ベイズ推定，ベイジアンネットワーク

ベイズ推定，ベイジアンネットワーク
ベイズの定理
ベイジアンネットワークの構造
ベイジアンネットワークによる確率推論
Computational Informatics 3, School of Informatics and Sciences, Nagoya University
ベイズの定理
基礎空間Ω：
確率現象で起こりうる結果を網羅した集合
Ωの部分空間としての事象
確率，結合（同時）確率
Ｐ（A）：
確率変数Ａが与える事象が起こる確率
Ｐ（A，B）：
ＡかつＢである確率
条件付確率
Ｐ（A | Γ）
Γ：確率変数の並び
Γの条件が成立したもとで，Ａが成り立つ確率．事後確率
Ｐ（A）
事前確率
定義：Ｐ（A | B）＝Ｐ（A, B） / Ｐ（B）
確率の乗法公式：
Ｐ (A, B）＝Ｐ (A | B）Ｐ（B）＝Ｐ（B | A）Ｐ（A）
Ｐ（A, Γ）＝Ｐ（A | Γ）Ｐ（Γ）＝Ｐ（Γ｜A）Ｐ（A）
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ＡとＢが独立な場合：
Ｐ（A ｜ B）＝Ｐ（A），
Ｐ（A, B）＝Ｐ（A）Ｐ（B）
Ｐ（A ｜ A)＝１
事象 Bi (i＝1，…，n) が
排反的（互いに素） (i ≠ j においてＰ（Bi, Bj）＝ 0) ，
網羅的（Ω＝ B1 ∪ … ∪ Bn）
な場合，
Ｐ（A）
＝Ｐ（A, B1）＋ … ＋Ｐ（A, Bn）
＝Ｐ（A ｜ B1）Ｐ（B1）＋ … ＋Ｐ（A ｜ Bn）Ｐ（Bn）
＝ Σ_k Ｐ（A ｜ Bk）Ｐ（Bk）
Ｐ（Bi ｜ A）＝Ｐ（A ｜ Bi）Ｐ（Bi）／Ｐ（A）
ベイズの定理
P ( A | Bi ) P ( Bi )
P( A | Bi ) P( Bi )

P ( Bi | A) 
P ( A)
 k P ( A | Bk ) P ( Bk )
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条件付確率表（ＣＰＴ： Conditional Probability
Ｐ（X | U1, U2, …, Ue）
変数： X，U1，…， Uj, …，Ue
変数の値： X
に対して， x1,, xm
Table）
u1_1,,u1_m1
U1

Ue

ue_1,,ue_me
X の値の数は m 個，U1 の値の数は m1 個，…，Ue の値の数は me 個．
Uj の値の全組合せ
X ＝ x1 となる確率
・・・
X ＝ xm となる確率
u1_1，・・・，ue_1
P(x1 | u1_1，・・・，ue_1)
・・・
P(xm | u1_1，・・・，ue_1)
：
u1_p，・・・，ue_q
：
u1_m1, ・・・, ue_me
：
P(x1 | u1_p，・・・，ue_q)
：
P(x1 | u1_m1，・・・，ue_me)
・・・
・・・
・・・
・・・
：
P(xm | u1p，・・・，ue_q)
：
P(xm | u1_m1，・・・，ue_me)
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ベイズ推定，ベイジアンネットワーク
ベイズの定理
ベイジアンネットワークの構造
ベイジアンネットワークによる確率推論
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ベイジアンネットワークの構造
（信念｜確率｜因果）ネットワーク
グラフの部品：ノード（節点），アーク（弧）
グラフ：（ノード集合，アーク集合）
ベイジアンネットワークを構成するグラフ：
有向非循環グラフ：ループ，閉路がない，有向グラフ．
単一結合（singly connected グラフ）：
グラフを無向としても，ループ，閉路を含まないグラフ．
１つのノードに，１つの確率変数を割り当てる．
