Ñïèñîê âîïðîñîâ ïî êóðñó
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
òåîðèÿ èëüòðàöèè
ñåçîí 2014 ãîäà
1.
Ïîíÿòèå ñèãíàëà. Ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû.
2.
Îáðàáîòêà ñèãíàëîâ è ñèñòåìû îáðàáîòêè ñèãíàëîâ. Ïîíÿòèå èëüòðàöèè è èëüòðà. Ïðèìåðû.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Àíàëîãîâûå (íåïðåðûâíûå), äèñêðåòíûå è öèðîâûå ñèãíàëû. ðàè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íåïðåðûâíûõ
è äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ.
Ïðèìåð çàäà÷è èëüòðàöèè: ÷àñòîòíîå ðàçäåëåíèå ñèãíàëîâ, ïîäàâëåíèå øóìà.
Ñòàíäàðòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèãíàëà ñî ñìåíîé åãî òèïà. Ñýìïëèðîâàíèå (äèñêðåòèçàöèÿ) ñèãíàëà.
Îöèðîâêà ñèãíàëà.
Âåùåñòâåííûå è êîìïëåêñíûå ãàðìîíè÷åñêèå ñèãíàëû, èõ õàðàêòåðèñòèêè, ñâÿçü ìåæäó íèìè, ïîëèãàðìîíè÷åñêèå ñèãíàëû.
Ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè: îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå
ñâîéñòâà. Äèåðåíöèàëüíûå èëüòðû.
Ëåììû î ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðàõ.
Ïðîõîæäåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà ÷åðåç äèåðåíöèàëüíûé èëüòð. ×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
äèåðåíöèàëüíîãî èëüòðà.
Àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè äèåðåíöèàëüíîãî èëüòðà. Èõ ãðàè÷åñêîå
ïðåäñòàâëåíèå. Ñâîéñòâà àìïëèòóäíîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè.
Ñâîéñòâà àçîâîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè äèåðåíöèàëüíîãî èëüòðà. Êðèòåðèé Ìèõàéëîâà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàçäåëåíèÿ ïîëèãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ èëüòðàöèè ïîëèãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà îò ïîëèãàðìîíè÷åñêîãî øóìà. Èõ "íàèâíîå"ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ äèåðåíöèàëüíîãî èëüòðà â
êîìïëåêñíîì è âåùåñòâåííîì ñëó÷àå.
Íåïðèåìëåìîñòü "íàèâíîãî"ðåøåíèÿ. Ïîíÿòèå ìàëîãî øóìà, óñòîé÷èâîãî è íåóñòîé÷èâîãî èëüòðà.
Óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíûõ èëüòðîâ.
Äðîáíî-ðàöèîíàëüíûé èëüòð; âîçìîæíûé âûõîäíîé ñèãíàë; ñîáñòâåííûé øóì.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ è ìíîæåñòâà ñîáñòâåííûõ øóìîâ
äðîáíî-ðàöèîíàëüíîãî èëüòðà.
Âíóòðåííå óñòîé÷èâûé äðîáíî-ðàöèîíàëüíûé èëüòð. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âíóòðåííå óñòîé÷èâûõ
èëüòðîâ.
17.
Êðèòåðèé âíóòðåííåé óñòîé÷èâîñòè èëüòðà. óðâèöåâ ìíîãî÷ëåí.
18.
Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîãî äðîáíî-ðàöèîíàëüíîãî èëüòðà (ñ ëåììîé).
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Ëåììà î ïðåîáðàçîâàíèè ïðîñòðàíñòâà ñîáñòâåííûõ øóìîâ ëèíåéíûì äèåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì
ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.
åçîíàíñ
×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îáùåãî äðîáíî-ðàöèîíàëüíîãî èëüòðà. Àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿ ÷àñòîòíûå
õàðàêòåðèñòèêè; èõ ñìûñë è ñâîéñòâà.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñõåìîòåõíèêà (àãðåãèðîâàíèå äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ èëüòðîâ). Òåîðåìà î êàñêàäå.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñõåìîòåõíèêà (àãðåãèðîâàíèå äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ èëüòðîâ). Òåîðåìà î ïàðàëëåëüíîì ìîñòå.
Òåîðåìà îá óñòîé÷èâûõ äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ èëüòðàõ.
1
25.
26.
27.
28.
åøåíèå çàäà÷è ðàçäåëåíèÿ ïîëèãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â êëàññå äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ èëüòðîâ.
Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè èëüòðàöèè (èëüòðû íèæíèõ, âåðõíèõ ÷àñòîò, ïîëîñîâûå èëüòðû è
ò.ï.)
