Îòêðûòàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
13 ìàðòà 2014 ã.
11 êëàññ
3 âàðèàíò
Îòâåòû, ðåøåíèÿ è êðèòåðèè
1. (1 áàëë)
Îòâåò:
åøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé:
x = 4, y = 2, z = 16
èëè

 logy x = x2
logx z = y

logz y = x1
x = 2, y = 2, z = 4.
åøåíèå: Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ëåâûõ ÷àñòåé ýòèõ óðàâíåíèé ðàâíî 1. Çíà÷èò, è ïðîèçâåäåíèå ïðàâûõ
x
÷àñòåé òàêæå ðàâíî 1. Ñëåäîâàòåëüíî, y = 2. Ïîäñòàâëÿåì ýòî çíà÷åíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì log2 x = ,
2
ln x
ln 2
=
.
îòêóäà
x
2
ln x
1−ln x
Ïðîèçâîäíàÿ óíêöèè
x ðàâíà
x2 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè x 6 e ýòà óíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè x > e
óáûâàåò. Çíà÷èò, îäíî è òî æå çíà÷åíèå ýòà óíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ. Ýòè òî÷êè
x=2
ëåãêî ïîäîáðàòü:
è
x = 4.
Çíàÿ
x
è
y,
íàõîäèì
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå
log2 x =
z.
x
2 èëè ýêâèâàëåíòíîå åìó, íå äîâåäåíî äî îòâåòà èëè óãàäàí
òîëüêî îäèí îòâåò: 0,5 áàëëà.
2. (2 áàëëà)
2
Êîñòÿ âçÿë óíêöèþ
f (x) = x2014 2cos
èìååò ðîâíî 2014 êîðíåé. Íå îøèáàåòñÿ ëè îí?
x
− 2x7 + 7 è îáíàðóæèë, ÷òî åå òðèíàäöàòàÿ ïðîèçâîäíàÿ
Îòâåò: Îøèáàåòñÿ.
åøåíèå: Òðèíàäöàòàÿ ïðîèçâîäíàÿ äàííîé óíêöèè ñîâïàäàåò ñ òðèíàäöàòîé ïðîèçâîäíîé óíêöèè
2
x2014 2cos
x
f (x) =
. Ýòà óíêöèÿ ÷¼òíàÿ, çíà÷èò, å¼ ïðîèçâîäíûå ÷¼òíîãî ïîðÿäêà ÷¼òíûå óíêöèè, à ïðîèçâîäíûå
íå÷¼òíîãî ïîðÿäêà íå÷¼òíûå óíêöèè. Òàêèì îáðàçîì, âñå êîðíè ëþáîé å¼ ïðîèçâîäíîé ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Ïðè
x = 0 ýòà òðèíàäöàòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ,
òàê êàê åñëè ïðîäèåðåíöèðîâàòü
óíêöèþ ïî îðìóëå ïðîèçâîäíîé ïðîèçâåäåíèÿ, â ïðîèçâîäíîé îêàæåòñÿ äâà ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ ìíî2013
2012
, ó âòîðîé ïðîèçâîäíîé â êàæäîì ñëàãàåìîì áóäåò ìíîæèòåëü x
è òàê äàëåå, ó òðèíàäöàòîé
æèòåëü x
2001
ïðîèçâîäíîé áóäåò ìíîæèòåëü x
.
Çíà÷èò, ó òðèíàäöàòîé ïðîèçâîäíîé äàííîé óíêöèè íå÷¼òíîå èëè áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, íî íèêàê íå
÷¼òíîå.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî òðèíàäöàòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ÷¼òíîé óíêöèè íå÷¼òíà è î òîì,
÷òî òðèíàäöàòàÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååò êîðåíü â òî÷êå 0, ñ÷èòàòü î÷åâèäíûìè.
3. (3 áàëëà)
Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
x21 + x1 x2 + x22 + x2 x3 + x23 + . . . + x100 x101 + x2101 + 2x101 .
Îòâåò:
101
− 202
102 = − 51 .
åøåíèå: àçîáú¼ì ýòî âûðàæåíèå, êðîìå ïîñëåäíåãî è ÷àñòè÷íî ïðåäïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â ñóììó ïîëíûõ
êâàäðàòîâ âèäà
a2i x2i + 2ai bi xi xi+1 + b2i x2i+1 .
Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé

 a1 = 1
2bi ai = 1
 2
bi + a2i+1 = 1
îòêóäà

 a1 = 1
bi = 2a1 i
 a2 =
1−
i+1
i
2
a2i = i+1
2i . Ïðè i = 1 óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ. Ïóñòü ai−1 = 2i−2 .
i
2i
2
2
= 2(i+1)
b2i = 4a12 = 4(i+1)
. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà bi è ai ïîëó÷èëèñü
Äîêàæåì, ÷òî
Ñîîòâåòñòâåííî,
1
4a2i
i+1
2i−2
4i = 2i .
ïîëîæèòåëüíûìè, òàê ÷òî
Òîãäà
i
a2i = 1 −
íàøå ðàçëîæåíèå â ñóììó ïîëíûõ êâàäðàòîâ êîððåêòíî.
100
50
2
Òàêèì îáðàçîì, b100 = 202 = 101 . Çíà÷èò, èñõîäíîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñóììó íåêîòîðîãî
51 2
101
êîëè÷åñòâà ïîëíûõ êâàäðàòîâ è
101 x101 + 2x101 . Ïðè äîáàâëåíèè ê ýòîìó âûðàæåíèþ ÷èñëà 51 îíî ñòàíîâèòñÿ
ïîëíûì êâàäðàòîì.
Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
100
X
i=1
2
(ai xi + bi xi+1 ) +
r
51
x101 +
101
r
101
51
!2
−
101
101
>−
.
51
51
101
Ïðè ýòîì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ ïðè x101 = −
51 , êàæäûé èç îñòàâøèõñÿ
÷åðåç ñëåäóþùèé ïî íîìåðó, ïðèðàâíÿâ ê 0 ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëíûé êâàäðàò.
xi
ìîæíî âûðàçèòü
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Íå îáúÿñíåíî, ïî÷åìó ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ: ñíÿòü 1 áàëë.
4. (3 áàëëà)
E íàõîäÿòñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû ïëîñêîñòè ABC . Ñåðû S1 è S2 ñ öåíòðàìè O1 è O2
DABC è EABC ñîîòâåòñòâåííî, ïðè ýòîì òî÷êà O1 ëåæèò íà ñåðå S2 è íàîáîðîò,
◦
◦
òî÷êà O2 ëåæèò íà ñåðå S1 .  òðåóãîëüíèêå ABC óãîë ∠A = 45 , óãîë ∠B = 30 , à ïëîùàäü ýòîãî òðåóãîëüíèêà
√
√
ñîñòàâëÿåò 3 + 3 3 êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðîâ. Èçâåñòíî, ÷òî DE >
6BC . Íàéäèòå ñóììó îáú¼ìîâ òåòðàýäðîâ
DABC è EABC .
√
Îòâåò: 12( 3 + 1) êóáè÷åñêèõ ñàíòèìåòðîâ.
Òî÷êè
D
è
îïèñàíû âîêðóã òåòðàýäðîâ
åøåíèå: Åñëè öåíòð îäíîé ñåðû íàõîäèòñÿ íà äðóãîé, çíà÷èò ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ñåð ðàâíî
ðàäèóñó ïåðâîé ñåðû. Çíà÷èò, îáà ðàäèóñà è ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ñåð ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî ∆ O1 O2 A,
∆ O1 O2 B è ∆ O1 O2 C ðàâíûå ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè, èõ âûñîòà ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ∆ ABC ,
à ñåðåäèíà îòðåçêà
O1 O2
å¼ öåíòð. Îáîçíà÷èì ðàäèóñ ñåð çà
R,
ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ∆ ABC çà
r.
Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ýòîãî ðàäèóñà èñõîäÿ èç îðìóëû, ñâÿçûâàþùåé ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà:
r2 =
√
S
3+3 3
√
√
= 12
=
2 sin 30◦ sin 45◦ sin 105◦
√
2 · 22 · 21 · 23+1
2
√
√
√
r = 2 3. Ñëåäîâàòåëüíî, R = r : 23 = 4. Êðîìå òîãî, èç òåîðåìû ñèíóñîâ íàéä¼ì BC = 2r sin 45◦ = 2 6.
√
Òî åñòü 3R =
6BC .
