U.D.C.る2ト52
Bode線図より自動制御系の一次および=次系近似式を得る方法
AMethod
Function
ofDerivingApproximate
ControISystem
from
the
Bode's
小野田
容
梗
Automatic
Diagram
芳
Yoshimitsu
内
for
光*
今
Onoda
尾
隆*
TakashiInlaO
概
自動制御系の閉回路応答をその開回路伝達函数より求め,また,複雑な系を簡単な系におきかえるこ
とは重要である｡
ここでは減衰係数の′トさな場合に二次振動系で近似し,減衰係数が人きくなるにしたがい二次臨界制
動系,さらに･一次系で近似する方法を述べ,この方法の結果とアナコソ解析結果を比較して示した｡
A(∠)=O
f=0で
ト
緒
言
dA(≠)/離
自動制御系の過渡応答をその開回路伝達函数より求め
要であり,そのため従
ることは
が成立するが,このときは(1)式が次のようにな
る.｡
より種々の方法(1)(2)
が考えられていたが,それらほいずれも応用するに当り
な場合カ 少 な
∵､
な
A(り
lt･･･ト1十(α/叫)2∈
卵cos(叫f
〇
また,自動制御系でほいくつかの複雑な制御系が組合
一tanrl一意))
って動作する場合が多いが,これをそのまま考えてゆく
のほ非常に困
で,一つの制御系を一次もしくは二次の
このようなl己答を示す制御系の閉山路伝達函数
簡単な系で近似する必要がある｡
Ⅳ(♪)ほ次の形の二次系
先に,Bode線図より二次振動系もしくは-｢･次系の近
び(♪)でおきかえることが
できる.｡
似式を導き出す方法を報告(3)(4)したが,実際の制御系に
ご{-
は二次振動系と-一一次系の中間の二次臨界制動系で近似す
べきものが少なくない.｡
Wo(げ2+揖02)
(♪+げ)2十(〃02
才一;-
なぜなら,この過渡応答α(≠)は
それで,今虹二次臨界制動系で近似する方法について
αけ)=ぴ(β)･1
検討したので,ここでほこの方法と先に報告した方法を
/叫)2三 卵cos(仙of
ートい､･‥
合して
なお,理論を簡甲にするため,以 Fの制御系は単一饅
還系(Unity
Feedback
System)とする｡
tan 1
α〉0
2.畢聖
論
となって,(3)式と閉じになるからである｡
2･1二次振動系で近似しうる場合
また,この甜(♪)より開回路伝達函数g(♪)をもと
2.1.1二次振動系で近似する方法
めると
制動がよわいとき自動･制御系の過渡応答ほ一般に二
.･!-
ト
g(♪)二 1一紺(♪)
次振動系で近似しうるような応答を描く場合が多い｡
すなわち,自動制御系は一普通多くの要素よりなってい
lア0(げ2+(り02)
るが,その過渡応答A(f)ほ
A(≠)≒l仇‡1+α㌻卵cos(仙of+￠)卜
♪2十2げ♪十(1-1仇)(ぴ2+叫)2)
‥(1)
となり,牛引こ,
ここに,
Go二>(〃02/♂2‥.
