解答例

Neko note
解析学 A レポート問題の解答とコメント（10/27 出題分）
土田旭
定理 1.21 の証明が途中でした. 再開しよう.
定理 1.21 の仮定の γ0 と γ1 をつなぐホモトピー H : [α, β] × I → D はコンパクト集合の上で連続なの
|s − s′ | + |t − t′ | <
TE
で, 一様連続である. したがって Why 1.17 でとった実数 ε > 0 に対して, n ∈ N が存在して
ε
1
=⇒ |H(s, t) − H(s′ , t′ )| <
n
2
2
···⃝
となる. γ0 , γ1 は区分的 C 1 級だが, ホモトピー H には連続性しか仮定されていない. 区分的 C 1 級であ
るようなホモトピーをつくろう. さっきの n で区間 [α, β] と [0, 1] を n 等分する:
[α, β] = [s0 , s1 ] ∪ [s1 , s2 ] ∪ · · · ∪ [sn−1 , sn ],
(t0 = 0, tn = 1).
NO
[0, 1] = [t0 , t1 ] ∪ [t1 , t2 ] ∪ · · · ∪ [tn−1 , tn ],
(s0 = α, sn = β),
各 tk に対して, Γ0 , · · · , Γn : [α, β] → D を
Γk (s) = H(si−1 , tk )
と定義する.
si − s
s − si−1
+ H(si , tk )
,
si − si−1
si − si−1
(si−1 ≤ s ≤ si )
Why 1.18. 任意の k ∈ {0, 1, · · · , n} と任意の s ∈ [α, β] について
ε
2
3
···⃝
KO
|Γk (s) − H(s, tk )| <
が成立することを示せ.
NE
Proof. 区間 [α, β] 上の点 s を任意にとると, ある i ∈ {1, . . . , n} が存在して s ∈ [si−1 , si ] となる. いま
si − s
s − si−1
（式を見やすくするために）u :=
とおくと
= 1 − u とかける.
si − si−1
si − si−1
s − si−1
si − s
|Γk (s) − H(s, tk )| = H(si−1 , tk )
+ H(si , tk )
− H(s, tk )
si − si−1
si − si−1
= |u(H(si−1 , tk ) − H(s, tk )) + (1 − u)(H(si , tk ) − H(s, tk ))|
≤ u|H(si−1 , tk ) − H(s, tk )| + (1 − u)|H(si , tk ) − H(s, tk )|
ε
ε
2 より)
< u + (1 − u)
(⃝
2
2
ε
=
2
この議論は任意の k を固定して行うことができるので, 上の不等式は任意の s ∈ [α, β], k ∈ {0, 1, . . . , n}
について成り立つ.
1
Why 1.17 と Why 1.18 より, 任意の s ∈ [α, β], k = 0, . . . , n に対して
|a − Γk (s)| = |a − H(s, tk ) − Γk (s) + H(s, tk )|
≥ |a − H(s, tk )| − |Γk (s) − H(s, tk )| (三角不等式)
ε
>ε−
(Why 1.17, Why 1.18)
2
|a − Γk (s)| >
ε
2
4
···⃝
が成り立つ.
Why 1.19. 任意の s ∈ [α, β], k = 0, . . . , n に対して
が成り立つことを示せ.
Proof. 定義から
ε
2
5
···⃝
NO
|Γk−1 (s) − Γk (s)| <
TE
より
si − s
s − si−1
+ H(si , tk )
si − si−1
si − si−1
si − s
s − si−1
Γk−1 (s) = H(si−1 , tk−1 )