ネットワーク上での条件付確率
Γ（Ａ）
Ｐ（Ａ｜ Γ（Ａ））：
Γ（Ａ）：Ａの親の確率変数の並び．
親は０人以上，任意．
Ｂ1
・・・
Ｂｒ
Ａ
根ノード（トップ），葉ノード（ボトム）
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１つの袋から，赤，白，黄，・・・，黒のｎ種類の玉を取り出す．
Σ_玉の色Ｐ（玉の色）＝１．０
ｎ種類の色（事象：「玉の色」という変数に対する値の数）に対して，
確率はｎ－１の自由度．
２つの袋から，玉を取り出す．
布の袋：赤玉が２０個，白玉が１０個
紙の袋：赤玉が５個，白玉が２５個
袋
確率変数は，袋の種類と，玉の色の，２個．
条件付確率表：Ｐ（玉の色｜袋の区別）
赤玉
白玉
布の袋
２／３
１／３
紙の袋
１／６
５／６
玉
布の袋が選ばれた：赤玉の確率は，２／３．
袋を布とした場合：Σ_玉の色Ｐ（玉の色｜袋＝布）＝１.０
袋を紙とした場合：Σ_玉の色Ｐ（玉の色｜袋＝紙）＝１.０
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赤玉が選ばれたとしよう．
この，赤玉は，布の袋か，紙の袋か，どちらから取り出されたのか？
ネットワーク上位の確率変数「袋の種類」の確率を知りたい．
Ｐ（布｜赤）＝Ｐ（布，赤）／Ｐ（赤）
＝Ｐ（赤｜布）Ｐ（布）／
（Ｐ（布，赤）＋Ｐ（紙，赤））
＝Ｐ（赤｜布）Ｐ（布）
／（Ｐ（赤｜布）Ｐ（布）＋Ｐ（赤｜紙）Ｐ（紙））
＃
布の袋，紙の袋，どちらかを選択する確率は１／２
（理由不十分の原則）．
＝（２／３）（１／２）
／（（２／３）（１／２）＋（１／６）（１／２））
＝（１／３）／（１／３＋１／１２）
＝４／５
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風邪，食過ぎにより，腹痛となるネットワーク．
風：２値
風邪でない，ある：
風＝０，風＝１
食過ぎでない，ある：
食＝０，食＝１
腹痛でない，ある：
腹＝０，腹＝１
風邪
0 0.90
1 0.10
食：２値
食過ぎ
0 0.95
1 0.05
腹：２値
風食
0 0
0 1
1 0
1 1
腹 0
0.99
0.20
0.30
0.10
1
0.01
0.80
0.70
0.90
確率データを集めた時点での，
風邪でなかった人，風邪の人の割合：
０．１０，０．９０
食過ぎでなかった人，食過ぎの人の割合：
０．０５，０．９５
条件付確率表：（腹＝０，１の一方の値が分かればよい．自由度４）
風邪食過ぎ
腹痛でない
腹痛である
０
０
０．９９
０．０１
０
１
０．２０
０．８０
１
０
０．３０
０．７０
１
１
０．１０
０．９０
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腹痛になる確率
風：２値
食：２値
Ｐ（腹＝１）
食過ぎ
＝Ｐ（腹＝１，風＝０，食＝０）風邪
0 0.95
0 0.90
＋Ｐ（腹＝１，風＝０，食＝１） 1 0.10
1 0.05
＋Ｐ（腹＝１，風＝１，食＝０）
腹：２値
＋Ｐ（腹＝１，風＝１，食＝１）
風食腹 0
1
＝Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝０）
0 0
0.99 0.01
×Ｐ（風＝０）×Ｐ（食＝０）
0 1
0.20 0.80
＋Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝１）
1 0
0.30 0.70
×Ｐ（風＝０）×Ｐ（食＝１）
1 1
0.10 0.90
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝０）
