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第2講
!次関数・図形と方程式 ⑴
例題
2・1


2A 次方程式 A  − 2 a + 4 − a = 0A が A0 <  < 4A の範囲に相異なる A2A つの実数解を
もつような実数の定数 AaA の値の範囲を求めよ．
考え方


f    =  − 2 a + 4 − a A とおいて A = f   A のグラフを考察する．
f    = 0A を満たす実数 AA は,A  = f   A のグラフと AA 軸 A  = 0A と
の共有点の AA 座標であるから，
「 = f   A のグラフと A A 軸が A 0 <  < 4
の範囲の相異なる A2A 点を共有する」
ような AaA の値の範囲を求める．
【解答】
与えられた A2A 次方程式の左辺を A f   A とおく．



f    =  − 2 a + 4 − a =   − a  + 4 − 2 a

であるので,A f    = 0A が A0 <  < 4A の範囲に相異なる A2A つの実数解を
もつ条件は


4 − 2 a < 0,
☜ 頂点の AA 座標が負．
頂点の AA 座標が A = 0A と A
0 < a < 4,
 = 4A の間．

f 0 = 4 − a > 0,
f 0,A f 4A がともに正．

f 4 = − a − 8 a + 20 > 0．
これら A4A 条件がすべて成り立

1A 番目と A3A 番目の不等式をまとめると A2 < a < 4A となり，

てば,A  = f   A のグラフは上の

2 < a < 4,
図のようになる．
0 < a < 4,
−  a + 10 a − 2 > 0．
よって,A 与えられた条件を満たす AaA の値の範囲は
 2 < a < 2．
…(答) ☜
9
例題
2・2

A 平面上で不等式 A0 ≦  ≦ 4 −  A の表す領域を ADA とする．
点 A ,A  A が領域 ADA を動くとき,A  + A のとり得る値の範囲を求めよ．
考え方


不等式 A  ≦ 4 −  A の表す領域は,A 放物線 A  = 4 −  A およびその下側 A (A 座標の小さい側)A である．
そのうち AA 座標が A0A 以上である部分が領域 ADA である．
 + A の値を AkA とおいて得られる直線 A = −  + kA において,A kA は AA 切片である．傾きが A − 1A であ
るこの直線と領域 ADA が共有点をもつような AkA の範囲が求めるものである．
【解答】
 +  = kA とおくと
 = −  + k．
…①
領域 ADA は次の図の網目の部分 A(境界を含む)A となる．
☜ 領域 A DA の点 A  ,A  A に対し
て,A その点を通って傾きが A − 1A
の直線を引くと,A 直線の A A 切片
 + A のとり得る値の範囲は
「領域 ADA と直線 ① が共有点をもつ」 … ＊
ような実数 AkA の集合である．
が A kA (つまり A  + )A となる．こ
のことから点 A  ,A  A が A DA を動
くときの AkA のとり得る値の範囲
を求める．
!

 = −  + kA と A = 4 −  A から AA を消去すると

 −  + k − 4 = 0．
☜ kA が最大となるのは，
…②
この A2A 次方程式が重解をもつ条件は

 − 1 − 4 k − 4 = 0．


放物線
 = 4−  ,
直線
=− +k
が接する場合である．
☜ ② の A 2A 解が A α,A αA であるとす
1
17
A となり,A ② の重解は A = ．
したがって,A k =
2
4
る．解と係数の関係
1
17
A のとき直線 A = −  + kA と
− 2 < < 2A であるので,A k =
2
4
から Aα,A kA を求めてもよい．
α + α = 1，
α ⋅ α = k −4
10

放物線 A = 4 −  A は接し,A その接点は ADA 上にある．
" 直線 A = −  + kA が点 A − 2,A 0A を通るとき
☜ kA が最小となるのは,A 直線 ①
が点 A  − 2,A 0A を通るときであ
k =  +  = − 2．
!,A " の結果と,A 直線 ① の傾きが A − 1,A A 切片が A kA であることか
ら，
＊

−2 ≦ k ≦
17
4
となり,A  + A のとり得る値の範囲は
−2 ≦  +  ≦
17
．
4
…(答)
る．
12
練習
2・1
kA を実数の定数とする．次の方程式について考える．
   −4 − k = 0
k = 3A のとき,A 方程式
⑴
⑵ 方程式
＊
＊
…
＊
を解け．
が相異なる A3A つの実数解をもつような AkA の値の範囲を求めよ．
2・2
a,A bA は実数であるとする．
座標平面上に A2A 点 AA2,A 0,A B0,A 2A と

 =  −  a + 1  + b
の表す放物線 ACA がある．
線分 AABA (両端を含む)A と放物線 ACA が相異なる A2A つの点で交わるような点 A a,A b A の
存在する範囲を図示せよ．

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