+ H(si , tk−1 )
si − si−1
si − si−1
Γk (s) = H(si−1 , tk )
si − s
とおくと,
si − si−1
KO
であり, Why 1.18 のときのように u :=
|Γk−1 (s) − Γk (s)| = |u(H(si−1 , tk−1 ) − H(si−1 , tk )) + (1 − u)(H(si , tk−1 ) − H(si , tk ))|
≤ u|H(si−1 , tk−1 ) − H(si−1 , tk )| + (1 − u)|H(si , tk−1 ) − H(si , tk )|
ε
2 より)
<
(⃝
2
4 ⃝
5 によって,(|Γk−1 (s) − Γk (s)| <
これまでに得た不等式⃝,
NE
得る:
ε
2
< |a − Γk (s)| となるから) 次の不等式を
|Γk−1 (s) − Γk (s)| < |a − Γk (s)| ∀s ∈ [α, β], k = 0, . . . , n.
3 ⃝
4 から,
また, 不等式⃝,
|Γk (s) − H(s, tk )| < |a − Γk (s)| ∀s ∈ [α, β], k = 0, . . . , n.
特に k = 0, k = n のときを書いてみると
|Γ0 (s) − γ0 (s)| < |a − Γ0 (s)| ∀s ∈ [α, β],
|Γn (s) − γ1 (s)| < |a − Γn (s)|
2
∀s ∈ [α, β]
である. これらに対して Cor 1.22 を適用することができて
Ind(γ0 ; a) = Ind(Γ0 ; a),
Ind(γ1 ; a) = Ind(Γn ; a)
を得る. Γk−1 (s), Γk (s) に対しても同様に Cor 1.22 より
Ind(Γk−1 ; a) = Ind(Γk ; a) (k = 0, . . . , n.)
となるので
を結論する.
TE
Ind(γ0 ; a) = Ind(γ1 ; a).
さて, 複素領域 D 上のサイクル γ とは, 有限個の閉曲線 γ1 , . . . , γm の形式和
γ=
m
∑
i=1
γi
NO
のことであった (γ1 , . . . , γm の中には同じものがあっても OK).
Defn 1.24. D を C 内の領域とし, γ を D 内のサイクルとする.
γ が D 内で 0 にホモローグであるとは, 任意の a ∈ C \ D に対して Ind(γ; a) = 0 となるときをいう.
ホモローグとホモトープは違う概念であることに注意しよう.
自然な方法で “二つのサイクルがホモローグ” という概念を定義しよう.
定義. 二つのサイクル γ0 と γ1 がホモローグであるとは γ0 − γ1 が 0 にホモローグであるときをいう.
KO
複素領域 D 上の二つの閉曲線 γ0 , γ1 : [α, β] → D は当然サイクルである. γ0 と γ1 がホモトープのとき,
D に属さない任意の点 a に対して, 定理 1.21 より Ind(γ0 ; a) = Ind(γ1 ; a) であるから, Ind(γ0 − γ1 ; a) = 0
となって γ0 と γ1 はホモローグである.
では, 逆は成り立つか?
Why 1.20. 閉曲線 γ0 が γ1 にホモローグであるが, ホモトープではないような例を作れ.
NE
答えは NO である. 図 1 のような状況を考えれば良い. D をグレーの領域として, γ0 , γ1 をそれぞれ図
の青色と赤色の閉曲線とすればよい.
D
図 1: Not homotope but homologue
3
もしちゃんと書くなら, 例えば次のようにすればよい;
で定義すれば, γ0 と γ1 はホモローグだがホモトープでない.
いよいよホモロジー型の Cauchy の積分定理だ.
TE
Proof. 領域を D := C \ {−2, 0, 2} とし閉曲線 γ0 , γ1 : [0, 1] → C を