×Ｐ（風＝１）×Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝１）×Ｐ（風＝１）×Ｐ（食＝１）
＝ 0.01 × 0.90 × 0.95 ＋ 0.80 × 0.90 × 0.05
＋ 0.70 × 0.10 × 0.95 ＋ 0.90 × 0.10 × 0.05
＝ 0.11555
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腹痛にならない確率
風食
腹 0
1
Ｐ（腹＝０）
0 0
0.99 0.01
＝Ｐ（腹＝０｜風＝０，食＝０）
0 1
0.20 0.80
1 0
0.30 0.70
×Ｐ（風＝０）×Ｐ（食＝０）
1 1
0.10 0.90
＋Ｐ（腹＝０｜風＝０，食＝１）
×Ｐ（風＝０）×Ｐ（食＝１）
＋Ｐ（腹＝０｜風＝１，食＝０）
×Ｐ（風＝１）×Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝０｜風＝１，食＝１）×Ｐ（風＝１）×Ｐ（食＝１）
＝ 0.99 × 0.90 × 0.95 ＋ 0.20 × 0.90 × 0.05
＋ 0.30 × 0.10 × 0.95 ＋ 0.10 × 0.10 × 0.05
＝ 0.88445
風邪か風邪でないかの確率と，食過ぎか食過ぎでないかの確率から，
腹痛の確率が分かる（上から下への推論）．
腹痛のノードにおいては，
Ｐ（腹＝１）＋Ｐ（腹＝０）＝ 0.11555 ＋ 0.88445 ＝ 1.0
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腹痛があるときに，風邪か，食過ぎかを知る．
風：２値
腹痛とした時に，風邪である確率：
Ｐ（風＝１｜腹＝１）
＝Ｐ（風＝１，腹＝１）
風邪
0 0.90
1 0.10
／Ｐ（腹＝１）
Ｐ（風＝１，腹＝１）
＝Ｐ（風＝１，腹＝１，食＝０）
食：２値
食過ぎ
0 0.95
1 0.05
腹：２値
風食
0 0
0 1
1 0
1 1
腹 0 1
0.99 0.01
0.20 0.80
0.30 0.70
0.10 0.90
＋Ｐ（風＝１，腹＝１，食＝１）
＝Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝０）Ｐ（風＝１）Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝１）Ｐ（風＝１）Ｐ（食＝１）
＝ 0.70 × 0.10 × 0.95 ＋ 0.90 × 0.10 × 0.05
＝ 0.071
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Ｐ（腹＝１）
＝Ｐ（腹＝１，風＝０，食＝０）
＋Ｐ（腹＝１，風＝０，食＝１）
＋Ｐ（腹＝１，風＝１，食＝０）
＋Ｐ（腹＝１，風＝１，食＝１）
＝Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝０）Ｐ（風＝０）Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝１）Ｐ（風＝０）Ｐ（食＝１）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝０）Ｐ（風＝１）Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝１）Ｐ（風＝１）Ｐ（食＝１）
＝ 0.01 × 0.90 × 0.95 ＋ 0.80 × 0.90 × 0.05
＋ 0.7 × 0.10 × 0.95 ＋ 0.90 × 0.10 × 0.05
＝ 0.11555
以上より，
Ｐ（風＝１｜腹＝１）
＝Ｐ（風＝１，腹＝１）／Ｐ（腹＝１）
＝ 0.071 ／ 0.11555
＝ 0.61445
腹痛と分かったことで風邪である確率が変化（下から上への推論）．