Ýòî çíà÷èò, DE > 3R. Íî DE 6 DO1 + O1 O2 + O2 E = 3R. Ñëåäîâàòåëüíî, DE = 3R = 12, à òî÷êè D , O1 ,
O2 , E ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Êðîìå òîãî, ýòà ïðÿìàÿ O1 O2 ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè
ABC , ïîýòîìó âûñîòà
√
√
2·6(3+3 3)
DE
êàæäîãî èç òåòðàýäðîâ ðàâíà
= 12( 3 + 1).
2 = 6. Çíà÷èò, ñóììà îáú¼ìîâ òåòðàäðîâ ðàâíà
3
îòêóäà
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Çà êàæäóþ àðèìåòè÷åñêóþ îøèáêó, íåñóùåñòâåííî ïîâëèÿâøóþ íà õîä ðåøåíèÿ (íî,
âîçìîæíî, ïîâëèÿâøóþ íà îòâåò) ñíèìàòü 1 áàëë.
Åñëè ó ó÷àñòíèêà â ðåçóëüòàòå àðèìåòè÷åñêîé îøèáêè ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñîâ ñåð ïîëó÷èëîñü, ÷òî
√
6BC
DE >
íåðàâåíñòâî
5. (4 áàëëà)
AC òðåóãîëüíèêà ABC , äëèíà îòðåçêà BD ñîñòàâëÿåò 60 ñì. ÂïèCBD êàñàþòñÿ ñòîðîíû AC â òî÷êàõ K è M è èìåþò ðàäèóñû 16 ñì
è 25 ñì ñîîòâåòñòâåííî. Êðîìå òîãî, îáå ýòè îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ ïðÿìîé BD â òî÷êå H . Ïðîåêöèè íåêîòîðîé
òî÷êè E íà ïðÿìûå AB è BD òî÷êè X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì òî÷êà X íå ëåæèò íà îòðåçêå AB , äëèíà
îòðåçêà BX ðàâíà 40 ñì. ×åòûð¼õóãîëüíèê KHM Y ïàðàëëåëîãðàìì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà EX .
Òî÷êà
D
íèêîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ, ñòàâèòü íå áîëüøå 1 áàëëà.
âçÿòà íà ñòîðîíå
ñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ
ABD
è
Îòâåò: 158 ñì.
r, áîëüøèé çà R. Òîãäà M K 2 = (R + r)2 − (R −
KD = HD = M D = 20 ñì. Ñëåäîâàòåëüíî, BH = BD − DH =
åøåíèå: Îáîçíà÷èì ìåíüøèé èç ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé çà
√
M K = 2 Rr = 40 ñì.
2
Çíà÷èò,
r) = 4Rr, òî åñòü
40 ñì.
Ïóñòü F òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ O1 O2 è EX . Íàéä¼ì îòäåëüíî îòðåçêè EF è F X .
Òàê êàê BX = BH = 40 ñì, ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè ∆ F BX è ∆ F BH ðàâíû ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó,
◦
∠HF X
çíà÷èò, F X = F H = BH · ctg ∠BF H . Íî ∠BF H =
, òî åñòü ctg ∠BF H =
= 180 −∠HBX
= ∠ABH
2
2
2
2
∠ABH
BH
BH
BH
ctg 2 = r = r = 2, 5. Ñëåäîâàòåëüíî, F X = r = 100 ñì.
Òåïåðü íàéä¼ì äëèíó îòðåçêà EF . Òàê êàê KHM Y ïàðàëëåëîãðàìì, îòðåçêè KM è HY äåëÿòñÿ òî÷êîé
ïåðåñå÷íèÿ ïîïîëàì. Íî ñåðåäèíà KM ýòî òî÷êà D , çíà÷èò KD = HD = M D = DY = 6 ñì è ýòè ÷åòûðå òî÷êè
ëåæàò íà íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, ïðè÷¼ì HY å¼ äèàìåòð. Òàê êàê ïðÿìûå O1 O2 è EY ïåðïåíäèêóëÿðíû HY ,
îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Îïóñòèì èõ òî÷êè F ïåðïåíäèêóëÿð F P íà EY . Òîãäà HF P Y ïðÿìîóãîëüíèê,
FP
F P = HY = 40 ñì. Íó à EF = sin ∠P
EF .
