総合科目 II 総合科目 II

冊子名
I
総合科目 I
科目名
I
総合科目 I
8
ページ
第
2
問
補足説明
(8ページ図 1の直前に以下の文を補足する。）
なお、正 8面体は光が一切透過しない素材でできているとする。
問
第
ローンの返済計画や確率を伴うゲームを数理モデルにより考察しよう。
A
住宅ローンなどで資金を借りた場合，返済総額は，利子の支払いのために元金よ
り多くなり，また返済方式によっても異なってくる。このことを数理モデルにより
考察しよう。なお，金額は連続量として扱う。
元金 A を借りる。利子は借入日から l年毎に，過去 1年間の借入残高に対して
年利率 rで発生する。返済も借入日からちょうど l年毎に行う。そして借入日から
N 年後に返済を完了する。従って，借入日から数えて n年後からの 1年間を通じ
ての借入残高を h ，借入日から数えて n年後の返済額をれとすれば，ao= A，お
， N)
…
, 2，
, (n= 1
,
+rαn 1-x
t 1
,＝ α，
,
a
巴
、
、
h
、、’，，
＃
〆
，
よび
が成り立つ。ただし，元金 Aおよび年利率 rは正の実数，年数 N および nは整数
玉 n壬 N とする。
, l主
とし， N ミ 2
(A 1) 毎年一定の金額 xを返済していく方式，すなわち
Xt＝ゎ
＝… ＝xN= x
，，と
という方式を元利均等返済とよぶ。この返済方式による借入残高 ι を特に b
, xを用いて表せ。さらに， N 年後に返済を完了することに
,n
,r
，，を A
。 b
書く
, N を用いて表せ。
.r
注意して， xおよび N年間の返済総額 Xを A
(A-2) 毎年，元金 Aの一定の割合を返済し，それに加えて過去 1年間の借入残
高に対して発生した利子全額をただちに返済していく方式を，元金均等返済とよ
ぶ。この返済方式による借入残高山を特にらと，また返済額九を特に y，，と書
。
く
, nを用いて表せ。さらに N 年間の返済総額 Yを
,N
および、 y，，を A,r
Cn
, N を用いて表せ。
A, r
-4-
。
)
73
Ml0(171-2
元利均等返済および元金均等返済における A, r
, N は同一の値をとることとし
て以下の聞に答えよ。
(A-3) 元利均等返済の毎年の返済額 xと，元金均等返済の借入日から l年後の
返済額 Y1の差の正負を判定することにより， xとY
tのどちらが大きくなるか答
えよ。
(A-4) 元利均等返済の返済総額 X と元金均等返済の返済総額 Yはどちらが大き
くなるか答えよ。
-5-
＞
くMlO(171-274)
B
以下のようなゲームを考える。
(
1
）大きな木の周囲に， N人の子供たちが円を作って木の外側を向いて立ってい
"
i
;
;2とする。
る。ただし N
(
2) ゲーム開始時点の状態（初期状態）において，それぞれの子供は紙でできたチ
ケットを O枚または l枚持っている。子供たちの持つチケットの総数は M であ
る。ただし M は奇数であるとする。
(
3) ゲーム開始 l分後に太鼓の合図がある。子供たちは合図を聞いたらすぐさま次
の行動（＊）をする。
(
a) チケットを持っている子供は，それぞれの手元にあるコインを投
げ，表が出ればチケットを右隣の子供に手渡す（「パス J
する），裏が
（
＊
）
出ればチケットをそのまま持っておく（「
キープ」する）。ただしコイ
ンの表裏の出る確率はともに十とする。
(
b
) 上記（
司でキープした子供が，左隣の子供からチケットをパスされ
た場合には，手にした 2枚のチケットをまとめて捨てる。
(
4）太鼓の合図はゲーム開始 l分後， 2分後，…と l分毎にあり，そのたびに子
3
）
の行動（＊）をくり返す。
供たちは上記（
自然数 hと m に対して，ゲーム開始 h分後の太鼓の合図に従った行動（＊）の直
後に，子供たちの持つチケットの総数が m 枚である確率を P
k
.
1
1
1と書く。
(B-1) N =M
=3のとき，
Pu,P
l
.