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腹痛とした時に，風邪でない確率：
Ｐ（風＝０｜腹＝１）
＝Ｐ（風＝０，腹＝１）／Ｐ（腹＝１）
Ｐ（風＝０，腹＝１）
＝Ｐ（風＝０，腹＝１，食＝０）
＋Ｐ（風＝０，腹＝１，食＝１）
＝Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝０）Ｐ（風＝０）Ｐ（食＝０）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝１）Ｐ（風＝０）Ｐ（食＝１）
＝ 0.01 × 0.90 × 0.95 ＋ 0.80 × 0.90 × 0.05
＝ 0.04455
Ｐ（腹＝１）は，先に求めた．
以上より，
Ｐ（風＝０｜腹＝１）
＝Ｐ（風＝１，腹＝１）／Ｐ（腹＝１）
＝0.04455 ／ 0.11555
＝0.38555
ここで，Ｐ（風＝１｜腹＝１）＋Ｐ（風＝０｜腹＝１）
＝ 0.61445 ＋0.38555 ＝ 1.0
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腹痛とした時に，食過ぎである確率：
Ｐ（食＝１｜腹＝１）
＝Ｐ（食＝１，腹＝１）／Ｐ（腹＝１）
Ｐ（食＝１，腹＝１）
＝Ｐ（食＝１，腹＝１，風＝０）
＋Ｐ（食＝１，腹＝１，風＝１）
＝Ｐ（腹＝１｜風＝０，食＝１）Ｐ（風＝０）Ｐ（食＝１）
＋Ｐ（腹＝１｜風＝１，食＝１）Ｐ（風＝１）Ｐ（食＝１）
＝ 0.80 × 0.90 × 0.05 ＋ 0.90 × 0.10 × 0.05
＝ 0.0405
Ｐ（食＝１｜腹＝１）
＝Ｐ（食＝１，腹＝１）／Ｐ（腹＝１）
＝ 0.0405 ／ 0.11555
＝ 0.3505
腹痛とした時に，食過ぎでない確率：
Ｐ（食＝０｜腹＝１）＝ 1.0 －Ｐ（食＝１｜腹＝１）＝ 0.6495
Ｐ（風＝１｜腹＝１）＝ 0.61445，Ｐ（食＝１｜腹＝１）＝ 0.3505
腹痛は，風邪が原因である可能性が高い．
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別のネットワークの例
確率変数：
Ａ１：２値
Ａ２：３値
Ａ３：２値
Ａ１，Ａ２，Ａ３，
Ｂ１，Ｂ２，Ｃ１，Ｃ２
条件付確率
Ｐ（Ａ１｜ Γ（Ａ１））
＝Ｐ（Ａ１｜ φ ）
＝Ｐ（Ａ１）
Ｐ（Ａ２｜ Γ（Ａ２））＝
Ｐ（Ａ３｜ Γ（Ａ３））＝
Ｐ（Ｂ１｜ Γ（Ｂ１））＝
Ｐ（Ｂ２｜ Γ（Ｂ２））＝
Ｐ（Ｃ１｜ Γ（Ｃ１））＝
Ｐ（Ｃ２｜ Γ（Ｃ２））＝
Ｂ１：３値
Ｂ２：２値
Ｃ１：２値
Ｃ２：２値
φ：空集合
Ｐ（Ａ２）
Ｐ（Ａ３）
Ｐ（Ｂ１｜
Ｐ（Ｂ２｜
Ｐ（Ｃ１｜
Ｐ（Ｃ２｜
Ａ１，Ａ２）
Ａ１，Ａ２，Ａ３）
Ｂ１，Ｂ２）
Ｂ２）
Ｂ１とＡ３は独立，Ｃ２とＢ１は独立：
Ｐ（Ｂ１｜Ａ１，Ａ２）＝Ｐ（Ｂ１｜Ａ１，Ａ２，Ａ３）
Ｐ（Ｃ２｜Ｂ２）＝Ｐ（Ｃ２｜Ｂ１，Ｂ２）
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全条件付確率の積を考える．
Ａ１：２値
Ａ２：３値
Ａ３：２値
Ａｉは独立，Ｂｊは独立，Ｃｋは独立
として，
Ｂ１：３値
Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ａ３）
×Ｐ（Ｂ１｜Ａ１，Ａ２）
×Ｐ（Ｂ２｜Ａ１，Ａ２，Ａ３）
×Ｐ（Ｃ１｜Ｂ１，Ｂ２）Ｐ（Ｃ２｜Ｂ２）Ｃ１：２値
＝Ｐ（Ａ１，Ａ２，Ａ３）
×Ｐ（Ｂ１｜Ａ１，Ａ２）
×Ｐ（Ｂ２｜Ａ１，Ａ２，Ａ３）
×Ｐ（Ｃ１｜Ｂ１，Ｂ２）Ｐ（Ｃ２｜Ｂ２）
＝Ｐ（Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ｂ１，Ｂ２）
×Ｐ（Ｃ１｜Ｂ１，Ｂ２）Ｐ（Ｃ２｜Ｂ２）
