¶
³
問 次の関数を微分せよ。
(1) Tan−1 (x2 − 2x + 1), (2) Cos−1 (Sin−1 x) (3) f −1 (g(x)h(x)),
µ
´
解答
¶
³
逆三角関数の微分公式
d
1
d
1
d
1
Sin−1 x = √
Cos−1 x = − √
Tan−1 x =
,
,
,
dx
1 + x2
1 − x2 dx
1 − x2 dx
µ
´
(1) と (2) はこの公式を使う。
d
Tan−1 (x2 − 2x + 1) = (Tan−1 )0 (x2 − 2x + 1) × (x2 − 2x + 1)0
dx
1
=
× (2x − 2)
1 + (x2 − 2x + 1)2
2(x − 1)
.
=
1 + (x2 − 2x + 1)2
d
Cos−1 (Sin−1 x) = (Cos−1 )0 (Sin−1 x) × (Sin−1 x)0
dx
1
1
= −q
×√
1 − x2
1 − (Sin−1 x)2
1
= −q
(1 − (Sin
¶
−1
.
x)2 )(1
−
x2 )
逆関数の微分公式
³
d −1
1
f (x) = 0 −1
dx
f (f (x))
µ
1
この公式の右辺を 0
と間違えて覚えている人がよくいるので注意せよ。この公式を
f (x)
µ ¶−1
dy
dx
=
という形で覚えると、このような勘違いをすることがある。(3) はこの
dy
dx
公式を使って計算する。
d −1
f (g(x)h(x)) = (f −1 )0 (g(x)h(x)) × (g(x)h(x))0
dx
1
× (g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x))
= 0 −1
f (f (g(x)h(x)))
g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x)
=
.
f 0 (f −1 (g(x)h(x)))
´

快記三角比

1 y x = + 1 1 x y x − = + y e = (log ) y x x = sin sin cos x y x x = + log( 1

x + 2 - 佐藤(邦)

なにがありますか。

①ほん