ll
﹁
﹂
﹁EEF﹄
τ
s
e
A
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
(1) 不等式
l
o
g
2
(
5
-2
x
)+2
l
o
g
÷（
x+2）亘 O
をみたす z の範囲は~である 。
(2) 2つの関数
f(x)=lx2＋ 伽 ー 土.
I gCか が ＋ 劫 lxl-+
I
4I
の最小値が一致するような bの 範 囲 旧 日 で あ る。
(3) O豆 αく？のとき，関数
＼111
／
く
＝
π一
2
rt11＼
／
は
z
く
＝
α
−
f(x)=s
i
n
(
x α）cosx
x
=
f
f
i
2
]において最大値をとる。 こ の 最 大 値 が 士 と な る 山 ＝ [
J
i
l
l
のときである 。
-4-
﹁11tL
円
以
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
数直線上の点の集合
s= {
1
,0
,1
｝；を考える。球が 2個用意されており， Sの各点上
には， 2個まで球を置くことができるとする。 S内に置かれた球に対する次の操作 Tを
考える。
操作 T
(
T
l
) S内に球が l個だけ置かれている場合は，その球に対して次の操作 A を行う。
操作 A
は1
) 球が点 0上に置かれている場合はその球を確率÷で S内から
取り除き，確率÷ずつで点
lまたは点 lの上に移す o
(A2）球が点− 1または点 lの上に置かれている場合はその球を必ず
点 Oの上に移す。
(
T
2
) S内に球が 2個置かれている場合は どちらか l個の球を等しい確率で選び，
その選ばれた球に対して操作 A を行う。
いま，球が 2個とも点 O上に置かれている状態から始め，操作 Tを繰り返し行う。ただ
し
， S内に球がなくなった場合は操作を行うのをやめる。以下， n
,m を自然数とする。
(1) 操作 T を n回繰り返し終えたとき，球が 2個とも点 0上に置かれている確率をん
とし，点
lと点 Oの上に l個ずつ置かれているかまたは点 Oと点 lの上に l個ずつ
nとする。
置かれている確率を Q
(
1 1) 凶 こ 対 し ， P
n=lliDQn-1C
'
ある。
(1-2)
Q1二
Q2m l二
日 目 で あ る 。 一 般 川 ＝ 0であり＇
Q2m 1
G Dである。
~ m の式で表すと
(2) 操作 T を η 回繰り返し終えたとき， S内に球が 1個だけあり，かつそれが点 O上に
置かれている確率を九，点− 1または点 lの上に置かれている確率をおとする。
(
2-1
) nミ2に対し，
+
C
J
:
副 Pn
九 ＝ 巴illsn 1
1
口百九
一+Qillqn
S
n＝
1
ーl
である。
(
2 2） 一 般 に
r2m=0叩
，
~ mの 式 で 表 す と い 二 日 司 で あ る 。
r2m 1
6
E
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。
p
,qを正の実数として，曲線 Cを
x
P
-Uす＝ 1c
oz
十
三
五
三
五
1
, 0三
五u
三
五1
)により定義する。
(1) 曲線 Cの方程式を u
について解いて得られる関数を y=f(x) (
0豆z亘 1
）とおく 。
明日目
y=f(x）のグ、ラフが OくZく 1において変酬をもつためにはム q
を満たすことが必要十分である 。
(2) 曲 線 山 軸 ，
机
u軸 で 固 ま れ た 図 形 の 面 積 山
q）とすると，
S
(
l
,q)＝巴
[
]
i
l
l的
p>lならば S(p,q）とS(p-1,q+1
)の 閉 山 （p
,q)=
の関係がある 。p
,qがともに自然数であるときに
Eで
l
，什 1
)
s
(
p
, q）を p
,qの式で表すと
S（
ρ，q ) = @ _ Uである。
(3) ρ＝q=3のとき，直線 l
:x+y＝αが曲線 C と 2点を共有するための必要十分
条件は 巴 日 く じ lである。この条件が成り立つとき，直線 Jと曲線 Cの交点
P
, Q の Z 座 標 わl， ぬ と す る と 材 ＝
「で て で寸
@TIかっ （
x
t
x
t
2
)=
[
J
i
l
lで
.