＝Ｐ（Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ｂ１，Ｂ２，Ｃ１，Ｃ２）
Ｂ２：２値
Ｃ２：２値
全条件付確率の積が，全確率変数の結合（同時）確率となった．
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結合確率を表示するための確率の値の数
（１）確率変数の値の個数（自由度）．
Ａ２：３値
Ａ１：２値
Ａ３：２値
２×３×２×３×２×２×２－１
＝２８７種類
（２）条件付確率表の値の個数（自由度）．
Ｂ１：３値
Ｂ２：２値
Ａ１，Ａ３：０入力２値ノード：
２－１＝１個の値
Ａ２：０入力３値ノード：
３－１＝２個の値
Ｃ１：２値
Ｃ２：２値
Ｂ１：２値１本，３値１本入力の３値ノード：
２×３×（３－１）＝１２個の値
Ｂ２：２値２本，３値１本入力の２値ノード：
２×２×３×（２－１）＝１２個の値
Ｃ１：２値１本，３値１本入力の２値ノード：
自由度の合計
２×３×（２－１）＝６個の値
１＋１＋２＋１２
Ｃ２：２値１本入力の２値ノード：
＋１２＋６＋２
２×（２－１）＝２個の値
＝３６種類
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ベイズ推定，ベイジアンネットワーク
ベイズの定理
ベイジアンネットワークの構造
ベイジアンネットワークによる確率推論
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ベイジアンネットワークにおける確率推論
ネットワークに，外部から観測結果が与えられる．
イベントのもとで，推定したい確率変数の，事後確率を求める．
Ｘ：注目ノード
Ｕ1，…，Ｕr：Ｘの親ノード
Ｖ1，…，Ｖs：Ｘの子ノード
Ｘの上流側
Ｕ1
Ｕr
πメッセ
ージ
外部からの観測結果により，ノードＸの確率の値が
影響を受ける．
外部観測結果のノードＸへの影響ｅX を，上流側分
ｅX＋と，下流側分ｅX－に分ける．
ｅX ＝ｅX＋，ｅX－
（列の連結）
e X  e X , e X
・・・ｉ・・・
Ｘ
λメッセ
ージ
Ｖ1
・・・ｊ・・・
Ｖs
Ｘの下流側
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求めたいものは，外部観測結果が得られたときに，Ｘの値がｘとなる確率：
Ｐ（ｘ｜ｅX）
＝Ｐ（ｘ｜ｅX＋，ｅX－）
＝Ｐ（ｘ，ｅX＋，ｅX－）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－）
＝Ｐ（ｘ，ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ，ｅX＋）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－）
＃
Ｐ（ｘ，ｅX＋）を分ける．
＝Ｐ（ｅX＋）Ｐ（ｘ｜ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ，ｅX＋）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－）
＃
＃
ｅX＋の影響は，Ｘを通して，ｅX－に伝播するため，eX＋の eXーへの
直接的影響は，無い．
＝Ｐ（ｅX＋）Ｐ（ｘ｜ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－）
＝（Ｐ（ｅX＋）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－））Ｐ（ｘ｜ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ）
続く
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続き
