従 º L2([a, b],ρ(x))º

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà
Âîïðîñû ê ýêçàìåíó
1. Ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ óíêöèé. Ïîíÿòèå îáîáùåííîé óíêöèè. åãóëÿðíûå è ñèíãóëÿðíûå îáîáùåííûå óíêöèè. Äåéñòâèÿ íàä îáîáùåííûìè óíêöèè. Ïðèìåðû
îáîáùåííûõ óíêöèé. Äåëüòà-óíêöèÿ Äèðàêà è åå ñâîéñòâà. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä
â ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ óíêöèé. Äåëüòà-îáðàçíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
2. àììà- è áåòà-óíêöèè. Îïðåäåëåíèÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà.
3. Êâàçèëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêà.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïåðâûå èíòåãðàëû ñèñòåìû. Îáùåå ðåøåíèå êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ. Çàäà÷à Êîøè. Çàäà÷à Êîøè â ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå.
4. Ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 2-ãî ïîðÿäêà. Ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ. Ñèñòåìà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Õàðàêòåðèñòèêè.
Êëàññèèêàöèÿ óðàâíåíèé.
5. Êàíîíè÷åñêàÿ îðìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 2-ãî
ïîðÿäêà.
Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Óðàâíåíèå
ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà. Óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà.
6. Ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû. Âûâîä óðàâíåíèÿ. Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ
çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.
7. Çàäà÷à Êîøè äëÿ îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.
Îäíîðîäíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå. Ôîðìóëà Äàëàìáåðà. Ìåòîä ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ
âîëí. Íåîäíîðîäíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå. Ïðèíöèï Äþàìåëÿ.
8. Çàäà÷à Êîøè äëÿ ìíîãîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà. Ôîðìóëà Êèðõãîà (áåç äîêâà). Ôîðìóëà Ïóàññîíà (áåç äîê-âà).
9. àñïðîñòðàíåíèå òåïëà â ñòåðæíå. Âûâîä óðàâíåíèÿ. Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà.
10. Çàäà÷à Êîøè äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè. Ôóíêöèÿ ðèíà çàäà÷è Êîøè. Ñâîéñòâà
óíêöèè ðèíà. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïðèíöèï
Äþàìåëÿ.
11. Çàäà÷à Êîøè äëÿ ìíîãîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ôóíêöèÿ ðèíà çàäà÷è Êîøè.
12. Êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûå óíêöèè. Ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî
L2 ([a, b], ρ(x)).
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è åãî ñâîéñòâà. Íîðìà è åå ñâîéñòâà. Îðòîãîíàëüíàÿ è îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìû óíêöèé. ÿä Ôóðüå ïî ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå
óíêöèé.
13. Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ äëÿ ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. ðàíè÷íûå óñëîâèÿ Øòóðìà. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè. Ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ óíêöèé çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ. Òåîðåìà Ñòåêëîâà.
14. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.
Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ íåîäíîðîäíûìè êðàåâûìè
óñëîâèÿìè.
15. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ íåîäíîðîäíûìè êðàåâûìè
óñëîâèÿìè.
16. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà è Ïóàññîíà. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Âíåøíÿÿ è âíóòðåííÿÿ çàäà÷è.
17. àðìîíè÷åñêèå óíêöèè è èõ ñâîéñòâà: òåîðåìû îá èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè, î
íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé, î ñðåäíåì, îá ýêñòðåìóìå.
18. àçðåøèìîñòü è åäèíñòâåííîñòü êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé Ëàïëàñà è Ïóàññîíà.
Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå. Óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è
Íåéìàíà â
R3
è íåîäíîçíà÷íîñòü ðåøåíèÿ â
R2 .
Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ òðåòüåé
êðàåâîé çàäà÷è.
19. àçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ëàïëàñà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çàäà÷à
Äèðèõëå. Çàäà÷à Íåéìàíà. Èíòåãðàë Ïóàññîíà. Èíòåãðàë Äèíè.
20. àçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çàäà÷à Äèðèõëå (âûâîä). Çàäà÷à Íåéìàíà (âûâîä).
21. Óðàâíåíèå Áåññåëÿ. Ôóíêöèè Áåññåëÿ 1-ãî ðîäà è èõ ñâîéñòâà. Ôóíêöèè Áåññåëÿ 2-ãî
è 3-ãî ðîäà (óíêöèè Íåéìàíà è Õàíêåëÿ) è èõ ñâîéñòâà. åêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ óíêöèé Áåññåëÿ. Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà. Ôóíêöèè Áåññåëÿ
ìíèìîãî àðãóìåíòà (óíêöèè Èíåëüäà è Ìàêäîíàëüäà) è èõ ñâîéñòâà.
22. Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ. Îðòîãîíàëüíîñòü è íîðìà óíêöèé Áåññåëÿ. ÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ è Äèíè.
23. àçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ëàïëàñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
24. Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà. Ïðîèçâîäÿùàÿ óíêöèÿ. Èíòåãðàë Øë¼ëè. Ôîðìóëà îäðèãà. åêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà. Îðòîãîíàëüíîñòü ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà. ÿä Ôóðüå-Ëåæàíäðà.
Ëèòåðàòóðà
1. Àðàìàíîâè÷ È., Ëåâèí Â.È. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. - Ì.: Íàóêà,1969.
2. Ñâåøíèêîâ À.., Áîãîëþáîâ À.Í., Êðàâöîâ Â.Â. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå.
- Ì.: Èçä-âî ÌÓ, 2004.
3. Ìàðòèíñîí Ë.Ê., Ìàëîâ Þ.È. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. - Ì.: Èçä-âî ÌÒÓ, 1996.
4. Áàãðîâ Â.., Áåëîâ Â.Â., Çàäîðîæíûé Â.Í., Òðèîíîâ À.Þ. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Îñíîâû êîìïëåêñíîãî àíàëèçà. Ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ
è òåîðèè îáîáùåííûõ óíêöèé. - Òîìñê: Èçä-âî ÍÒË, 2002.
5. Áàãðîâ Â.., Áåëîâ Â.Â., Çàäîðîæíûé Â.Í., Òðèîíîâ À.Þ. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ñïåöèàëüíûå óíêöèè. - Òîìñê: Èçä-âî ÍÒË, 2002.
6. Áàãðîâ Â.., Áåëîâ Â.Â., Çàäîðîæíûé Â.Í., Òðèîíîâ À.Þ. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. - Òîìñê: Èçä-âî ÍÒË, 2002.
7. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. - Ì.: Èçä-âî
ÌÓ, 2004.
8. Áîãîëþáîâ À.Í., Êðàâöîâ Â.Â. Çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå. - Ì.: Èçä-âî
ÌÓ, 1998.
9. Áóäàê Á.Ì., Ñàìàðñêèé À.À., Òèõîíîâ À.Í. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé
èçè-êè. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004.
10. Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003.

Download Report