負の 正 則 断 面 曲 率 を もつ あ る
ケ ー ラー空 間 の位 相 につ い て
塚
E.Carｔａｎ
本
に よ り負曲率
陽
太
郎
リ ー マ ン空間 につ い て の 次 ぎ の 定 理 が 知 ら
れ て お り ま す.
定 理A.完備,単連結
の リー マ ン空間
2次 元 接 平 面方向の
断 面曲率 が負 又 は0で
でそ
の各 点 に おけ る す べての
あ る と き,空間
はそれ
と同 じ
次 元 の ユ ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る.
更 に ケ ー ラ ー空間
定 理B.ケ
で は 次 ぎ の 定 理 が 知 られ て お り ま す 。
ー ラ ー空間
で 各 点 に お け る す べ て の2次
向 の 断 面 曲 率 即 ち 正 則 断 面曲率holKが
元 正 則 接平面
一 定 数Ｌ（＜0）
方
で あ る と き.
の 一般 の断 面 曲率 κ は不 等式
空間
を みた す.
定 理AとBよ
り次ぎ の こ と がわ か り ま す.
定 理C完備,単
連 結 の ケ ー ラ ー空間
で あ る とき空間
い ま,定
理Cに
で 正 則 断 面 曲 率 が 一足 の負 数
は 同 じ次 元 の ユ ー ク リッ ド空間 に 同 相 で あ る 。
お い て 「正 則 断 面 曲 率 が 一 定 の負 数 で あ る 」 と い う 條
件 を 「正 則 断 面 曲率 が あ る負 の 数 の 範 囲 に あ る 」 と い う 弱 い 條 件 で お き
か え る こ と に よ り 同 じ 結 論 が 得 ら れ る の で は な い か と い う問題 が 生 じ て
き ま す.ここ
で は こ の問題 に 関 す る さ さ や か な 結 果 を の べ ま す 。
正 則 断 面 曲 率holKが
下 に有 界 な と き に は 適 当 に ケ ー ラ ー 計 量 を か
て や る こ と に よ り−1≦holKと
仮 定 し て 差支 え あ り ませ ん.
え
定 理１
完備単連結な ・
ケ ー ラ ー空間
κ
が不等式−1≦hｏｌｋ
で各点
に お け る す べ て の 正 則 断 面曲率ho1
≦-9をみた
す と き,空間は同じ次元
の ユ
ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る .
証 明Mを
1)の
ケ ー ラ ー空間、Ｉ
はMの
テ ン ソ ル と し ま す 。 いま,2っ
曲 率 をP(X,Y)で
複 素 構 造 を 定 義 す るtype(１,
の 接 ベ ク トルX,Yに関
す る断 面
表わ す こ と に し ま す ・そ の と き 次 ぎ の 補 題 を 証 明 し
ます 、
補 題 Ｍ
は ケ ー ラ ー空間 で,す
-1
p(X
, /X)-
べ て の 接 ベ ク トル に 対 して 不 等 式
-A
を みた す と す る 。 そ の と き 任 意 の 接 ベ ク トルX,Yで
面 方 向 の 断 面 曲 率P(X、Y)は
5A-13
8
証明
-*--p(x,
い ま.,X,YはMの
ベ ク トル と し,JXとYの内
の と き 任 意 の 実 数a、bに
張 ら れた2次
元平
次 ぎ の 不 等 式 を み た す.
y) ,
5-7A
8
一点 の接 空 向 に お ける 互い に垂 直 な単位
積<ｊX,Y>==sinθ
と お きま す.そ
対 して
(a2+b2)2 P(a.X + bY, I (a.X + bY))
= a4p(X , IX)+b4p(Y,
IY)+2a2b2(p(X,Y)+3p(IX,Y)
cos29)
+ ua3b + vab3
を 得 ら れ ま すeい
まPを
こ の よ う に し て得 ら れ た2つ
一ｂ に お きあ え,同様
の 等 式 を 得 ら れ ま す.
の 等 式 の 辺 々 を 相 加 え る こ と に よ り次 ぎ の
式 が 得 ら れ ま す.
(a2+b2)2[p(aX+bY, I(aX+bY))+p(aX-bY,
I (aX-bY)]
=2a4p(X , ZX)+2b4p(Y,
)+4a2b2(p(X,Y)+3p
cos2e)
補 題 の 仮 定 に よ り 次 ぎ の 不 等 式 が 得 ら れ ま す.