＝（Ｐ（ｅX＋）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－））Ｐ（ｘ｜ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ）
＃
Ｐ（ｅX＋）／Ｐ（ｅX＋，ｅX－）は，決定困難： κとおく．
＝ κＰ（ｘ｜ｅX＋）Ｐ（ｅX－｜ｘ）
＝ κ π（ｘ｜ｅX＋） λ（ｅX－｜ｘ）
π（ｘ｜ｅX＋）＝Ｐ（ｘ｜ｅX＋）
λ（ｘ｜ｅX－）＝Ｐ（ｅX－｜ｘ）
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P( x | e X )    ( x | e X )  ( x | e X )
P(e X )





,

(
x
|
e
)

P
(
x
|
e
),

(
x
|
e
)

P
(
e
X
X
X
X | x)


P (e X , e X )
κの値の決定：ｘでのＰ（ｘ｜ｅX）総和が 1.0 となるように調整．
（Ｘを固定したときに，ｅX＋，ｅX－は，条件付独立）
ノードＸの値のエビデンス
π（ｘ｜ｅX＋）＝Ｐ（ｘ｜ｅX＋）：
ノードＸにおける値ｘのπエビデンス．
上流側分の観測結果が及ぼす影響．
λ（ｘ｜ｅX－）＝Ｐ（ｅX－｜ｘ）：
ノードＸにおける値ｘのλエビデンス．
下流側分の観測結果に及ぼす影響．
Ｘの上流側
Ｕ1
・・・ｉ・・・
Ｕr
Ｘ
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π（ｘ｜ｅX＋）を求める．
π（ｘ｜ｅX＋）＝Ｐ（ｘ｜ｅX＋）
＝ Σ_u1,…,ur Ｐ（ｘ，ｕ１，・・・，ｕｒ｜ｅX＋）
＝ Σ_u1,…,ur Ｐ（ｘ｜ｕ１，・・・，ｕｒ，ｅX＋）
× Ｐ（ｕ１，・・・，ｕｒ｜ｅX＋）
＃ｅX＋は，ｕ１，・・・，ｕｒを通してＸに影響
＃ｕ１，・・・，ｕｒは，独立
＝ Σ_u1,…,ur Ｐ（ｘ｜ｕ１，・・・，ｕｒ）
× Ｐ（ｕ１｜ｅX＋）・・・Ｐ（ｕｒ｜ｅX＋）
＝ Σ_u1,…,ur Ｐ（ｘ｜ｕ１，・・・，ｕｒ）
× Π_ｉＰ（ｕｉ｜ｅX＋）
＃Ｐ（ｕｉ｜ｅX＋）＝πUiX（ｕｉ）とおく．--- (*)
＝ Σ_u1,…,ur Ｐ（ｘ｜ｕ１，・・・，ｕｒ）
× Π_ｉ πUiX（ｕｉ）
 ( x | e X )   u , ..., u P( x | u1 ,, u r )
1
r
 U i X (ui )  P(ui | e X )
i
 U i X (ui )
値ｕｉのノードＵｉから，
ノードＸへの， π メッセージ．
(*)より
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λ（ｘ｜ｅX－）を求める．
λ（ｘ｜ｅX－）＝Ｐ（ｅX－｜ｘ）
＃ｅX－を，ｅX－＝ｅV1－，・・・，ｅVs－と分解．
＝Ｐ（ｅV1－，・・・，ｅVs－｜ｘ）
＝Ｐ（ｅV1－｜ｘ）・・・Ｐ（ｅVs－｜ｘ）
＝ Π_j Ｐ（ｅVj－｜ｘ）
＃Ｐ（ｅVj－｜ｘ）を λVjX（ｘ）とおく．
＝ Π_j λVjX（ｘ）
 ( x | e X )
  j  V j X ( x)
 V j X ( x) 
P (eVj
| x)
Ｖ1
Ｘ
・・・ｊ・・・
Ｖs
Ｘの下流側
ノードＶj から，値ｘのノードＸへの，λメッセージ．
以上の計算に必要な πUiX（ｕｉ）， λVjX（ｘ）を定式化する．
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ベイズ推定，ベイジアンネットワーク
ベイズの定理
ベイジアンネットワークの構造
ベイジアンネットワークによる確率推論
πメッセージ，λメッセージ
初期値，まとめと学習
例
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