閉回路増幅率
初期条件によりきめられる定数
の成立するときはg(♪)が次のようirこなる｡
として近似される場合が多い〕
Co
g(♪)=
そして,たいていの場合,
*
･･(5)
日立製作所日立研究所
ここに,
16
(1十rlj))(1十r2♪)
‥(6)
l
Bode緑園より日動制御系の一次および二次系近似式を得る方法
げと叫がBode緑園より求まると便利である｡この
方法に先に報告したものがある(5)｡
これは第2図のようにBode緑園を描き,ゲイン
曲線が
Odb
と交わる点(ゲイン交点)の周波数
叫(rad/s),その点の位相余有r(deg)およぴその点
におけるゲイン曲線の傾斜｡ア(db/dec),位相曲線
傾斜c97(deg/dec)を得ることにより,その減衰係数
(が0･5より小さな場合に次の式から求めることがで
きるというものである｡
ー⊂グ■p叫
2.86(=デ2+0.1522くプ2)
4(1+0.軸)
(1+♪)8
G(♪)=
第1図
g(♪)=
1･72♪望+1.86♪+1
仙0≒
G(♪)とその二次系近似式g(♪)のベクト
0.053く夕7∽
1-
叫=………….(10)
プ′2+0.1522亡ア2
ル緑園
この式ほ(∠0･5
でないと誤差が大きくて使用でき
ないが,またそのようなときでないと振動が強くあら
われず二次振動系で近似することができなくなる｡
Gl一帖坤
なお,;∠0.5に限ることにすれば
+β
ダ=即Ou芦烏
■争I
(げ/材0)2≪1…
J=-ガ舶/dβC
十し∵
牢二′
∵∴‥､‥∴.
= 桁毎/dβC
rl
l
r右ノ
ノ
ゲイン曲綿.占rJU)
l
l
ヂ
】
＼
銅
I〃
朋
UJ
Z
となるのでA(f)の近似式が次のように簡単になる｡
A(f)≒α(≠)
(12)
≒耶(1-｢∈ 町cos叫f)
2･1･2(∠0･5をあらかじめ判定する方法
｣
上記の近似式が適用できるときほ前に述べたように
イ
山
ゲイン文子J
振動の強くあらわれる場合で,すなわち
】lllr
∈≦0.5が成
立することが必要である｡
n
第2図
ところで,減衰係数;が0.5
より小さいか布かを
調べるのに,上記の方法でα
G(♪)のBode線図
と
甜0を求め,それよ
り,
Go=l租/(1-1仇)でもとの開回路
伝達函数G(♪)の増幅率
rl=げ頃1+J
1-1/α2ゐ)
r2=戎(1¶J
1-1/げ2ゑ)
)＼Ⅰ(J
..(8)
かじめこの近似式が適用できるか否かを判定できるこ
ゑ=(1十Go)/(げ2十(り02)
したがって,任意の開国路伝
から,∈を計算して判定するということよりも,あら
函数
G(♪)が与え
とが望ましい｡そこで,この方法について考える｡
(13)式で;∠0.5を満足するげ/叫の条件を求める
られて,その増幅率Coと閉川路にしたときの過渡応
答基本振動項の周波数叫トおよびその減衰率αが知
られれば二次系近似式g(♪)を得ることができること
になる｡
Co=G(0)であり,また,叫とげはG(♪)のベク
レレ軌跡の(-1,ブ0)の点にもつとも近い点の位置
と
(-ニ)/J
ゆえに,
≠;0.5
げ/叫く0.6…………………………(14)
となる｡これに,(9)(10)式を代入すると
を示すから,二次系近似式g(♪)は第1図に示すよう
･
に仙=0と仙=(り0の二点でC(♪)と一致している｡
すなわち,C(♪)をベクトル緑園に描き,(-1,
ブ0)に最も近い点を求めれば,それより二次振動系
叫 2溺(タ2十0.1522プ2-0.053<プや
<0.6
普通,タ2≫0･1522くア2-0.053くアやであるので
近似式を得ることができる｡
しかし,ベク1リレ線図はかくのが面倒であるので,
t･
(叫)
<タタ <0.6
3くア
(15)
自
昭和33年10月
動
制
御
特
集
号
日立評論別冊第26一片
その点として位相角-45度の点がもつとも適当で
ある｡なぜなら,その点は近似した軌跡の中央にあ
り,かつ,この点の周波数を仙0
とすると,近似した
一次系の時定数Toほ,
To=1/叫い..
