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例題
余事象の利用
3・3
1A から A9A までの数字が A1A つずつ書かれた A9A 枚のカードがある（異なるカードには,A
異なる数字が書かれている）．
この中から無作為に A3A 枚のカードを取り出し,A カードに書かれた A3A つの数字の積
を A X A とする．
⑴
XA が偶数となる確率を求めよ．
⑵
XA が A10A の倍数となる確率を求めよ．
考え方
XA が偶数となるのは A2A の倍数が書かれたカードを少なくとも A1A 枚取り出すときであるから,A 直接
⑴
求めるよりも余事象を考えるとよい．
⑵ 「10A の倍数」は「2A の倍数かつ A5A の倍数」であるが,A 5A の倍数のカードは ! しかないので,A 3A 枚の
うち A1A 枚が ! で,A さらに残りの A2A 枚のうち少なくとも A1A 枚が A2A の倍数のカードであればよい．
解答
⑴ 3A 枚のカードの取り出し方は全部で，

9⋅8⋅7
= 84(通り)．
3⋅2⋅1
C =
このうち,A XA が偶数となるのは,A 3A 枚のカードのうち,A 少なくと
も A1A 枚が偶数のカードのときである．
ゆえに,A 余事象である「 A3A 枚のカードがすべて奇数のカードのと
き」を考えると,A その取り出し方は，

C  = 10(通り)．
#,A $,A !,A %,A &
よって,A 求める確率は，
1−
⑵
☜ 奇数のカードは
37
10
．
=
42
84
の A5A 枚ある．
XA が A 10A の倍数となるのは,A 3A 枚のカードのうち,A 1A 枚が ! であ
り,A 残り A2A 枚のうち,A 少なくとも A1A 枚が偶数のカードのときである．
! 以外の残りの A2A 枚について,A「2A 枚の取り出し方全体から,A 2A 枚
とも奇数のカードを取り出すときを除く」と考えると，XA が A10A の
倍数となる取り出し方は，
1 ×   C  −  C   = 28 − 6 = 22(通り)．
☜ ! を除いた A 8A 枚は偶数,A 奇数
のカードが A4A 枚ずつある．
よって,A 求める確率は，
11
22
．
=
42
84
第講確率 35
別解
⑵ は,A 次のようにしてもよい．
2A つの事象 A A,A BA を
A：XA が A2A の倍数である,A
B：XA が A5A の倍数である
とすると,A P  A ∩ B A を求めればよい．
そこで,A 余事象の確率を利用すると，
☜ A,A BA よりも A A ,A B A の方が扱
いやすいことに着目する．
P  A ∩ B  = 1− P  A ∩ B 
= 1− P  A ∪ B 
☜ ド・モルガンの法則．
= 1 −  P  A  + P  B  − P  A ∩ B ．
☜
ここで,A ⑴ より，
P A =
10
．
84
また，
B ：! が取り出されない,A
A ∩ B ：',A (,A !,A ),A * が取り出されない
であるから，
PB =
C
56
,
=
84
84

P A ∩B =
C
4
．
=
84
84

よって，
P  A ∩ B  = 1−
36 第講確率
 1084 + 5684 − 844  = 1142 ．
▲
▲
▲
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練習
3・1
袋の中に白球が A3A 個,A 赤,A 青,A 黄の球が A1A 個ずつ,A 合計 A6A 個の球が入っている．この袋
から A1A 個ずつ順に球を計 A4A 個取り出して,A 4A 個の球を取り出した順に一列に並べる．
⑴ 白球が A2A 個だけ続いて並ぶ確率を求めよ．
⑵ 白球が A 2A 個だけ続いて並んだとき,A 両端が同じ色の球である条件つき確率を求め
よ．
3・2
数直線上を次の +,A , の規則に従って動く点 APA がある．
+ 最初 APA は点 A0A にある．
, 2A 枚のコインを同時に投げて,A 2A 枚とも表が出たら APA は数直線の正の向きに A1A
動き,A 2A 枚とも裏が出たら負の向きに A1A 動く．また,A 表と裏が A1A 枚ずつであると
きには APA は動かない．これを A1A 回の試行とする．
nA を A3A 以上の整数とするとき,A 次の問に答えよ．
⑴
nA 回の試行後に,A PA が点 A n − 1A にある確率を求めよ．
⑵
nA 回の試行後に,A PA が点 A n − 3A にある確率を求めよ．
38 第講確率

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