-(a2+b2)2C a4p(X , IX)+64(Y,
cos2®)
Y)+3 p(IX,Y)
--A1.(a2+b2)2
上 式 にお い てａ＝ｂ＝１
-4-p
IY)+.2a2b2(F(X,
.(X, IX)—
.2(p(X
とお く と
P (Y, :IY)
,Y)+3p(IX,Y)cos2e){-4A-p(X,IX)-p(Y,
IY)
こ れ よ り次 ぎ の 不 等 式 が得 ら れ ま す 。
-2+A
p(X ,Y)+3p(IX,Y)cos26~_-2A.+1U)
上 と 全 く 同 じ 方 法 で 次 ぎ の 等 式 が 得 ら れ ま す.
(a2+2ab
=a4F(X
sin 0-1-b2) p(aX+bIY,
, IX)+b4p(Y,
+ u' cdb + z/ ab3
こ の 不 等 式 にbを
の不等式
一6に
I(ai+bIY))
IY)+2a2b2(3p(X,Y)+.p(IX,Y)
cos2&)
お さ か え て 得 ら れ る 等 式 の 辺 々 相 加 え て次 ぎ
が 得 ら れ ま す.
-[(a2+b2)2+ 4a2b2 sin2 9]
a4p(X,IX)+b¢p(Y, IY)+2a262Op(X,Y)+p(IX,Y)
-~ [(a2+b2)2+4a2b2 sin2 6;
a・=b=1と
-2+A-2
お く と次式
sin26
(1)と(2)よ
-7+5A-6
sin29)
が 得 ら れ ま す.
3p(X ,Y)+pJX,Y)cos28~
1-2A-2A,sin
9
(2)
り 次 ぎ の 不 等 式 が 得 ら れ ま す.
sin295-7/1-6A
P (X,Y)
sin29
8
こ れ よ り 求 め る 不 等 式 が 得 られ ま す 。
補 題 の 証 明終
こ の 補 題 と 定 理Aよ
り 定 理１ が 得 ら れ ま す.
証,明
終
小 林（１）は 最 近 次 ぎ の よ うな 定 理 を 証 明 し ま した .
定 理D負または0の
曲 率 を も ち,且
っ負 定 値 のRiccｉ
テンソル を
も つ斉 次 リ 一 マ ン空間 は 単 連 結 で あ る 。
上に 証 明 し ま しノ
こ補 題 と 定 理A及
び 定 理Dよ
り双 ぎ の 定 理 が 得 ら れ ま
す.
定 理2.斉
次 ケ ー ラ ー空間 に お い て各点 に お け る す べ て の 正 則 断 面
holKが
不 等 式 一1≦ho1κ
≦
を み た す と き空間 は 同 じ 次 元 曲率
の
ユ ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る .
こ の 定 理 は 小 林（１）に お け る問題（ｂ）
「負の 正 則 断 面曲率 を も つ斉 友
ケ ー ラ ー空間 は 単連 結 で あ るか 」 に 部 分 的 に 肯 定 的 解 答 を与ええ て お り ま
す.
参
[1]
S. Kobayashi
negative curvature,
338'-
339
.
考
, Homogeneous
Bull.
文
献
Riemaannian,
Amer.
Math.
,manifolds
Soc . 68 (1962),
Optimum design for the
special cubic regression
on the
q-simplex
by
H: URAN I S I
Kyushu
University
1.
Introduction.
S cheffe
account of experimerts
consisting
all xi
red
[1] has
in -which, -the space
of all (q+1)-vectors
are
non-negative
[31
, z+z)
for which
•
those
The reader
S
is refer-
discussions
of the
experiments.
With
optimum
(or not possessed)
namely,
simplex
1 ] for
of such
has discussed
ch are possessed
designs,
paper [
and use
J. Kiefer
(x1, x2,
an interesting
X is the q-
and Z zi =4 .
to the-fundamental
construction
given
designs
properties
by certain
in which
whi-
of Scheffe's
gives
measure
1 to the (q, m)-lattice Sq.m,consistingof those ('nmq)points
of Sq all of whose
es of I
n,
assigns
equal
Indeed,
and,
in particular,
measure
J. Kiefer
coordinates
to each
has shown
of these
that
eq ,2 is a D-optimum design
fficients
in quadratic
regression
Lattice
shout in this
design
estimating
paper
(in Scheffe's
all coefficients
integral
the design
design
We shall
are
that
Scheffe's
m which
.