として容易に求まるからである｡
すなわち,Bode線I
を措いたときそれが時間おく
れの性質を有しており,かつ,Pが十分大きなとき
は,第4図に示すように位相角-45度(位相余有や=
135度)を与える角周波数仙｡を求め,それよりてJを
G(♪)
第3図
g(♪)
_坦±p･05夕)
(1+♪)(1+0.1♪)
得ることによってこの系の開回路伝達函数G(♪)を
1+1.礪夕
G(♪)とその→次系近似式g(♪)のベクト
一次系g(♪)で
ル棟図
G(♪)≒g(♪)=
ト
l
■
† l
ll
｣__⊥_→
=
+++
｢
十十
或■むl
丁川
l l 1-11
占
L
1
囲
l
イ//･綱吉J
J∃
G｡=C(0)で開回路増幅率
〃
として近似することができ,したがって閉回路伝
111
へb竃)旺浮雲
/JJO
l
1
圏
イ○
少=タ
皿
侶♭仙
U.ク=7/7￠=′
l
同
銅
♂βミ`/
L
l
?
数Ⅳ(♪)および過渡応答A(f)は次の式抄(♪),α(f)
で近似される｡
lア(夕)≒紺(♪)
U 口
イ
姻∵
甲0
†
】
団
第4図
l
】
l
Bode
1十To♪
ここに,
田
r卜p‖トβ./pノ.
Go
l
1+r♪
l
A(り≒α(f)
線固より一次系近似式を得る方法
=吼(1-∈｢′r)
ここに,
となり,したがって,
町)=Co/(1+Go)で閉回路増幅率
㌢く-1息グ`……･･‥
=(16)
T=To/(1十Go)
を満足するとき,;<0.5が満足されることになる｡
すなわち,ゲイン交点における位相余有甲
とゲイ
ン曲線の傾斜くグの問に(16)式の関係があるとき前
2.2.2
….(22)
適用範囲の判定法
この近似法はもとのべクいレ線図を半円で近似する
の近似式を利用することができる｡
のであるから,もとのベクトル緑図が半円に近いほど
なお,プ′は常に負であるから(16)式ほ次のように
近似度が高い｡
した方が便利である｡
p<1･鋸タl
2.2
一次系で近似しうる場合
2.2.1一次系で近似する方法
制動がよくきいているときほ前記(17)式の条件が
ベクトル線図が半円に近くなるということは,減衰
係数;が大きくなるということで,この近似式は減
衰係数(が0.5より大きな場合にあてはまる｡減衰
係数∈が0.5
式の反対に
や>1.引=グt
成立せず二次振動系で近似することができなくなり,
一次系で近似せねばならなくなる｡
日動制御系でほ第3図に示すように,その閲回路伝
より大きいか否かを判定するには(17)
が成立することを確めればよい｡
また,Pが1.鋸グlの近傍であるとき,すなわち,
達函数のべクレレ軌跡を半円形で近似できる場合が少
∈が0.5の近くでは,まだ多少振動があるので,Pの
なくない｡ベクトル軌跡を半円で近似することは一次
限界として(23)式よりもさらに強い条件
系でその制御系を近似することである｡
この場合,近似した軌跡上各点の周波数も,もとの
軌跡上の値に近似せしめねばならぬが,一次系で近似
したのであるから,ある一点の周波数をきめればはか
はおのずから定まる｡
甲≧900
を判定法の一つとすることも考えられる｡
2.3
二次臨界制動系て近似しうる場合
前記一次系で近似する場合の判定に(24)式を用いる
と(17)式と(24)式の範囲に含まれない
Bode緑園より自動制御系の一次および二次系近似式を得る方法
に135度が適当であろう｡そして,この位相余有角に対
1.粧ア】≦p<900
する角周波数を叫)とすれば,Tl,T2ほ次のようにな
の範囲が残ることになる｡
この範囲の制御系は,一次系で近似できる範囲と二次
る｡
振動系で近似できる範囲の問にあるので,一次系と二次
Tl≒(1一視)/仙0
振動系の中間の二次臨界制動系で,すなわち,その過渡
丁2≒祝/叫)‥.