Íåâîçìîæíîñòü àáñîëþòíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà èëüòðà ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé; ëåììà îá îðòîãîíàëüíîñòè.
Íåâîçìîæíîñòü àáñîëþòíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèíòåçà èëüòðà ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé; îöåíêà ìàêñèìàëüíîé äîñòèæèìîé òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè.
29.
Ôèëüòð Áàòòåðâîðòà.
30.
Ôèëüòðû ×åáûøåâà.
31.
Ýëëèïòè÷åñêèé èëüòð.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Íåïðåðûâíûå ïåðèîäè÷åñêèå ñèãíàëû è ñâÿçàííûå ñ íèìè ïðîñòðàíñòâà. Ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå
ñèãíàëà. Èíâàðèàíòíîñòü èíòåãðàëà ïî ïåðèîäó. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ
ñèãíàëîâ.
Ïåðèîäè÷åñêèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä è ñâÿçàííûå ñ íèì ïîíÿòèÿ. Àìïëèòóäíî-àçîâàÿ è êîìïëåêñíàÿ îðìû. Ñâÿçü ìåæäó ðÿäàìè â ðàçíûõ îðìàõ.
Îðòîãîíàëüíûå ðÿäû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîëíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà. àçëîæåíèå ïî
ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå. àâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íåïðåðûâíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà (âåùåñòâåííàÿ è êîìïëåêñíàÿ
îðìû). Òåîðåìà î ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà â L2lo . Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà; ÷àñòîòíûé ñïåêòð íåïðåðûâíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà; àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûé è àçîâî-÷àñòîòíûé ñïåêòðû.
Óñèëåííàÿ ñõîäèìîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå íåïðåðûâíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà. Ýåêò èááñà.
Ïðåîáðàçîâàíèå ñïåêòðà ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç äðîáíî-ðàöèîíàëüíûé èëüòð.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà. Îïðåäåëåíèå ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñóììèðóåìîãî ñèãíàëà, èõ ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.
Èíòåãðàë Ôóðüå, òåîðåìà î ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà Ôóðüå. ×àñòîòíûé ñïåêòð íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà;
àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûé è àçîâî-÷àñòîòíûé ñïåêòðû.
àñ÷åòíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà (ëèíåéíîñòü, õàðàêòåðèñòèêà âåùåñòâåííûõ ñèãíàëîâ, ÷åòíûõ è íå÷åòíûå ñèãíàëîâ, ñäâèã è ìàñøòàáèðîâàíèå ñèãíàëà).
Câîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà (äèåðåíöèðîâàíèå, ïðîõîæäåíèå ÷åðåç äðîáíîðàöèîíàëüíûé èëüòð)
Âîññòàíîâëåíèå íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà ïî åãî âðåìåííîé äèñêðåòèçàöèè. Ïîñòàíîâêà âîïðîñà, ÷àñòîòà
Íàéäêâèñòà, îðìóëèðîâêà òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà-Øåííîíà.
Âîññòàíîâëåíèå íåïðåðûâíîãî ñèãíàëà ïî åãî âðåìåíí
îé äèñêðåòèçàöèè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà.
åîìåòðè÷åñêèé îáðàç ïðîñòðàíñòâà ÷àñòîò äèñêðåòíîãî ñèãíàëà. Îïðåäåëåíèå z -ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà.
Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèé z -ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà.
àñ÷åòíûå ñâîéñòâà z -ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà: ëèíåéíîñòü, õàðàêòåðèñòèêà âåùåñòâåííûõ ñèãíàëîâ, ñäâèã (îïåðàòîð ∇).
àñ÷åòíûå ñâîéñòâà z -ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà: ñâåðòêà.
2
48.
49.
50.
51.
Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè è ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ: ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà óêàçàííûõ ñèãíàëîâ, èõ ñâÿçü, êîìïëåêñíûå êîðíè èç åäèíèöû è ñâÿçàííûé
áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñèãíàëîâ.
Ñïåêòðàëüíûé àíàëèç äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè è ïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ: äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå; îïðåäåëåíèå è ñâÿçü ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå.
àñ÷åòíûå ñâîéñòâà äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà: ëèíåéíîñòü, êîìïëåêñíîå
ñîïðÿæåíèå, õàðàêòåðèñòèêà âåùåñòâåííûõ ñèãíàëîâ.
Àëãîðèòìû áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå: áàçîâûå ñâîéñòâà êîðíåé èç åäèíèöû, ïîíÿòèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè àëãîðèòìà, îöåíêà ñëîæíîñòè ïðîñòåéøåãî àëãîðèòìà.
52.