pQ2
「
−
−
−
−
−
；
−
てで 寸
ある。さらに αo=I お）｜とおくとき 1
1
m ~ー ＝ ｜
」
一
一
一
一
」
α→ α。
＋
-8-
o
α
α
O
く）｜が成り立つ。
一
一
一
一」
L__
[NJ
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。また設問（ 1)
I
(3）に答えなさい。
以下，数列｛ αJが「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての nに対して仇＝ 0と
α）を一つの文字で表す
なることをいう。ただし，仇はすべて実数とする。また，数列｛η
ときは A =｛
αJあるいは A＝
（α
i
,a
z
,・
・
・）のように書く。数列 A =｛
η
α｝が長さ有限の
nキ Oとなるような自然数 η の最大値を数列 Aの「長さ」と呼ぶ。ただし，すべて
とき， α
の nに対して仇二 Oである数列の長さは Oとする。
数列 A =｛
η
α，
｝ B= {
b
n｝
，および実数 cに対して
A+B={an十 b
n
}
, cA={cαJ
により新しい数列 A+Bおよび cAを定義する。また， A
, Bがともに長さ有限のときに
限って A とB との「内積JA・Bおよび「距離」 ABをそれぞれ
ふ
ん
，
A・B＝
/
f
α
c
AB=
n=l
n-b
n
)
2
ηニ
l
により定める信は実際には有限同州で吋
さて，
A(O)= (
0
,0
,0
,−
一
）
，
A(l)=(l, 0
,0
,・
・
・
）
であるとし，さらに s= 2
,3
，…に対して長さ sの数列
A(s)=（
α（
s
)
1，α（
s
)
2，一， α（
s
)
s
,0
,0
，…）
s)n>O(n=l, 2
，
・
.
.,s
）かっ
が定まっていて α（
A(s)A(t)= 1 C
sキ tかつ s
,t=O, 1
,2
,・
ー
）
が成り立っているとする。
1
0
(1) 己 1ならば A(s)・A(s)= 1であり，また， t>s2:lならば A(s)・
A(t)＝士である
ことを示しなさい。ただし， A(
s
)=｛
αn
}
, A(
t
)={
b
n｝とおきなさい。
(2) A(
2
)
, A(
3）を求めると
=
(
[
J
i
l
l
.f
f
i
]
.0, 0, ・),
A（
川 022].[
]
i
l
l.~· 0, 0,
A(2)
・
)
である 。
(3) t>sミ2ならば数列 A(t）と数列 A(s）の初めの s-1項はすべて一致することを
l，α
2，…， α
s
，数列 A(t）の初めの
示しなさい。ただし，数列 A(s）の初めの s項を α
t
項を b
i
,b
z，…， b
tとおき，また， sと t
以外のすべての t
ミlについて数列 A(i）の
項を c
(
i
)
1
,c
(
i
)
z，
…
， c
(
i
)
iとおきなさい。
初めの t
(4) t=l, 2，…に対して長さ tの数列 B(t)を
＝市 ｛
A（
川
B(t)
により定めるい＝ 1
,2
,
ト市 p
α）
伽 吋（
t
）
,t~c:j;f G'
lA（ り （
t
)＝区 日 で あ る。
(5) (3）で示されたことから， 2つの数列 ｛
x
n
}
,{
y
n｝が定まって，すべての sミ2に
対して A(s）は
A(s)=C
x
1
,x
2
, ・・・， Xs-1, Ys
,0
,0
,…
）
1である 。また，
と表される 。主 を sの 式 で 表 す と 生 ＝ 日 記
Xs
Xs
とお＝ ~ となる。
-11-
」一一一一一一」
Xsを sの式で表す
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