応答A(わ
ここに,
を次式のα(f)で,
A(f)≒α(f)
tJ=
1十2C｡+2∼/高石斥高
=吼Il一三 J/γ(1+f/r)1
ここに,
耶:閉回路増幅率
(Co:≧1)………………(32)
-
2(1+G｡)
r:時定数
そして,(26)式および(27)式のrは次のようにな
函数Ⅳ(♪)を次式の紺(♪)で
として,その閉回路伝
る｡
Ⅳ(♪)≒紺(♪)
Tl
r=
l11､.
(1+G｡)(1+石和
(1+♪r)2
Tl
として近似することができよう｡
(1+Co)(2-1/2Go)
そして,開回路伝達函数G(タ)ほ次のg(♪)で近似
Tl(1+1/4G｡)
2(1+Go)
できる｡
C(♪)≒g(♪)
Go
3.アナコンによる検
(1十丁】♪)(1+丁2♪)
例題として開回路伝
ここに,
(A)
Go=l仇/(1一吼)で開回路増幅率
G｡
(1+♪)(1+0.1♪)
丁2=(1+G｡)(1一√両)r
Go
=(1一√吼)Tl/(1+ノl仇)
(1+♪)(1+0.05♪)2
Go(1+0. 9享受)
したがって,二次臨界制動系近似式g(♪)は,一次系
(1十♪)(1十0.1♪)
近似式を求める場合と同様に,閑回路増幅率Goとある
Go
位相余有poにおける角周波数甜0が求まれば求めるこ
(1十♪)2
とができる｡その位相余有としては一次系の場合と同様
各種開
函数G(♪)が次の諸式で表わ
される場合について検討する｡
(B)
Tl=(1+C｡)(1+√軌)T
第1表
(Go≧:1)
回路伝達函
数 G(♪)の一次系近似式
の
衷
∠2
備考:G01:γ≧900を満足するCo
C中空:9≧1.8にグlを満足するCo
<00
昭和33年10月
例
自
動
制
御
特
集
号
日立評論別冊第25号
題
(a)
例
題
(a)
Go=2
Go=20
(b)
Co=2
(b)
Co=20
(c)
Co=4
(d)
(e)
Co=10
Co=2
(g)
(f)
Go=1
Co=4
備考:一次系近似曲線はExponentialCurveiこなっている｡
第5図
p≧900
近似応答の比較
のときの実際の応答とその一次系
備考:?く1.引グlであるから一次系で近似できない範囲である
が,一次系で近似したものは中心線的なものを示し,応答の傾
向を表わしている｡
第7図
pく1.鋸タlの場合の実際の応答と一次系近
似応答の比較
例
題
(a)
Co(1十0.5♪)
(1+♪)2
Go=4
Co(1+0.5♪)
(1+♪)3
(b)
Go=4
Co(1+0.5♪)3
(1十♪)3
(c)
Goが小さいとゲイン交点における位相余有角pが大
きく-｢･次系で近似することができるが,G｡が大となる
Go=20
にしたがって
や
は小となり二次臨界制動系,さらに二
次振動系で近似した方がよくあうようになる｡
(e)
3.1一次系による近似
上記の例題について
Go=10
P≧90〇およぴp≧1.8】グ1
を満足する
(g)
Coの限界,および一次系近似式を求めたも
のを弟l表に示す｡
C｡が
化しても位相曲線ほ一定で,位相余有角135度
Co=10
の点の周波数び0が変らないから
Toも一定で,したが
って,一次系近似開回路伝達函数g(♪)を
備考=一一次系近似曲線はExponentialCurveになっている｡
第6国
90>p≧1.鋸タlの場合の実際の応答とその
Go
g(♪)=
1+To♪
(To=1/叫))
一次系近似応答の比較
一次系近似閉回路
仙(♪)を
Bode緑園より自動制御系の一次および二次系近似式を得る方法
第2表
各種開回路伝達函数G(♪)の二次臨界制動系近似式の表
l
囲
例題∂
lllr
例題r7.免=ガ
l
llllllr
l
r
-アナコン拓果
α三〟躍イ
⊥＼､ヽ
β.β
Gβ=4
i
l
｣
炎y
/
♂ブ
βイ
βざ
♂β
/β
イ/曲頑
1
/Z(Jどrノ
l