Àëãîðèòì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïðîðåæèâàíèåì ïî âðåìåíè.
53.
Àëãîðèòì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïðîðåæèâàíèåì ïî ÷àñòîòå.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Îñíîâíûå ïðîñòðàíñòâà äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ. Ôèíèòíûå ñèãíàëû. Îïðåäåëåíèå öèðîâîãî èëüòðà.
Ëèíåéíûé è ñòàöèîíàðíûé èëüòðû.
Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãî öèðîâîãî èëüòðà. Âîññòàíîâëåíèå èëüòðà
ïî èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêå. Ôèëüòð ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî; îêíî îáðàáîòêè.
Êàóçàëüíûå (íåóïðåæäàþùèå, èçè÷åñêè ðåàëèçóåìûå) öèðîâûå èëüòðû. Èõ îïèñàíèå â òåðìèíàõ
èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè.
Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîãî öèðîâîãî èëüòðà (áåç ïàìÿòè); óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè â òåðìèíàõ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè. Àïïðîêñèìàöèÿ èëüòðàìè ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî.
×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãî èëüòðà. Åå ðîëü â îïèñàíèè ðåàêöèè èëüòðà
íà çàäàííûé âõîäíîé ñèãíàë.
Ôèëüòð àâòîðåãðåñèè-ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî, îñíîâíûå ñâÿçàííûå ñ íèì ïîíÿòèÿ, îñíîâíûå ñâîéñòâà.
Âíóòðåííå óñòîé÷èâûå è óñòîé÷èâûå èëüòðû àâòîðåãðåñèè-ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî. Êðèòåðèé âíóòðåííåé óñòîé÷èâîñòè.
61.
Äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèÿ âíóòðåííåé óñòîé÷èâîñòè èëüòðà àâòîðåãðåñèè-ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî.
62.
×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà èëüòðà àâòîðåãðåñèè-ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî.
63.
Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè èëüòðà àâòîðåãðåñèè-ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî; ñâÿçü óñòîé÷èâûõ èëüòðîâ àâòîðåãðåñèèñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ñ ëèíåéíûìè ñòàöèîíàðíûìè èëüòðàìè áåç ïàìÿòè.
64.
Îïòèìàëüíîå îöåíèâàíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà: ïîñòàíîâêè çàäà÷è è èõ îáñóæäåíèå.
65.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà; èõ ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.
66.
Íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû è èõ ñâîéñòâà.
67.
Ëèíåéíàÿ îïòèìàëüíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîãî âåêòîðà; ñóùåñòâîâàíèå, ðàñ÷åòíûå îðìóëû.
68.
Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ.
69.
Èííîâàöèîííîå îöåíèâàíèå.
70.
Ôèëüòð Êàëìàíà: ïîñòàíîâêà çàäà÷è, îáùåå ïîíÿòèå î èëüòðå Êàëìàíà
71.
Ôèëüòð Êàëìàíà: âûâîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé.
72.
Ôèëüòð Êàëìàíà: èíèöèàëèçàöèÿ.
73.
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: ïîñòàíîâêà âîïðîñà, îòëè÷èå îò îáû÷íîãî èëüòðà Êàëìàíà.
74.
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: îðìóëèðîâêà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà.
75.
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: ëåììû î ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ ñ ãóðâèöåâûì äèíàìè÷åñêèì îïåðàòîðîì.
3
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: îïòèìàëüíîñòü ëèíåéíîé îïòèìàëüíîé îöåíêè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà â
óñèëåííîì (ìàòðè÷íîì) ñìûñëå
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: ïåðåîðìóëèðîâêà øàãà ìàòðè÷íîé ðåêóðñèè èëüòðà Êàëìàíà â
òåðìèíàõ ìàòðè÷íîãî ìèíèìóìà è âûòåêàþùèå èç ýòîé ïåðåîðìóëèðîâêè ñâîéñòâà
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîðîæäàåìîé "ìàòðè÷íîé"÷àñòüþ
èëüòðà Êàëìàíà
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîðîæäàåìîé "ìàòðè÷íîé"÷àñòüþ
èëüòðà Êàëìàíà ïðè íóëåâîé íà÷àëüíîé ìàòðèöå
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: âåðõíÿÿ îöåíêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîðîæäàåìîé "ìàòðè÷íîé"÷àñòüþ
èëüòðà Êàëìàíà
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîðîæäàåìîé "ìàòðè÷íîé"÷àñòüþ
èëüòðà Êàëìàíà
Ñòàöèîíàðíûé èëüòð Êàëìàíà: çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà
4

従 º L2([a, b],ρ(x))º

K 1174 WP9236