-1さくせいし
数学Ⅰ レポート№２
え
ん
レポート作成支援プリント
展開の逆が、因数分解というものです。
2 x(4 x  3)  8x 2  6 x
たとえば、
これは展開です。
この式の左右を反対にすると、
8x 2  6 x  2 x(4 x  3)
8x 2  6 x という足し算の形の式が、 2 x ×（ 4 x  3 ）というかけざんの形の式に変わっています。
このように、かけざんの式の形にすることを、因数分解
因数分解の方法には、
するといいます。
①共通因数をかっこの外にくくりだす
②公式をつかう
方法があります。
x 2  5x
①の方法の具体例
x 2  5x 
を因数分解します
x  x  5 x  x ( x  5 )
共通因数
この方法を使って、(1)と(2)を因数分解します。
●共通因数を取りだす因数分解
問題①
(1)
次の式を因数分解します
x 2  3x 
x x

x3  x ( x  3 )
共通因数は x です！
(2)
6a 2b  4ab 2 


2  3 a  a  b  2  2  a  b  b
2ab  3a  2ab  2b
2ab ( 3a  2b )
共通因数は 2ab です！
●２次式の因数分解
問題②
因数分解の公式
(1)
a 2  b 2  (a  b)(a  b)
x 2  9  x 2  32  ( x  3) ( x  3)
-2次も同じ公式を使います。
a 2  b 2  ( a  b) ( a  b )
(2)
4 x 2  1  (2 x) 2  12  (2 x  1) (2 x  1)
2 x 2  2  x  x となってしまい、 4x 2 になりません
(2 x) 2  (2 x)  (2 x)  4 x 2 となります。
問題③
a 2  2  a  b  b2  ( a  b )2
因数分解の公式
(1)
x 2  8x  16  x 2  2  x  4  42  ( x  4 ) 2
a 2  2  a  b  b2  ( a  b )2
因数分解の公式
(2)
x 2  6 x  9  x 2  2  x  3  32  ( x  3 ) 2
問題④
次の公式は展開をまず復習すると・・・
展開→
(x  2 ) (x  3 )  x2  5 x 
6
＋
×
因数分解は展開の逆だから・・・
因数分解→
x2  5 x 
＋
6
( x
)( x
×
２と
)
３
たして５、かけて６になる２つの数をさがします。
(1)
x2  8 x  7
＋
( x
)(x
)
×
たして－８、かけて７になる２つの数をさがします。
かけて７になるのは＋１と＋７
－１と－７
か、
のどちらか
このうちたして－８になるのは、－１と－７
-3(2)
x
2
 2 x  15  ( x
＋
)( x
)
×
たして－２、かけて－１５になる２つの数をさがします。
かけて－１５になるのは
＋１５
と－１
＋５と－３
、－１５と＋１
、－５と
＋３
のどちらか
このうちたして－２になるのは、－５と＋３
問題⑤
(1)
展開したときに、元の式に戻るよう、（）内にどんな数が入るか決めていきます。
3 x2  7 x  2
( 1x 
)( 3x 
)
かけて２になるのは
１と２
か
２と１
どちらがいいか、入れてみて確かめます。
3x
①
( 1x  1 )( 3x 
2 )
2 x  3x  5x となり、 7 x にならない！
2x
6x
②
( 1x  2 )( 3x  1 )
x  6 x  7 x となり、これが正解！
x
(2)
展開したときに、元の式に戻るよう、（）内にどんな数が入るか決めていきます。
5 x2  9 x  2
( 1x 
)( 5x 
)
かけて－２になるのは
１と－２
－１と
 10 x
か
２
か
２と－１
か
－２と
１
か
どれがいいか、入れてみて確かめます。
( 1x 
2 )( 5x  1 )
x
 10 x  x  9 x
-4-
へいほうこん
●平方根
２乗して a になる数を、 a の平方根という。平方根は正と負の２つあって、
正の方を
a
、負の方を
2
 a
で表す。（
a
を根号という
この中に入る数を、
）
a
の平方根といいます。
平方根には＋（プラス）と－（マイナス）があります。
（例）
４の平方根
4
2
→
→

つまり
4
○の中に入るのは、＋２と、－２という数です。
2
１６の平方根 →
 16

→ つまり
 16
○の中に入るのは、＋４と、－４という数です。
○の中に入る数が整数にならないとき、
○の中に入る数を、
と
a
 a
と表します。
たとえば、
５の平方根
2
→
5
○の中に入るのは、
5
 5
と
で、これが５の平方根です
問題①
(1)
２の平方根は、
2
(2)
９の平方根は、
9
と 
と
2