(q, 2)- Lattice
for estimating
all coeon the q- simplex .
the augumented
terminology)
in speciaL
points
multipl-
is D-optimum
cubic regression
(q, 2)for
on
the q-simplex,
J. Kiefer
2.
-e
-though
it has
proved
for
q=2
by
[3].
Theorem. Scheffe's
which
assigns
the q-simplex
are
been
—2-,
augumented
equal
measure
(q, 2 )- lattice
to each
of Lattice
design,
points
on,
whose one cordinate is
or three
coefficients
are
, 1, or two coordinates
is D-optimum
for estimating
all
7,
in special
cubic
regression
,
q+.1.
(1)
2 p.z•
Proof.
Z p-,zizi+zk
aici,k
We find
bic potOlomials
pect
that
the following
constitutes
-system
an orthogonal
of special
system
cu-
with res-
to T. ;
-zi
1- 2 3 ..;1 zi +
Zk
= 1, 2, • - .1
+
i< k
2)4
zi zi {1—3 ,Z xi, Ik*ij
27 zi zj:zie,
Each
of these
augumented
unity.
1-si<j<k_q+1
polynomials
uanishes
(q, 2)- Lattice,
Therefore,
of (1) is given,
the
at the points
except
one
uariance
ifiecl(z
point
where
it is
,)
of the
b. L.e.
as follows;
1•qfri2(3)yd.zizi+3
•-••
•
•
+i.GZz;(
/X.
./
of the
.zzkzizk }
i<
.1,—3xk
+ .(27Z2 6
<j<
wherewe have put K = (V-1)+ (q+L)+
(1+1) •
23
It
can be shown,
everywhere
on the
q-sintpiex,
that we •
have
(3)
which
is a sufficient
condition
for
to be .D-optimum.
(see
3]) .
[
Since
1
we have
XL
0
and
xi=
1,
we obtain
kZ,ft2z-+3.z.z,.}2Lj',Optre
u,'2
2i\2222
+162-z.z.0
.732'Zie)+
27 x 27 7.xiZk
I i<jk#1,j
Z Z2i—4Z+42744-92(.Zziziza
t.z•
i
j<k
—6ZZ
..ble*i
j<ki<
-96Z
23
z t.xiZk+
12 Z ide4it<j.
Zzj•zk+16,zZ2
•
•
k
2
2
Z
z•z.+
Jk
1<j k4t.<
2
1442 •1-l
_z•ifik+
.1
/\2
27x272.,•.ZjZk
e*i,jk
=Z_Z21-42(z-z4.)+9Z
(Z
bk#ide.,L*tJ j
+2Z.Z2.zzLz,
<pfk
+GZ.kz
2
23
ti
22
—96Z
Z
2
xi 2 zi 22 ZkZI
itotk.* t
I.<.1
k< t
=2
k
i*J,k
k
kj<
jk.t<j<kt2
+ 144 x2
41
k< L
z)- 6Z 2.x•z +122zi .zi.-tk
J;k,t,,nooi i4i#k
joecicnti<
+162
22
Zz2
2
+ 27x
+ 144 x 3 Z.z,z•z
27 Z
zi
k2
zi.2 .Zk2
2
3
222
.z.-42.z•z.+1188zLz.j.z-k+.324zizizb.;
Lt
i<j<kk+1,–-
223 +54Z
.,—z.z••
•k
tiFi*k*ofjotk./4*.j.iFk
JO,<1<tn.J<
j2
zk+12 12-zjz
2
t<j
<L
2
k
+16.2Z-•db22,r,22
Z.k
i4J *Lk
ae.,01
ZXL2=
1- 2 Z 4z-
6..Z
=1-2iZZ 32-z•+zi
22.+
22.-Z•1-6Zzix•x/
Substituting
this
..,
.z-2‘--72
ji"Z.tJj<J
j <k
last
expression
in the above
result,
obtain
--id a
32
22
-E-)=1- 6 .Z xt..x.J.