∠HF X
Óãîë ∠P EF ðàâåí óãëó ∠HF X êàê ñîîòâåòñòâåííûé, à tg
= 0, 4. Çíà÷èò, èñïîëüçóÿ óíèâåðñàëüíóþ
2
2·0,4
1
òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó, sin ∠P EF =
.
Ïîëó÷àåì
EF
= 40 · 1, 45 = 58 ñì.
1+0,42 1,45
Òàêèì îáðàçîì, EX = 158 ñì.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Çà êàæäóþ àðèìåòè÷åñêóþ îøèáêó, íåñóùåñòâåííî ïîâëèÿâøóþ íà õîä ðåøåíèÿ (íî,
âîçìîæíî, ïîâëèÿâøóþ íà îòâåò) ñíèìàòü 1 áàëë.
6. (5 áàëëîâ) Â òàáëèöå 30 × 30 êëåòîê
ïîñòàâëåíî 162 ìèíóñà è 144 ïëþñà (â êàæäîé êëåòêå íå áîëåå îäíîãî
çíàêà) òàê, ÷òî â êàæäîé ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå òàáëèöû ñòîèò íå áîëåå 17 çíàêîâ. Äëÿ êàæäîãî ìèíóñà
ïîäñ÷èòàëè, ñêîëüêî ïëþñîâ íàõîäèòñÿ â òîé æå ñòðîêå. Äëÿ êàæäîãî ïëþñà ïîäñ÷èòàëè, ñêîëüêî ìèíóñîâ
íàõîäèòñÿ â òîì æå ñòîëáöå. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà íàéäåííûõ ÷èñåë?
Îòâåò:
2 · 18 · 72 = 2592.
åøåíèå:
 óòâåðæäåíèè çàäà÷è èãóðèðóþò äâà òèïà ÷èñåë: ãîðèçîíòàëüíûå (êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ äëÿ ìèíóñîâ) è
âåðòèêàëüíûå (äëÿ ïëþñîâ). Ïîêàæåì, ÷òî ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ñóìì ÷èñåë êàæäîãî âèäà äîñòèãàþòñÿ íà
îäíîé è òîé æå êîíèãóðàöèè.
p ïëþñîâ è k ìèíóñîâ, k + p ≤ 17. Òîãäà
kp. àñïðåäåëèì ýòó ñóììó ïîðîâíó ìåæäó
àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñòðîêó òàáëèöû. Ïóñòü îíà ñîäåðæèò
ñóììà, êîòîðóþ ìû ïîñ÷èòàåì äëÿ ìèíóñîâ â ýòîé ñòðîêå, ðàâíà
âñåìè çíàêàìè â ñòðîêå. Áîëåå ñòðîãî, çàïèøåì ÷èñëî
kp/(k + p) â êàæäóþ íåïóñòóþ êëåòêó ýòîé ñòðîêè. Òåïåðü
ãîðèçîíòàëüíàÿ ñóììà â òî÷íîñòè ðàâíà ñóììå âñåõ 306 çàïèñàííûõ ÷èñåë.
Íàéä¼ì ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
òàþùàÿ óíêöèÿ îò
k.
Çíà÷èò, ïðè
k + p < 17
f (k, p) = kp/(k + p) ïðè k + p ≤ 17. Çàìåòèì, ÷òî f (k, p) âîçðàñïðè óâåëè÷åíèè k è ñîõðàíåíèè p çíà÷åíèå f (k, p) òàêæå áóäåò
ïðè k + p = 17.  ýòîì ñëó÷àå f (k, p) = k(17 − k)/17 è èìååò
óâåëè÷èâàòüñÿ, òî åñòü ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ
72
17 ïðè k = 8 èëè k = 9.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå èç 306 ñóììèðóåìûõ ÷èñåë áóäåò ìàêñèìàëüíî, åñëè ìû íàéä¼ì êîíèãóðàöèþ â
ìàêñèìóì ðàâíûé
êîòîðîé ëþáàÿ íåïóñòàÿ ñòðîêà ñîäåðæèò ðîâíî 8 ïëþñîâ è 9 ìèíóñîâ (èñõîäÿ èç îáùåãî êîëè÷åñòâà ïëþñîâ è
ìèíóñîâ ïîòðåáóåòñÿ 18 òàêèõ ñòðîê.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàêñèìóì âåðòèêàëüíûõ ñóìì äîñòèãàåòñÿ íà êîíèãóðàöèè, â êîòîðîé â
êàæäîì ñòîëáöå ðîâíî 9 ìèíóñîâ è 8 ïëþñîâ.