2
. P uの値を求めよ。
ゲームが進んでいくにつれて，子供たちのうち一人だけがチケットを持っている
状態が現れうる。この状態を定常状態とよぶ。
-6-
）
く M10(171 2
7
5
)
(B 2
) 次のような特別な状況を考えよう。ある特定の子供 Cはパスを行うこと
はなく， C以外の子供はキープを行うことはない，ということがくり返される。
この状況においては，全体の状態はいずれ定常状態にいたる。このことを用いて
次を示せ。
N - 1）分後の太鼓の合図に従った行動（＊）の直後に定常
ゲーム開始（
状態である確率は，
1
2 M(N 1)
以上である。
(B-3) 極限 l
i
mP
k,
lを求めよ。ただし， P
k
.lはゲーム開始 h分後の太鼓の合図
に従った行動（＊）の直後に定常状態となっている確率を表すことに注意せよ。
定常状態におけるチケットの動きについて考えよう。
(B 4) 定常状態において，ある子供がチケットを受け取ったのち，そのちょう
，
ど f分後（ただし fは自然数）に初めてチケットをパスする確率を Q と書く。こ
の子供がチケットを持ち続ける時間の期待値，すなわち無限級数~ PQ1の和を
求めよ。
-7-
OM10(171 2
7
6)
第
2
問
照明のあて方や製品管理をより効果的・効率的に行うための解析に数理モデルを
用いることができる。
A
次の 6点を頂点とする正 8面体（図 1）を考える。
P+=(l,0,0),P =( 1,0,0),
Q十二（ 0'1'0)'Q-= (0'
1'0)'
R+= (0,0,1
)
, R-= (0,0
, - 1)
平行な光をその正 8面体に照射する。その光の向きを
t＝一（ α，b
,c
) （ただし， az十 b2+c2= 1
, aミ bミ cミ 0)
とする。また，正 8面体の 8つの面のうち，光のあたっている面の個数を hとす
る。ただし，光の向きと面が平行な場合には，その面には光はあたっていないと考
える。
y
x
図1
＞
くMl0(
17
1 2
7
7
)
, (A 3）においては答えを述べるだけでよい。
)
以下の（ A 1), (A-2
(A-1) hはどのような値を取り得るか答えよ。
さらに，同じ空間内に光の向きと垂直で，正 8面体と交わらない平面があるとす
る。その平面をスクリーンと見立てよう。そのスクリーンは正 8面体の後方にあ
り，その上に正 8面体の影が生じているとする。その影は n角形であるとする。
, n）として
k
(A-2) nはどのような値を取り得るか答えよ。また， kと nの組（
はどのようなものがあり得るか答えよ。
（ A-2）で挙げたおのおのの組であるとき，光があたっている
, n）が
k
(A-3) (
のはどの面か答えよ。ただし，例えば P+.Q+,R＋を頂点とする面はム P+Q+R+
と記せ。
次の問に対しては答えだけでなく理由も述べよ。
, cがどのよう
,b
（ A-2）で挙げたおのおのの組であるのは， a
, n）が
k
(A-4) (
な範囲にあるときか。
-9-
)
8
7
くMlO(171-2
＞
B
倉庫に n個（ただし nミ 2）の異なった製品が保管されている。それらを
製品 l，製品 2，…，製品 nとよぶ。それらの製品は倉庫の出入り口から奥に
向かつて l列に置かれている。ここで出入り口から近い順で j番目（ただし
j= 1
, 2，
…
， n）に置かれている製品を倉庫から搬出するのに要する時間を
t
jと
し
， 0<t1くれ＜ … ＜t
，，と仮定する。
一方，製品 α（ただし α＝ 1
' 2，
…，
n）が注文される確率を p（
α）とする。ただ
し
，
0＜ρ（
α）
＜ l,p(l）
＋ ρ（2)＋…＋ρ（n)= 1をみたすとする。ここで，
1
つの製品に注文があったとする。製品は出入り口から近い順に製品 α］
，
製品 a2，
…，製品 ι の順に並んでいるとすれば，搬出に要する時間の期待値
は T（
α
1
,a2
，…，
a,
,
)= .~ t
j
p（
αj
）となる。ただし， a1
,a2
，
…
，G
η には 1から nの
番号がちょうど l回ず、つ現れる。
製品の配列順序 αi
