まとめ

パスカルの三角形と多項定理
中川湧介
東狐太朗
・動機
11n と二項定理の係数には関係があるということを知り、どのような関係があるのか、
またどうしてそのようになるのか疑問に思ったから。
・パスカルの三角形とは？
パスカルの三角形とは、二項係数を三角形状に並べたもの。
・二項定理の証明
( x + y )n = nC0 xn + nC1 xn-1y + nC2 xn-2y2 +……+ nCr xn-ryr +……+ nCn yn
この式は、
( x + y )n =
nCr xn-ryr
・・・・・〈A〉
と表され、この式〈A〉を数学的帰納法を使って証明する。
[1] n=1 のとき
(左辺) = ( x + y )1 = x + y
(右辺) =
1Cr
x1-ryr = 1C0 x1-0y0 + 1C1 x1-1y1 = x + y
よって(左辺)=(右辺)となり一致するので、n=1 のとき〈A〉が成り立つ。
[2] n=k のとき〈A〉が成り立つと仮定すると
( x + y )k =
kCr xk-ryr
と表され、
n=k+1 のとき
( x + y )k+1 =
k+1Cr xk+1-ryr
が成り立てばよい。
(左辺) = ( x + y )k+1
= ( x + y )k・( x + y )
=
kCr
xk-ryr・( x + y )
=x(kC0 xk + kC1 xk-1y + kC2 xk-2y2 +……+ kCk yk)
+y(kC0 xk + kC1 xk-1y + kC2 xk-2y2 +……+ kCk yk)
= kC0 xk+1 + kC1 xky + kC2 xk-1y2 +……+ kCk xyk
+ kC0 xky + kC1 xk-1y2 +……+ kCk-1 xyk + kCk yk+1
= kC0 xk+1 + (kC0+kC1)xky + (kC1+kC2)xk-1y2 +…+ (kCk-1+kCk)xyk + kCk yk+1 ・・・①
ここで、kCm-1+kCm をまとめることを考える。
例えばボールが 7 個あるとし、その中の 1 つに☆が描かれている
この中から 3 つボールを選ぶときを考える。
7 個のボールから 3 つ選ぶとき
7C3=35 よって 35 通り
① ☆が描かれているボールが含まれる場合
6C2=15 よって 15 通り
② ☆が描かれているボールが含まれない場合
よって 20 通り
6C3=20
①+②=15+20=35
よって 6C2+6C3=7C3
このとき 7 個から 3 つ選ぶときの組み合わせを全て数え上げたことになる
例を一般化するために、同様の方法を用いると
が成り立つ
kCm-1+kCm = k+1Cm
よって①の式は
kC0 xk+1
+ (kC0+kC1)xky + (kC1+kC2)xk-1y2 + …+ (kCk-1+kCk)xyk + kCk yk+1
=kC0 xk+1 +
k+1C1 xky +
k+1C2 xk-1y2 +…+
k+1Ck xyk + kCk yk+1・・・①´
となる。
ここで
なので、
kC0 = 1 , kCk = 1
それぞれ
K+1C0 , K+1Ck+1 とおいてよい。
よって①´の式は
k+1C0 xk+1
=
k+1Cr
+ k+1C1 xky + k+1C2 xk-1y2 +…+ k+1Ck xyk + k+1Ck+1 yk+1
xk+1-ryr
=(右辺)
よって n=k+1 のときも〈A〉が成り立つ。
[1],[2]から、すべての自然数 n について〈A〉が成り立つ
・11n と二項係数の関係について
先ほど証明した二項定理の式
( x + y )n =
nCr xn-ryr
に、x=10,y=1 を代入すると
( 10 + 1 )n =
nCr 10n-r1r
ここで( x + y )n と 11n は上図のように対応している。
11n においてそれぞれの式に掛けられている
11、12・・・は数字に影響はなく、10n、10n-1、10n-2・・・は
それぞれの値を位分けしているだけであると言える。
よって 11n によって求められる各位の数は
( x + y )n によって求められる数の項を
xn、xn-1y1、xn-2y2・・・の順に並べた時の係数に一致する。
・奇妙なコピー機
原本に書かれた数字(0,1,2)が,コピー後は元の数とそれに＋1、＋2 したものが
表れるコピー機がある。このコピー機を使って,10 回コピーを繰り返す。
Q1,最後に出てきたコピー紙上に表れる一番大きな数字は何か？
Q2,そこに 9 はいくつあるか？
Q1,
よって 10 回目のコピーでは
2×10 + 2 = 22
となり、表れる最大の数は 22 となる。
Q2 まず初めに、原本、１回目のコピー、２回目、３回目・・・のコピー紙上に
表れる数の個数について考えてみた。
この表れる数の個数は 111n となっていることが分かる。
111n の各位は ( x2 + xy + y2 )n の係数と一致することから、
例えば 1 回目のコピーでは表れる数の個数は 1112 となっているので、下表のようになる。
よって 10 回目のコピーでは、11111 つまり
( x2 + xy + y2 )11 の係数が、コピー紙上に表れる数の個数となる。
9 はいくつあるのかを知りたいため、
x13 y9 の係数を調べればよいので
実際に計算してみると、係数は 19855 であった。
したがって、9 は 10 回目のコピー紙上に 19855 個ある。
・多項定理の係数
先ほどの奇妙なコピー機の問題で使った
( 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 )𝑛のそれぞれの項は
この式の
𝑛!