iπ(4t+1)


eiπ(4t) + 2
(0 ≤ t ≤ 1/4)
e
+
2
(0
≤
t
≤
1/4)






 3eiπ(4t−1)

−iπ(4t−1)
e
(1/4 ≤ t ≤ 1/2)
(1/4 ≤ t ≤ 1/2)
, γ1 (s) :=
γ0 (s) :=
iπ(4t−2)
iπ(4t−1)


e
−
2
(1/2 ≤ t ≤ 3/4)
e
−
2
(1/2
≤
t
≤
3/4)







 e−iπ(4t−4)
iπ(4t−4)
3e
(3/4 ≤ t ≤ 1)
(3/4 ≤ t ≤ 1)
Thm 1.26. D ⊂ C を開集合, γ を D 内の 0 にホモローグなサイクルとする. このとき, D 上の関数
f : D → C が正則であるならば
∫
f (z)dz = 0
γ
証明に入る前に少し準備をしよう.
NO
がなりたつ.
まず回転数の性質を確かめておこう. γ = γ0 + · · · + γn を C 内のサイクルとする. このとき, a ∈ C \ γ ∗
に対して Ind(γ; a) ∈ Z が定まる. この対応（写像）a 7→ Ind(γ; a) を Ind(γ; ·) : C \ γ ∗ → Z と書くこと
にしよう.
Why 1.21. ユークリッド空間 R から Z に相対位相を入れる. このとき, 写像 Ind(γ; ·) : C \ γ ∗ → Z は
連続写像になることを示せ.
KO
Proof. a ∈ C \ γ ∗ に対して, d = mint∈[α,β] |a − γ(t)| とおく. このとき, γi に対してある Mi > 0 が存在
して, 任意の t ∈ [α, β] と b ∈ D(a, d2 ) に対して
1
2
(γi (t) − a)(γi (t) − b) ≤ d2
が成り立つ.
任意の正数 ε > 0 に対して, δ :=
πd2 ε
∫
とすると, |b − a| < δ のとき
n γ |dz|
NE
∫
∫
1
dζ
1
dζ −
|Ind(γ; b) − Ind(γ; a)| = 2πi γ ζ − b 2πi γ ζ − a ∫
1 b−a
=
dζ 2πi
γ (ζ − b)(ζ − a)
∫
n
∑
|b − a|
1
≤
sup 2π
(γi (t) − b)(γi (t) − a) <
δ 2
n
2π d2
i=0 t∈[α,β]
∫ β
′
|γ (t)| dt = ε
α
となる. よって Ind(γ; ·) : C \ γ ∗ → Z は連続である.
4
β
α
|γ ′ (t)| dt
コメント：図による説明だけでは証明になりません.
Why 1.22. 整数 n ∈ Z が与えられたとする. 集合 {a ∈ C \ γ ∗ | Ind(γ; a) = n} は C の開集合である
ことを示せ.
いま, 整数の集合 Z にはユークリッド空間 R からの相対位相が入っている. 位相空間 Z の開集合の
基は {(x − ε, x + ε) ∩ Z}ε>0,x∈R であるので, 一点集合 {n} ⊂ Z は開集合である. Why 1.21 から, 写像
TE
Ind(γ; ·) : C \ γ ∗ → Z は連続写像なので, 逆像 Ind(γ; ·)−1 ({n}) = {a ∈ C \ γ ∗ | Ind(γ; a) = n} は開集合
である.
Why 1.22 をうけて, E := {a ∈ C \ γ ∗ | Ind(γ; a) = 0} とおく.
Lem 1.27. E は開集合であり, かつ, 十分大きな半径の円の外部を含む.
Proof. E が開集合であることは Why 1.22 によって保証されている. 十分大きな半径の円の外部を含む
ことを示そう. γ ∗ はコンパクト集合なので, C の有界閉集合であり, したがってある正数 R > 0 が存在し
て γ ∗ ⊂ D(0, R) となる. このような R について，E ⊃ {z ∈ C | |z| > R} が成立することを見よう. 複素
NO
数 a は |a| > R をみたしているとする．そして関数 f (z) = 1/(z − a) を開円板 z ∈ D(0, R) で考えると，
これは正則である (そのような z について，分母 ̸= 0 だから)．そして γ は閉曲線の和であるから，講義
∫
でやった Corollary 1.6 から， γ f (ζ) dζ = 0 (開円板は凸，したがって星形である．当たり前ですが念の
∫
ため)．よって Ind(γ; a) = (1/2πi) γ f (ζ) dζ = 0 が成立する.
準備が整ったので, 定理 1.26 の証明に入ろう. 写像 g : D × D → C を次のように定める:

 f (ζ) − f (z) (z ̸= ζ),
ζ −z
g(z, ζ) =

f ′ (z)
(z = ζ).
KO
この写像 g について, 次の Why がある.
Why 1.23. g : D × D → C は連続写像であることを示せ.
Proof. z0 ∈
/ ζ0 なる (z0 , ζ0 ) ∈ D × D における連続性は D の Hausdorﬀ 性によって保証される. 点 (z0 , ζ0 )
に対して, ある r > 0 が存在して D(z0 , r) ∩ D(ζ0 , r) = ∅ となる. (z0 , ζ0 ) に収束する点列 {(zn , ζn )}n∈N
を考えると, この r > 0 によって決まる自然数 N があって, n > N では zn ̸= ζn であるから (分母 ̸= 0 で
NE
安全で)
g(zn , ζn ) =
f (ζn ) − f (zn ) n→∞ f (ζ0 ) − f (z0 )
−−−−→
= g(z0 , ζ0 )
ζn − zn
ζ0 − z0
となって, 連続が言える.
z0 = ζ0 なる (z0 , ζ0 ) ∈ D × D においての連続性を示す
. D(z0 , r) ⊂ D なる r > 0 をとる. γ : [0, 1] →
∫
f
(ξ)
1
dξ と表すことができる. この表示を使えば,
D, γ(t) = e2πit , として D(z0 , r) の上で f (z) =
2πi γ ξ − z
∫

