経済学
数学
尾山 大輔
2014 年 6 月 27 日
演習 2
Y ⊂ Rn , Y ̸= ∅
1.
企業 生産可能性集合
(−∞, ∞]
．利潤関数 π : Rn+ →
与
π(p) = sup p · y
y∈Y
定義
．
• Y
自由処分性 (free disposal)
満
y ∈ Y, u ∈ Rn+ ⇒ y − u ∈ Y
成
• Y
立
．
桃源郷 不可能性 (impossibility of free lunch)
満
Y ∩ Rn+ ⊂ {0}
成
• Y
立
．
無生産 可能性 (possibility of inaction)
満
0∈Y
成
(1) Y
立
．
閉凸集合
，
自由処分性 満
Y = {y ∈ Rn |
成 立
示
閉凸集合
(2) Y
p ∈ Rn+
．
，
自由処分性・桃源郷 不可能性・無生産 可能性 満
Y = {y ∈ Rn |
成 立
p · y ≤ π(p)}
対
p ∈ Rn++
示
対
p · y ≤ π(p)}
．
2. 生産可能性集合 Y ⊂ Rn
対
，y ∈ Y
効率的 (efficient)
y ′ ≥ y, y ′ ̸= y ⇒ y ′ ∈
/Y
満
．
，y ∈ Y
凸集合
Y
p · y ≥ p · y ′′
成
立
示
(
効率的
y ′′ ∈ Y
，
対
)
．
1
p ∈ Rn+
存在
3. L 財・I 消費者・J 企業
経済 E = ((ui )Ii=1 , (Yj )Jj=1 , ω) 考
．
L
L
L
，ui : R+ → R 消費者 i 効用関数，Yj ⊂ R
企業 j 生産集合，ω ∈ R
経済
全体 総資源量 表
．
∏J
∑I
∑J
I
((xi )Ii=1 , (yj )Jj=1 ) ∈ (RL
等式
満
，
+) ×
j=1 Yj
i=1 xi =
j=1 yj + ω
I
J
((xi )i=1 , (yj )j=1 ) 達成可能 配分
．
定義 1
達成可能 配分 ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 )
(i) ui (xi ) ≥ ui (x∗i )
(
(ii) ui (xi ) > ui (x∗i )
(
達成可能
対
i
i
効率的 (Pareto-efficient)
対
)
)
配分 ((xi )Ii=1 , (yj )Jj=1 )
存在
．
L I
定義 2 価格
配分 組 (p∗ , ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 )) ∈ RL
+ × (R+ ) ×
p∗ ̸= 0) E 価格準均衡 (price quasi-equilibrium)
次 3
立
：
(i) [支出最小化]
，
消費者 i
対
∏J
j=1 Yj
条件 成
，
ui (xi ) ≥ ui (x∗i ) ⇒ p∗ · xi ≥ p∗ · x∗i
成
立 ．
(ii) [利潤最大化]
企業 j
対
，
yj ∈ Yj ⇒ p∗ · yj ≤ p∗ · yj∗
成
立 ．
(iii) [需給一致]
I
∑
x∗i =
i=1
定義 2
(i)
J
∑
yj∗ + ω.
j=1
支出最小化条件
，効用最大化条件
(i′ ) ui (xi ) > ui (x∗i ) ⇒ p∗ · xi > p∗ · x∗i
少々異
1．
注意
2．
以下 仮定 下 厚生経済学 第 2 基本定理 証明
仮定 A1
(a)
消費者 i
(b)
企業 j
対
対
，u i
，Yj
準凹関数
凸集合
．
．
1
価格準均衡 通常 競争均衡 (competitive equilibrium)
違
応用」
『経済
』2011 年 10・11 月号 参照
．
2
神取道宏教授
経済学 教科書 草稿
仮定 ( 少々弱
2
原「分離超平面定理
)
採用
(
．
達成可能 配分 ((xi )Ii=1 , (yj )Jj=1 )
δ>0 対
ε ∈ (0, δ] 存在
(c)
，消費者 i 財 ℓ 存在
，
ui (xi + εeℓ ) > ui (xi ) 成 立 ．
(d) 経済全体 生産可能性集合 Y = Y1 + · · · + YJ + {ω}
自由処分性 満
．
I
厚生経済学 第 2 基本定理 A1 仮定
．達成可能 配分 ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 ) ∈ (RL
+) ×
∏J
∗ ̸= 0
効率的
，価格
p∗ ∈ RL
存在
+, p
j=1 Yj
∗
∗
I
∗
J
(p , ((xi )i=1 , (yj )j=1 )) 価格準均衡
．
以下 手順
証明
I
(1) ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 ) ∈ (RL
+) ×
各消費者 i
．
∏J
効率的 達成可能
j=1 Yj
配分
．
対
∗
Xi = {xi ∈ RL
+ | ui (xi ) ≥ ui (xi )}
，
X = X1 + · · · + XI
．仮定 A1(a)
(2) 仮定 A1(b)
使
凸集合
X
示
．
経済全体 生産可能性集合 Y = Y1 + · · · + YJ + {ω}
．
使
示
(3) ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 )
効率的
，仮定 A1(c)–(d)
凸集合
使
(Y − X) ∩ RL
++ = ∅
(z ∈ Y − X
示
(4) 「分離定理
z≫0
」定理 1.8
p∗ · y ≤ p∗ · x (
成 立
p∗
(5) (4)
示
対
存在
矛盾 導 )．
∗
， p∗ ∈ RL
+ , p ̸= 0
用
x ∈ X, y ∈ Y
対
存在
)
．
(p∗ , ((x∗i )Ii=1 , (yj∗ )Jj=1 ))
．
3
価格準均衡
示
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