—I—
12 vcii*j
Z. z.i z-1 - LOZ *12 zi .zi zie K '.
is*,•
i <k
—6Z
i<j<ki<j<ieie14j*te4L".Z.Z•Zk+1188Z,z•z•z
2
2
22
2
+ 324Zzizixi
ic<L
+54Z
2
i#pfie* t
j</e<L</Th
+ 12.32,
x•Z.ZZZ
Li;elm
• .z-
i4j.*
96 Zxj
22
zk
k
2
=1—{8Z.Z•Z•(Z,---/•)+1.20Z+z./9r
titiek--j
+4Z
ziz•Ikz(1-27zJkiz.z)+2
2
.2.z.z.zi
"'''iAPjaP.+10Zlexizjzk
tcj<k
i<k
2
22
—324Zzk
j*i:k4tJ
.zZ—54z.z•z-zz
l
i*jiple4
L<Ji<k<1<nz
k<1.
—12Z 4z—
kk
k
24 .Zz
j< ki<j
since
we
have
2
2,2ziz,-z,=zj
i<k
,
zjz+.8z.z.z
i<j<k<LtJ
x
gm
we
12Zzzjk=1zzj.z,+24Z2
*z-izjzk+36Zk*CZizjzkzt
j<kj<ki<jj<k<L
and
-240
}k4.1fie
zjzkZ'=r.-2,?
..kzz~:~U-Zi7 xi-)
<ji<j
=-120 Z zizj zk+zjzkhzi-xi
zjj
2
—zkzi
substituting
these
expressions
,—.zkzi
in the
zk- 'zjZk
`Jzizj
above
zk
result,
we get
1z+1202
r.CL(
+zz
,z,)= 1-[6zzizj(zi-zj)Xzizjzk{z.zjzizk+zjzk±:Cj.zz{
Ki<ji<j<k
+zkZZ+zkzj—
6; zjzk~+4<Zzizj zk (1-27 zizj2"1,
+8<k<LZczjzkzt+3'i#k*czizjzkZL84*Z*LzizjzkzL
j<k<Li<j. k
<L
-54
Z•.ZjzkZ~Zm
I
m j<.k<L<rn
Substituting
the
next
expression
in the above
36i*j*k41.zjzk-36,k*LZizjzkZL+72
j<k<Lj<k<Li<1 k
t iz? zkzL
<L
144
we
result,
L*j*kA It m,
j<k<L<m
2+
z•Jzkzl
zm
have
dtz, .)=14612
zix-(x•-x.)2+120
.iezizizk
fzi(zi-z/d24.zilzk-z02
j<
+zk(zi=zj)2}+4~zizjz~(1-2'7xlzjz)
ici< k
k
+8
i<Zj<k<LZizi zi,x1+
22.x.2.z
"
Since
we
go7,2
Z•Z•ZZ
i*,j*k*LrtJkrit
have
zz. z22'22
ii#1e#1zZi
we
SZvik#1,Zi3Zj Z/Q-Zt
obtain
-ZkXl= i*joe*i+Xj-7
-ZiZZ22:)
i<j
finally
Zi)24-
2
120Z
z
u .i<k
.Zk(1-zi )2}
+4
zizixi ,(3.-27.zizjzk)+8Z
zzkx/-1-12----(zrz.)zz.z.zkxt 1<i<k-ig
<k<1t
<i
k<L
+t2Z.,z;z.,..Z.1
,,zt.+90,,7zi2z .izkzzxi-al
2.2
i*jk#1,''.-i*j*k#
i< ji<k<L<Tri
k< L
Each
the
-term
q-simplex
L*m.
inside
the
therefore
bracket
we have
is euidently
, ci.(z,-)
non-negative
on
K
References
[1] H. Scheffë, "Experiments with mixtures,' J.R.S.S(Ser
.
B), Vol. 20 (1958), pp.. 344-360.
[2] J. Kiefer und J. Wolfowit, "OPtimum designs in regression ,
problems:' Ann.Math. Stat.- Vol.30(1959), pp. 271-294.
13] J. Kiefer, "Optimumdesigns in regression problems, f,"
Ann. Math. Stat. Vol. 32(1961), pp. 298-325.
[4] J.Kiefer and J.Wolfowit, "The equivalence of -twoextremumproblems," Can.Jnl. Math., Vol. 12(1960),pp. 363-366.
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