ぬ
クコ助
】
72
国
(良勺)野
】
∩/
｣
十ヾ
】
♂.イ
仙戸〝励
≡轟,
望
助買物
+
J7♂
【
∴
ノ
】l
ゲ憩超′あ鹿
l
園
Gβ=イ
/
銅
崩親'晶=ガー
t∴
＼
ノ
∂
β.2
朗
βざ
ββ
′♂
l
/∼｢Jβごノ
距∠7Jガイ
(琶)
〃
H
β∂=2β
ク
♂
Y
β.イ
n
｣
紬密
〝
イ
7
｢弓〝
≦≡法 毘
1
川ル
】l｣
i≧ノ
=L
刀
-ノ〝
地=仇′〃朗打
(Lぜ)電
｣ブ
<､丁ト
C
十l
‰涙
ノが
l
αノ
/-/批
さ､
卓
一穴財
打)
】l
β
βZ
α4
β∂
dβ
J♂
+∵
F
/ZびgCノ
囲
β･
ll
r
例題♂品ざ〝
♂.β
l
F
∂♂=〝
/+∵
/
ノ
l
l
J
β.ZJ
αJ
α75
/β
よゝ､
∴
F
β
llll
l
/ZJ/甜｢J抑
グ=♂♂∫ガイ
助召♂〝曲
l
`そ>
∈転捏
囲
βノ
g
l
_
/∠】
/∵
】
∵
γ
占β=〝
常′頭
l
′ミβ乍曲
0
α∂
∵
i
○
/J
ノ
臓考:例題(f)のCo=4の場合のBode船岡は第2図参照
第9図
♂
第8図
βガ
β∫
〟竹
/♂
/ZJ
悌｢J狛
p>1.8】｡アlの各例題のBode線囲
90>p≧1,針1ア†の場合のアナコソ結果と二
次臨界制動系近似応答計算値との比較
大となると近似度が悪くなるけれども存在しているので
ある｡
甜(♪)=
Co/(1+Co)
1+丁｡♪/(1+G｡)
として求めることができるので,一次系近似式ほC｡が
3.1.1￠:≧90〇
の場合
この範囲内の実
の応答と一次系近似の応答を比較
Lて示Lたのが弟5図でよくあっている｡
日
昭和33年10月
第3表
3.1.2
制
動
御
集
特
号
日立評論別冊第26号
式
各種閑回路伝達函数G(♪)の二次振動系近
Ⅷ
r
900>￠≧1.鋸タlの場合
この範囲内でほ二次臨界制動系で
表
の
例屈招
㌫こ却
近似した方がよいのであるが,弟d
∴∵
J
/
ノ
粛
〟
囲むこ示すように一次系で近似しても
b ナコ ノ鱒果
ら
品=仰
1
1
囲
L
肘
財
dβ
l
r
l
J∠時間虚J
屈
l
田
1
ll
L
/
lJlで
【
l
ll
国
∼ウ<1.8lク′【の場合
この場合は当然,一次系で近似す
品=?♂
囲
/
第10図
なものを示していることが知られる｡
/Z
l
〟
ββ
//
∴
r
l
】｡
∵
1
甜
l
これより,この場合も大体中心線的
デ
占0=4
田
ため第7図に比較して示す｡
3.2
＼
団
∵
ることができないのであるが参考の
l
1
lL
l
3.1.3
l
l
【
凹
大体あっている｡
J
囲
凹
ト
ノ
∠
〉
p<1.粧列の場合のアナコソ結果と二次振動系近似応答
との比較
二次臨界制動系よる近似
前記,3.1.2の範囲ほ二次臨界制動系で近似しうる範
ある｡この範囲の符例題のBode線図が弟2図および弟
9図で,これより,二次振動系近似式を求めたのが舞3
囲である｡
この範囲の各例題に,前章の用論式を適川し,二次臨
界制動系近似式を求めて
にして示したのが弟2表であ
表である｡この近似式とアナコン解析結果を比較して示
したのが弟10図でよく一致している｡
･＼
4.結
この表において,例題(a)のもとの函数は
言
以_l二,Bode繰回より閉回路過渡応答の近似式をうる
G(♪)=
(1十一夕)(1十0.1♪)
方i去などについて述べた｡
すなわち,任意の開担l路伝
であるが,これを二次臨界制動系で近似したものほ
g(少) (1十1.1♪)(1+0.07♪)
となって,多少異なった形になっている｡
これほG(♪)をBode線図にかき,それからg(♪)
函数を
Bode
線図にか
いたとき,そのゲイン交点における位相余有pとゲイ
ン曲線の傾斜タの間に,
じ>90〇
なる関係があるときほ一次系で,
1.81タl∠p<900