です。
（整数にならないので、ルートの記号を使います。）
9 、すなわち
３
と－３です。
2
9
の中に入る整数です。
●根号を含む式の計算
ルートの約束から、次の公式が成り立ちます。
( a )2  a
a2  a
（←
a は＋の数字とします）
-5-
( 5 ) 2  52  5
( 3) 2  32  3
( 2 ) 2  22  2
( 10 ) 2  102  10
(例)
また、次の式が成り立ちます。
a

b
ab  a  b
a
b
これらのことから、次の問題が解けます。
問題②
(1)
( a )2  a
( 7 )2  7
3

4
(3)
3

4
a2  a
18  9  2  32  2  3 2
(2)
3
22

3
ルートの足し算と引き算
文字式の計算で、
この
5x  2 x  7 x
x のかわりに、
という計算がありました。
のついた数がくっついていると考えてください。
5 2 2 2 7 2
5 6 2 6 7 6
5 5 2 57 5
これと同じようにして、次が解けます。
問題③
(1)
5 3  2 3  (5  2) 3 
(2)は
3
が異なるどうしの足し算・引き算をどうするかの問題です。
a2  b  a b
を使って、
が同じ数になるように変形していきます。
32  18  2  16  2
 9 2
 2
 4 2  2  32  2  2



4 2
2
3 2
1 2
-6-
4 3 5 2 33 5
(3)
4 3 2 3 
53 5
 (4  2) 3  (1  3) 5


3
5
(4)
3 ( 2 3  3)  32 3

33
 3  3  2  3 3
3  3  ( 3) 2  3

3 2



3 3
3 3
(5)
( 2  1 )( 2 2  3 )  2  2 2  2  3  1  2 2  1  3
 2 22  3 2  2 2

2  2  ( 2)2  2
2 2
 (3  2) 2

4


 5 2
5 2
3
3
3
●分母の有理化
分母の有理化・・・分母にある√のついた数を、√のついていない数に変えることをいいます。
a2  a
→
ですから、√をはずそうと思えば、２乗すなわち同じ数を２個かけると
√がはずれた数になるという性質を使っていきます。
問題①
1
2
(1)
分母が
2
です。√のついていない数に変えようと思ったら、分母に
2 をかけてやったら
2 2  2
となり、どうやら√がはずれそうです。
分数は、分母・分子に同じ数をかけることができるので、・・・
1
1  2


2
2 2
( 2)2  2
2
(2)
分母に
-7-
6 2 6 2 3


5 3 5 3 3
3
があります。√のついていない数に変えようと思ったら、分母に
3 3  3
3 をかけてやったら
となり、どうやら√がはずれそうです。
分数は、分母・分子に同じ数をかけることができるので、・・・
3 で約分します
6 2 6 2 3
6 6


5 3 5 3  3 5 3

2 6
5
( 3) 2  3
問題②
(1)
1
5 1
分母が
5 1
です。このまま
5
をかけても、分母から
√がなくなりません。
そこで、足し算の形になっているのを利用して、次の公式を使います。
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
どちらかを使います！
( 5  1)( 5  1)  ( 5 ) 2 12  5  1  4
となり、どうやら√がはずれそうです
1
1  ( 5  1)

5  1 ( 5  1)( 5  1)


(2)
4
6 2
1  ( 5  1)
( 5 ) 2  (1) 2
5 1
4
( 6  2 )( 6  2 )  ( 6 ) 2  ( 2 ) 2  6  2  4
となり、
6 2
をかけると、どうやら√がはずれそうです
4
4 ( 6  2)
4 ( 6  2)


6  2 ( 6  2 )( 6  2 )
( 6 )2  ( 2 )2


4
( 6  2)
4
-8-
●実数
数の分類は以下の通りです。
自然数（正の整数）
整数
有理数
０
実数
負の整数
分数
無理数
正の整数１、２、３・・・を
整数
m と、０でない整数 n
整数
mも
2
自然数
という。
を用いて、分数
m
n
の形で表される数を
有理数
という。
m
と表すことができるので、有理数である。
1
を小数で表すと、
2  1.41421356    のようにどこまでも続く小数になる。この数は
分数で表すことができないので有理数ではない。このような数を
有理数と無理数をあわせて
実数
という。
無理数
という。