,a2
，
…
， h を変えたときの T（
α
1
,a2
，
…
， a）
，の変化を調べ
るために以下のような定式化を行う。より一般に， n個の相異なる自然数
a1
，
α2，
…
， a，，からなる列。＝（ α1
,a2，
…
， a）
，を n次列とよぶ。ただし，
2つの n次
列 α＝
（ α1,a
2，…
，a
,
,
)
, b=(b1,b2，
…，
b
）
，にたいして， α1=b1
,a
2= b
2，
…
，
α，
t二
b
，，のとき α ＝b
，そうでないとき α 学 bとする。特に 1から nの自然数が
ちょうど l回ずつ現れる n次列を標準 n次列とよぶ。例えば標準 3次列は以下の
6個である。
(1, 2
,3
)
, (1, 3
,2
)
, (2, 1, 3
)
, (2, 3
,1
)
, (3, 1
, 2), (3, 2
, 1)
2つの n次列 α＝ (a1,a2
，
…
，a
,
,
)
, b=(b1,b2，
…
，b
）
，にたいして，以下の条件（＊）
が成り立つとき， α三
ヨbと書く。
「
l亘 j<k~五 n および αj
（
＊
）｜
1
が成立する。
>akをみたす任意の jと hにたいしてん
＞b
k
l
｜
」
特に α ヨ bかつ α 宇 bのとき a <I bと書く。
- 10-
）
く MlO(
1
7
1-2
7
9
)
以下の問に答えよ。
, bを標準 n次列とする a a <J bをみたす bが存在しないような αを求
(B-1) a
めよ。逆に a<J bをみたす αが存在しないような bを求めよ。
，にたいして，
）
，b
， b=(bi,h…
）
， α，
…
，
α2
，
（ αi
(B-2) n次列 α＝
,壬 b,
,
， a
・
, α2豆 h ・
1
l壬 b
α
・,
,・
2
,a
1
，にたいして， a
， a）
…
，
α2
l，
（α
が成立するとき a~b と書く a n次列 α＝
,
α）と書く。例えば 3次列 α＝(4' 1
h を小さい順に並べてできる n次列を（
，から
， a）
…
（ 1,2,4）である。また n 次列 α ＝ (a1.a2，
α）＝
2）にたいしては，（
n- k）次列
， n- 1）の数を除去してできる（
…
, 2，
右側の h個（ただし k= 1
（
， a,-k）を α［klと書く。例えば 5次列 α ＝
・
,a2,・
(a1
3,1,6,5,2）にたいして
3,1'6）である。
， α［Z]=(
は
，~ィ）を示せ。
ア）
このとき以下の（
l）が成
l
b[
)~ (
ll
α[
b）ならば，（
α）笠（
ア） n次列 α，bにたいして， αヨ bかつ（
（
り立つ。
, bにたいして， αヨ bならば，すべての似ただし
何）特に標準 n次列 a
が成り立つ。
l）
k
丞（ b[
l）
α［k
， n- 1）にたいして（
…
k=1,2，
α）にたいして
， n）が注文される確率 p（
…
, 2，
(B-3) 各製品 α（ただし α＝ 1
n)
p(1)＜ρ（2)＜… ＜ρ（
!bをみたすとする。このときすべて
5
が成り立っとする。標準 n次列 α，bが a:
， n）にたいして
…
, 2，
ただし m = 1
の m（
.~ρ （ αj ）壬.~
)
j
b
p(
が成り立つことを示せ。
1- 1
0)
8
1 2
7
1
O(
<)Ml
問は以上であり，以下はこの問題に対する補足である。
標準 n次列 α＝（
α
1
,a
2，…
，a
,
,
)
, b=(bi,h …
，b
）
，が α ヨ bをみたすとする。
このとき，（ B 3）で示した不等式を用いて， T（
α1
,
a2
，
…
，a
）
，ミ T
(bi,b2
，…，
b
，，）を証明することができる。すなわち，搬出時間の観点からすれば， αよりも
bの方が良い配列，あるいは αとbは同程度に良い配列といえる。この事実を搬
出時間の短縮に活用することが可能である。
- 1
2-
0Ml
0
(
1
7
1-281
)

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