ⅰ1　P、Q の中点が  上に有ることから、b +b =
0 ⅱ1　直線 PQ と  が直行することから、b -b =
0 51
である。0 m , a , a で表せ 1
0 6 1 である。0 m' 0 , a , a で表せ 1
0 ⅲ1　座標平面上の点を  に関して対称に移動させる一次変換を表す行列は、 0 7 1 である。
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４ 2013年　藤田保健衛生大学　後期　問題 4
r = r0 t 1 、h= h0 t 1 を t の関数とする。太陽を原点としたある平面上を運動する惑星の時刻 t における座標 0 x0 t 1 , y 0 t1 1
が、x =r cos h 、y =rsin h で与えられているとする。
d 2x d 2y
d 2x
0 ⅰ1　加速度 dt 2 , dt 2 を r と h を用いて表すと、 dt 2 = 0 8 1
8
9
、
d 2y
= 0 91
dt 2
である。
d 2x
cos h
d 2y
sin h
0 ⅱ1　M を太陽の質量を表す正の定数として、 dt 2 =-M r 2 、 dt 2 =-M r 2 が成り立つとすると、0 ⅰ1 の
結果を用いて、
d 2 dh
r
の値を求めると 0 10 1 となる。
dt
dt
8
9
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５ 2013年　藤田保健衛生大学　後期　問題 5
視差について考える。d>0 、0<s <e とするとき右目が R、左目が L の位置にあり、z 軸とz =s で交わる xy 平面と
平行な平面 S を通して中心 0 a , b , c 1、半径 r 0 r >0 1 の球を図に示すように見ているものとする。
ただし、c +r <s とし、球の内部及び表面上の点はすべて見ることができるものとする。いまこの球面上の 1 点 Q を
見るとき、直線 RQ、LQ がそれぞれ左右の視線を表しているとする。
0 ⅰ1　平面 S と直線 RQ、LQ との各々の交点 P R、P L の座標はそれぞれ 0 11 1 、 0 12 1 である。
0 ⅱ1　2 点 P R、P L 間の距離 h を視差と呼ぶ事にする。h= 0 131 であり、その最大値は 0 14 1 である。
d
s
0 ⅲ1　h= 2 、e=2 s、c = 3 であるような球面上の点の集まりがなす曲線の長さは 0 15 1 である。
z
L 0 0 , - d , e1
e
R 0 0 , d , e1
s
PL
PR
y
Q 0 q1 , q2 , q31
0a , b , c1
x
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６ 2014年　藤田保健衛生大学　後期　問題 1
0 (a , b (p である a , b が、1-cos a +cos 0 a + b1 =0 、1-cos b +cos 0 a + b1 =0 を満たす時 0 a , b 1 =
である。
0 11
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７ 2014年　藤田保健衛生大学　後期　問題 2
放物線 y =x 2 -2 x -3 ･･･ ① に対して
0 ⅰ1　① の焦点の座標は 0 2 1 である。
0 ⅱ1　① を y 軸に関して対称に移動し、さらに直線 y =x に関して対称に移動して得られた 2 次曲線の方程式は
であり、その焦点の座標は
0 41
である。
0 31
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８ 2014年　藤田保健衛生大学　後期　問題 3
a , f0 x 1 をそれぞれ与えられた定数、連続関数とし、関数 w0 x 1 を w0 x 1 =
Q
x
0
e -a x-s f0 s 1ds ･･･ 0 * 1 で定義する。
(
)
0 ⅰ1　w -0 x 1、w0 x 1、f0 x 1 の間に成り立つ関係式は、 0 5 1 =f0 x 1 である。
2
0 ⅱ1　w -0 x 1 +w 0 x 1 =x 及び w0 0 1 =0 を満たす関数 w0 x 1 を、0 * 1 において a と f0 x 1 を適当に決めることで求めると、
w0 x 1 =
0 61
である。
0 ⅲ1　f0 x 1 が微分可能で、f -0 x 1 = g0 x 1 であるとする。
このとき w --0 x 1 を w0 x 1、f0 x 1、g0 x 1 を用いて表すと、w --0 x 1 =
0 7 1 である。
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９ 2014年　藤田保健衛生大学　後期　問題 4
共に質量が m>0 の 2 個の質点 P 1、P 2 が x 軸上にあり、時刻 t におけるそれぞれの座標が x 1= x 10 t 1 、x 2= x 20 t 1 であ
るとする。P 2 に力 F = F0 t 1 が働き、P 1、P 2 の間の距離に応じたある力が相互に働く事による P 1、P 2 の運動が
m
d 2x 1
dt 2
=-k6 0 x 2 -x 11 - 7 、m
d 2x 2
dt 2
= k60 x 2 - x 11 - 7 + F で記述されるものとする。
ただし、k、 は正の定数である。
0 ⅰ1　x 2- x 1 =u とおく。u が満たす関係式を、u、F と上記定数の中から適切なものを用いて表すと、
m
d 2u
=
dt 2
0 8 1 である。
d 2v
0 ⅱ1　x 2+ x 1 =v と置く、v が満たす関係式を、F と上記定数の中から適切なものを用いて表すと、m dt 2 = 0 9 1
である。
0 ⅲ1　F0 t 1 =C 0 定数 1 とするとき、問題 3 の 0 ⅲ1 を参考にし、0 * 1 において、a と f0 x 1 を適当に決めることで u と v を
求めると、u= 0 101 、v = 0 11 1 である。ただし u は lim u0 t 1 が発散しないものを求めよ。
t
.*
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10 2014年　藤田保健衛生大学　後期　問題 5
空間における点 H 0 x , y , z 1 が、x =x0 t 1 = acos xt 、y =y0 t 1 = asin xt 、z =z0 t 1 = bt で与えられている。
ただし、a , b , x は正の定数とする。t) 0 に対して点 H の描く図形を考える。
0 ⅰ1　原点 O 0 0 , 0 , 0 1 から点 H までの距離 OH = 0 12 1 である。
0 ⅱ1　OH =d とおくとき、これを満たす t の値を td とすると、td = 0 13 1 である。
0 ⅲ1　t=0 から t= td まで点 H が動いて描く図形の長さを求めると 0 14 1 である。
0 ⅳ1　これらの x 0 t 1、y 0 t 1、z 0 t 1 に対して、座標平面上に 2 点 P 0 x 0 t+ h 1 , y 0 t+ h 1 1 、Q 0 x0 t 1 , y0 t 1 1 をとり、ベクトル
PQ を考えるとき、lim
h.0
z 0 t+ h 1 -z0 t 1
PQ
= 0 151 である。

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