を導きだす途中で誤差が入ったということのほかに,
なる関係があるときは二次臨界制動系で近似することが
G(♪)そのものが二次臨界制動系に近い形をしているけ
でき,かつ,その近似式を総合増幅率Coと位相角一45
れども完全な二次臨界制動系でないため,それを二次臨
度の点の周波数α｡を求めることによりえられ,また,
界制動系で近似することにより生じた誤差も含まれてい
pく1.8Lこタi
の関係があるときは,その過渡応答に振動が強くあらわ
る｡
弟8図は,もとの函数の過渡応答と二次臨胡欄Ij動系近
れるので二次振動系で近似することができ,その近似式
合増幅率G｡,ゲイン交点
似式による過渡応答を比較したもので,よく近似されて
をゲイン交点の周波数仙1,
いることが知られる｡
におけるゲイン曲線および位相曲線の傾斜よ7,プを求め
3.3
二次振動系による近似
前節,3.1.3の範囲は二次振動系で近似すべき範囲で
ることによりうることができることを述べ,さらに,い
くつかの例題にこの方法を適用しアナコンの結果と比較
Bode線図より自動制御系の一次および二次系近似式を得る方法
参 老 文 献
昭和28年電気三学会遠大(185)
T.A.I.E.E.69(1950)
第97回自動制御研究集会資料(1958-2)
自動制御(昭33)
第63回自動制御研究集会資料(1954-9)
して示し,よく一致することを示した｡
この研究に当り御指導,御激励を賜わった東京大学生
産技術研究所野村助教授,日立製作所日立研究所長三浦
博士,副所長薮野博士ならびに小林博士に厚く御礼申上
げる｡
(その2)
最近の日立製作所社員の自動制御に関する社外寄稿一覧
(第4頁より続く)
頁
計
気
期
装
置
比
鼠
日
調 速 機 最 近 の 諸
最近の水力発電所用R動制御装置
閃
題
外
岡
川
井
樺 械 学 全 誌
日 立 評 論
電 子管
発電所における
電 子
自 動
管 式
つ
て
い
日立電気式水車調速機の現地試験
乃株式 会 社潮発電所自動負荷
整装置
-､-
に1 お)け
近刊.
磁 気 増 幅 器
沢,山
紛
沢･=
海老名
そ
評
論
861;31---
24
788i31-6
1,011
38
6
31-8
1,225;31-10
10
口i日
巳
ロ岳目
林
小
発`■宣所への応川
の
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水車調速機の諸問題
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同期機電圧並びに周波数の自動詞整
中国電力における系統自動制御の予
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調整装置
四国電力株式会社松尾川第一,二発
電所自動周波数調整装置の現地試験
日 動 制 御
水 力 発 電 所 の
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合理化された火力発電牒の制御装置
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汽縫目動燃焼制御装置について
最近における火力発電所用制御装置
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別冊第4 号
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火力発電所における工業討器と特殊
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(第30頁へ続く)
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