𝑝!𝑞!𝑟!
が係数を表す。
𝑛!
𝑝!𝑞!𝑟!
(𝑥 2 )𝑝 (𝑥𝑦)𝑞 (𝑦 2 )𝑟
・111n
と
( x2 +xy + y2 )n
の関係について
( 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 )𝑛
𝑛!
𝑝!𝑞!𝑟!
(𝑥 2 )𝑝 (𝑥𝑦)𝑞 (𝑦 2 )𝑟
これらの式に𝑥 = 10, y = 1 を代入すると,
(100+10+1)n・・・・111n
𝑛!
𝑝!𝑞!𝑟!
100𝑝 10𝑞 1𝑟
となる。
100𝑝 10𝑞 1𝑟 は二項定理の時と同じく
位分けをしているだけであると言えるので、
111n と ( x2 +xy + y2 )n の係数は一致する。
・( x2 +xy + y2 )n の係数について
例えば,
( x2 +xy + y2 )n = x4 + 2x3y + 3 x2y2 + 2xy3 + y4
であるが、x2y2 は
xy×xy
,
x2×y2 の係数を
2!
それぞれ足したものであるので x2y2 の係数は
2!
+
= 1 + 2 = 3 となる。
0!2!0! 1!0!1!
次数が大きくなると、𝑝, 𝑞, 𝑟に代入する数の組み合わせも多くなるので、
その一般的な求め方を考えてみた
( x2 +xy + y2 )n の xt y2n-t の係数について考えてみる。
初めに、0 ≦ 𝑡 ≦ 𝑛 とする
xt y2n-t は 111n では 10t である
つまり、(102 )𝑝 ・10𝑞 ・(100 )𝑟 = 102𝑝+𝑞 = 10t
2𝑝 + 𝑞 = 𝑡
これをユークリッドの互除法を用いると、
𝑝 = −𝑘 + 𝑡 , 𝑞 = 2𝑘 − 𝑡
（𝑘は整数）・・・① となる。
係数の条件より0 ≦ 𝑝, 𝑞 ≦ 𝑛
① より、0 ≦ −𝑘 + 𝑡 ≦ 𝑛
→
𝑡−𝑛 ≦𝑘 ≦𝑡
0 ≦ 2𝑘 − 𝑡 ≦ 𝑛
この共通範囲は、右図より
→
𝑡
2
𝑡
2
≦𝑘≦
𝑡+𝑛
2
≦𝑘≦𝑡
まとめると、
( x2 +xy + y2 )n の 𝑛 を下の条件式に代入し、
次に、求めたい係数の𝑥の次数 𝑡 を代入する。
0 ≦ 𝑝, 𝑞, 𝑟 ≦ 𝑛
0≦𝑡≦𝑛
条件のもとで、𝑝 = −𝑘 + 𝑡
より𝑝, q, r が求められる。
𝑡
2
≦𝑘≦𝑡
𝑞 = 2𝑘 − 𝑡
𝑟 = 𝑛 − (𝑝 + 𝑞)
←(𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 𝑛)

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