Ïðèìåð ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî 1 âàðèàíòó ñ çàìåíîé ïëþñîâ íà ìèíóñû
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Îöåíêà áåç ïðèìåðà: 4 áàëëà. Îöåíêè íåò èëè îíà íåâåðíà, íî çàìå÷åíî, â êàêîé ñèòóàöèè äîñòèãàåòñÿ
ìàêñèìàëüíàÿ ñóììà ïî ñòðîêå/ñòîëáöó: 1 áàëë Ïðèìåð áåç îöåíêè: 1 áàëë.
7. (5 áàëëîâ)
xy + yz + xz = 1.
√
x3
3
y3
z3
+
+
>
.
x2 + yz y 2 + zx z 2 + xy
2
Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ
Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
åøåíèå:
a3
Ïðåäñòàâèâ êàæäîå ñëàãàåìîå â âèäå a2 +bc
Ïî íåðàâåíñòâó î
(x−y)2
2
= a − a2abc
+bc , çàïèøåì íåðàâåíñòâî â âèäå
√
3
1
1
1
x+y+z >
.
+ xyz
+
+
2
x2 + yz y 2 + zx z 2 + xy
√
2
ñðåäíèõ x + yz > 2x yz è ò.ï., òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,
√
√
3 1 √
√
+ ( xy + yz + zx).
x+y+z >
2
2
2
÷òî
2
+ (x−z)
+ (z−y)
> 0,çíà÷èò, x2 + y 2 + z 2 > xy + yz + xz = 1. Ïîëó÷àåì (x + y + z)2 =
2
2
√
x + y + z + 2(xy + xz + yz) > 3, îòêóäà x + y + z > 3.
√
√
√
Âçÿâ ïîëóñóììó ýòîãî íåðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà x+y+z >
xy+ xz+ yz ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.
Ïîñêîëüêó
2
2
2
Êðèòåðèè ïðîâåðêè: Íåðàâåíñòâà î ñðåäíèõ äëÿ ëþáîãî êîëè÷åñòâà ÷èñåë ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè.
8. (5 áàëëîâ)
Êîñòÿ êóïèë òåòðàäêó ¾â òðåóãîëüíè÷åê¿, âñå êëåòêè êî-
òîðîé ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñòîðîííèìè òðåóãîëüíèêàìè ñî ñòîðîíîé 1, è ðèñóåò â ýòîé òåòðàäêå ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè ïî ëèíèÿì ñåòêè. Êàêîå
íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî òðåóãîëüíèêîâ åìó íåîáõîäèìî íàðèñîâàòü, ÷òîáû
â èòîãå ó íåãî ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé
n = 23,
ðàçáèòûé íà òðåóãîëüíèêè ñî ñòîðîíîé 1? Ïðèìåð òðåáóåìîé èãóðû äëÿ
n= 4
èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (ïðàâèëüíûì íàçûâàåòñÿ øåñòèóãîëüíèê, âñå
ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû è âñå óãëû òàêæå ðàâíû).
Îòâåò: 72
åøåíèå: Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ïðèìåð:
Âåñü øåñòèóãîëüíèê ïîêðûâàåòñÿ 141 ïðÿìîé (47 ïðÿìûõ êàæäîãî èç òð¼õ íàïðàâëåíèé). Îòðåçêè, ïî êîòîðûì ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ ñ øåñòèóãîëüíèêîì, íàçîâ¼ì êîðîòêèìè, åñëè îíè èìåþò äëèíó íå áîëüøå 34
(èõ 72 øòóêè), è äëèííûìè, åñëè îíè èìåþò äëèíó õîòÿ áû 35 (69 øòóê).