1
f (ζ) − f (z)
f (ξ)


=
dξ


ζ −z
2πi γ (ξ − ζ)(ξ − z)

∫


f (ξ)

1

 f ′ (z) =
dξ
2πi γ (ξ − z)2
5
とかける. (z, ζ) → (z0 , ζ0 ) のとき上の二つは一致するので, 連続性が言えた.
f (ζ) − f (z)
′
− f (z0 )
ζ −z
コメント: ζ は固定していません.
TE
Why 1.24. ζ ∈ D を固定したとき,
g(·, ζ) : D → C, z 7→ g(z, ζ)
は正則であることを示せ.
Proof. Why 1.6 でも示したように, D \ {ζ} においての正則性は当然である. ζ における正則性を示そう.
NO
関数 f が D 上正則であることから f は D 上解析的であるので, ζ のまわりで
f (z) =
と冪級数展開できる. f (z) − f (ζ) = (z − ζ)
∞
∑
f (n)
(ζ)(z − ζ)n
n!
n=0
∞
∑
f (n)
(ζ)(z − ζ)n−1 であるので
n!
n=1
KO
g(z, ζ) − g(ζ, ζ)
=
z−ζ
とかける. これより lim
z→ζ
=
f (z)−f (ζ)
z−ζ
− f ′ (ζ)
z−ζ
∞
∑
f (n)
(z − ζ)
(ζ)(z − ζ)n−2
n!
n=2
z−ζ
∞
(n)
∑
f
=
(ζ)(z − ζ)n−2
n!
n=2
g(z, ζ) − g(ζ, ζ)
1
= f (2) (ζ) がわかるので, g(·, ζ) は D 上正則である.
z−ζ
2
仮定より γ は D 内で 0 にホモローグだから, a ∈
/ D ならば Ind(γ; a) = 0 となる. つまり Dc ⊂ E とな
NE
るので,
C=D∪E
となる.
さて, C 上の関数 h : C → C を次で定めよう:
 ∫

g(z, ζ) dζ



 γ
h(z) :=
∫


f (ζ)



