2014年度前期期末試験問題

平成 26 年 8 月 4 日
2014 年度前期微分方程式期末試験問題
以下の設問に解答せよ。解法は簡潔に書け（部分点はあるので）
。任意定数は C, C1, C2 というようにお
くこと。最終的な答えは、解答欄の所定の位置に記せ。各 10 点。
1． y ' = xy
2． y ' =
x+ y
x− y
3． y ' + y = x ,
y (0) = 0
4． y ''''− 4 y '''+ 6 y ''− 4 y '+ y =
0
5． ydx + ( xy + x)dy = 0
6．3 階線形微分方程式
y ' ' '+ y ' '−2 y '+2 y = cos x
を y1 = y , y 2 = y' , y 3 = y' '
とおいて、3 次元の連立微分方程式に変換せよ。
7． y ''− 5 y '+ 6 y =
0
8．連立微分方程式を解け
y1' = 2 y1 + 3 y 2
y 2' = 3 y1 + 2 y 2
 y1  
 =
 y2  



  C1 
  C  のように行列・ベクトルを用いて解答すること。
 2 
9．連立微分方程式を解け。8 と同様の形式で解答すること。
y1' = y1 − y 2
y 2' = 2 y1 − y 2
10．微分演算子 D を用いて、
(D − α ) y =
f ( x)
のとき、
y = eα x ∫ e −α x f ( x)dx
であることを証明せよ。

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