Çàìåòèì, ÷òî â ëþáîì óçëå òðåóãîëüíîé ðåø¼òêè, ëåæàùåì íà ãðàíèöå, íî íå â âåðøèíå øåñòèóãîëüíèêà,
ñõîäÿòñÿ äâà îòðåçêà êîðîòêèé è äëèííûé (ñóììà èõ äëèí ðàâíà 69). Â âåðøèíå æå ñõîäÿòñÿ äâà êîðîòêèõ è
îäèí äëèííûé. Çíà÷èò, íà ëþáîì êîðîòêîì îòðåçêå, êàê íà îäíîé èç ñòîðîí, ìîæíî ïîñòðîèòü ðàâíîñòîðîííèé
òðåóãîëüíèê (ëåæàùèé âíóòðè íàøåãî øåñòèóãîëüíèêà), îñòàâøèåñÿ äâå ñòîðîíû êîòîðîãî áóäóò ëåæàòü íà äâóõ
äëèííûõ îòðåçêàõ.
àññìîòðèì âñå òàêèå òðåóãîëüíèêè, èõ 72 øòóêè. Äîêàæåì, ÷òî îíè ïîêðûâàþò âñå òðåáóåìûå îòðåçêè.
Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé îòðåçîê òðåóãîëüíîé ñåòêè, ëåæàùèé âíóòðè øåñòèóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ëèáî
êîðîòêîãî, ëèáî äëèííîãî îòðåçêà. Íàøè 72 òðåóãîëüíèêà ïîêðûâàþò âñå êîðîòêèå îòðåçêè ïî îïðåäåëåíèþ
ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. ×òî êàñàåòñÿ äëèííûõ îòðåçêîâ, òî îáà êîíöà êàæäîãî èç íèõ ÿâëÿþòñÿ â òî æå âðåìÿ
êîíöàìè êàêèõ-òî êîðîòêèõ îòðåçêîâ, òî åñòü âåðøèíàìè íàøèõ òðåóãîëüíèêîâ. Çíà÷èò, íà ýòîì äëèííîì
îòðåçêå ëåæàò äâå ñòîðîíû íàøèõ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîñêîëüêó îäèí äëèííûé îòðåçîê íå äëèííåå, ÷åì äâà
êîðîòêèõ, ýòè ñòîðîíû ïîêðûâàþò åãî öåëèêîì.
Òàêèì îáðàçîì, è êîðîòêèå, è äëèííûå îòðåçêè îêàçûâàþòñÿ ïîêðûòû ýòèìè 72 òðåóãîëüíèêàìè.
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ÷èñëî 72 íàèìåíüøåå.
Êàæäîìó îòðåçêó äëèíû 1, âûõîäÿùåìó èç òî÷êè íà ñòîðîíå (íî íå â âåðøèíå) âíóòðü øåñòèóãîëüíèêà,
ñîïîñòàâèì ñòîèìîñòü 1. Òàêèõ îòðåçêîâ âäâîå áîëüøå, ÷åì òî÷åê íà ñòîðîíàõ (íå ñ÷èòàÿ âåðøèí), òî åñòü 264.
Êàæäîìó îòðåçêó äëèíû 1, âûõîäÿùåìó èç âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà è ëåæàùåìó íà åãî ñòîðîíå, ñîïîñòàâèì
ñòîèìîñòü 2. Òàêèõ îòðåçêîâ 12, èõ ñóììàðíàÿ ñòîèìîñòü 24.
Òàê êàê òîëüêî äâå âåðøèíû ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ìîãóò ëåæàòü íà ãðàíèöå øåñòèóãîëüíèêà, ìàêñèìàëüíàÿ ñóììàðíàÿ ñòîèìîñòü ð¼áåð, âõîäÿùèõ â îäèí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ðàâíà 4. Çíà÷èò, íàì
òðåáóåòñÿ õîòÿ áû
288 : 4 = 72
òðåóãîëüíèêà.
Êðèòåðèè ïðîâåðêè:
Îöåíêà áåç ïðèìåðà: 3 áàëëà. Ïðèìåð áåç îöåíêè (ñ äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî ýòî ïðèìåð óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ çàäà÷è): 2 áàëëà. Ïðèìåð áåç (áåç äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ýòî ïðèìåð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è):
1 áàëë

戎 昭º ¸ 什 棺 µ 昭戎 º º ´ µ º ¸ º ¸ 昭戎½ ¸ º º k + 1 º 充 º 10k

従 º L2([a, b],ρ(x))º