dζ
γ ζ −z
6
z ∈ D,
z ∈ E.
∫
∫
共通部分の任意の点 z ∈ D ∩ E において,
g(z, ζ) dζ =
γ
γ
f (ζ)
dζ となることを確かめよう. z ∈ E で
ζ −z
TE
あることより z ∈
/ γ ∗ なので g の定義から
∫
∫
f (ζ) − f (z)
g(z, ζ) dζ =
dζ
ζ −z
γ
γ
∫
f (ζ)
=
dζ − f (z) × 2πi Ind(γ; z)
γ ζ −z
∫
f (ζ)
=
dζ (z ∈ E より Ind(γ; z) = 0)
γ ζ −z
よって関数 h は well-deﬁned である.
Claim 1. h は整関数である.
Why 1.25. Claim 1 を証明せよ. すなわち, h は整関数であることを示せ.
NO
証明に使う定理を述べておこう.
Morera の定理. 領域 D ⊂ C 上の連続関数 f : D → C が D 内の任意の閉曲線 γ に対して
∫
f (z) dz = 0
γ
となるとき, f は D 上正則である. （実際にはもっと弱く，三角形の形をした閉曲線だけで調べれば
十分．
）
KO
Fubini の定理. 領域 D × E ⊂ C × C 上で可積分な関数 f に対して, 逐次積分が可能である:
)
)
∫ (∫
∫ (∫
f (z) dz dζ =
f (ζ) dζ dz.
γE
γD
γD
γE
defn
ただし, γD , γE はそれぞれ領域 D, E 上の曲線である. （念のため：可測関数 f (x) が X 上可積分 ⇔
∫
|f (x)| dx < ∞．つまり絶対値を付けて積分しても発散しない，ということ）
X
Proof of Why 1.25. 領域 D, E ⊂ C それぞれの上で正則であることを示す.
NE
1. 任意の z0 ∈ D に対して, D が開集合であることから, ある r > 0 が存在して D(z0 , r) ⊂ D をみた
す. D(z0 , r) 内の任意の三角形 ∆ に対して, ∂∆ 上の h の積分を考える. g(z, ζ) の連続性より Fubini
の定理が適用できて
∫
∫
(∫
)
h(z) dz =
∂∆
g(z, ζ) dζ
∂∆
∫ (∫
γ
=
)
g(z, ζ) dz
γ
dz
dζ
∂∆
となる. 開円板 D(z0 , r) は凸集合であることと, Why 1.24 を考慮すると, （写像 z 7→ g(z, ζ) は正
∫
則だから）Cor 1.6 を適用すると ∂∆ g(z, ζ) dz = 0 が成り立つ. よって
∫
h(z) dz = 0
∂∆
7
となるので, Morera の定理より従って, h は D(z0 , r) 上正則である. z0 の任意性によって h は D
上正則となる.
2. 任意の z0 ∈ E に対して, E が開集合であることから, ある r > 0 が存在して D(z0 , r) ⊂ E をみた
f (ζ)
す. D(z0 , r) 内の任意の三角形 ∆ に対して, z ∈ ∆ の関数
は（z ∈ E より z ∈
/ γ ∗ だから）連
ζ −z
続なので, Fubini の定理が使えて,
(∫
∫
γ
f (ζ)
dζ
ζ −z
∂∆
f (ζ)
dz
ζ −z
h(z) dz =
∂∆
∂∆
∫ (∫
=
γ
となる. Corollary 1.4 を関数 z 7→
f (ζ)
ζ−z
)
dz
TE
∫
)
dζ
と D(z0 , R) に対して使えば (ζ を ﬁx しておいて)，各 ζ に
対して
∫
∂∆
がいえて，
f (ζ)
dz = 0
ζ −z
NO
∫
h(z) dz = 0
∂∆
となるので, Morera の定理より h は D(z0 , r) 上正則である. z0 の任意性によって h は E 上正則と
なる.
Claim 2.
lim h(z) = 0
|z|→0
KO
Proof of Claim 2. Lem 1.27 によって, |z| が十分大きいとき z ∈ E であるので
∫
f (ζ)
h(z) =
dζ
ζ
−z
γ
NE
である. 次の不等式評価によって Claim 2 が証明される:
∫
∫
f (ζ) |f (ζ)|
dζ
|dζ|
ζ −z ≤
|z
− ζ|
γ
γ
∫
|f (ζ)|
≤
|dζ|
|z|
− |ζ|
γ
∫
∫
|f (ζ)|
1
|z|→∞
≤
|dζ| =
|f (ζ)||dζ| −−−−→ 0.
|z|
|z|
γ
γ
Claim 1, 2 から h は有界な整関数である. Liouville の定理より従って, h は定数関数であることがわか
る. Claim 2 からさらに h は 0 関数であることがわかるので, a ∈ D \ γ ∗ に対して
∫
0 = h(a) =
g(a, ζ) dζ
∫
γ
f (ζ) − f (a)
dζ
ζ −a
γ
∫
∫
f (ζ)
f (a)
=
dζ −
dζ
γ ζ −a
γ ζ −a
=
8
となる. 書き直して
∫
γ
f (ζ)
dζ =
ζ −a
∫
γ
f (a)
dζ
ζ −a
= f (a) × 2πi Ind(γ; a)
を得る. （Cauchy の積分公式！）
この公式（Cauchy の積分公式）は任意の D 上正則関数 f に対して成り立つから, f (z) を f (z)(z − a)
∫
γ
f (ζ)(ζ − a)
dζ = f (a)(a − a) × 2πi Ind(γ; a) = 0
ζ −a
より
∫
f (ζ) dζ = 0
γ
を得る. これで Thm 1.24 が証明できた.
TE
で置き換えると,
Cauchy の積分公式は重要なので, キチンと定理のかたちで述べておこう.
が成立する.
NO
Thm 1.28. D ⊂ C を開集合, γ を D 内の 0 にホモローグなサイクル, f を D 上の正則関数とする.
このとき, 任意の a ∈ D \ γ ∗ に対して
∫
1
f (ζ)
Ind(γ; a)f (a) =
dζ
2πi γ ζ − a
Thm 1.24 から, 互いにホモローグなサイクルに沿っての正則関数の積分は同じ値をとるという, 次の
系を得る:
KO
Cor 1.29. D ⊂ C を開集合, γ0 と γ1 は D 内のホモローグなサイクル, f を D 上の正則関数とする.
このとき
∫
∫
f (z) dz =
γ0
f (z) dz
γ1
が成り立つ.
NE
(to be continued ...)
9

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