演習問題14+答え

基礎数学 1,A1 演習問題 14
問 1 f (x) = x3 − 25x とする。
(1) f ′ (x) を求めよ。
(2) f ′ (−3) を求めよ。
(3) 点 (−3, f (−3)) における y = f (x) の接線の方程式を求めよ。
1
の等比数列とする。
8
(1) 一般項 an を求めよ。
問 2 an を初項 −7 , 公比
(2) 数列の和 Sn = a1 + a2 + · · · + an を求めよ。
(3)
lim Sn の値を求めよ。
n→∞
問 3 次の極限値を求めよ。
14n + 6
(1) lim
n→∞ 7n − 5
x2 − 7
x→5 x2 − 1
(4) lim
(2)
lim (9n − n2 )
n→∞
(3)
6 · 5n + 7n
n→∞ 4n − 7n
lim
x2 + 3x − 10
x→2
x−2
(5) lim
問 4 次の関数 f (x) の導関数 f ′ (x) を求めよ。
(1) f (x) = x6 − x3 + 4
(2) f (x) = (3x2 − 2)(x + 5)
(3) f (x) =
x−5
x+3
(4) f (x) = (x2 + 1)40
問 5 関数 f (x) = 3x4 − 16x3 + 30x2 − 24x の増減表をかき、y = f (x) のグラフをかけ。
答え
問 1 (1) f ′ (x) = 3x2 − 25
(2) f ′ (−3) = 27 − 25 = 2
(3) y = f (x) の点 (a, f (a)) における接線の方程式は y = f ′ (a)(x − a) + f (a) であるから、求
める接線の方程式は y = f ′ (−3)(x + 3) + f (−3) = 2(x + 3) + 48 この式を展開して
y = 2x + 54
問 2 初項 a , 公比 r の等比数列 an の一般項 an , 数列の和 Sn = a1 + a2 + · · · + an は
)
(
1 − rn
である。また −1 < r < 1 のとき lim rn = 0 より lim Sn
an = arn−1 , Sn = a
n→∞
n→∞
1−r
を求める。
(
( )n−1
1
(1) an = −7
8
(2) Sn = −7
( )n )
(
( )n )
1 − 81
1
=
−8
1
−
8
1 − 18
(3) -8
(
)
14 + n6
14n + 6
9
2
2
= lim
=
2
(2)
lim
(9n
−
n
)
=
lim
n
−
1
= −∞
n→∞ 7n − 5
n→∞ 7 − 5
n→∞
n→∞
n
(n5 )n
6·
+1
x2 − 7
6 · 5n + 7n
52 − 7
18
3
= −1
(4) lim 2
= 2
=
=
(3) lim
= lim ( 4 )7n
n
n
n→∞ 4 − 7
n→∞
x→5 x − 1
5
−
1
24
4
−
1
7
x2 + 3x − 10
(x + 5)(x − 2)
(5) lim
= lim
= lim (x + 5) = 7
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
問 3 (1)
lim
問 4 (1) f ′ (x) = (x6 − x3 + 4)′ = (x6 )′ − (x3 )′ + 4′ = 6x5 − 3x2
(
)′
(2) f ′ (x) = (3x2 − 2)(x + 5) = (3x2 − 2)′ (x + 5) + (3x2 − 2)(x + 5)′ = 6x(x + 5) + 3x2 − 2
=(
9x2 + 30x
)′ − 2
x
−
5
(x − 5)′ (x + 3) − (x − 5)(x + 3)′
8
(3) f ′ (x) =
=
=
x+3
(x + 3)2
(x + 3)2
)′
(
(4) f ′ (x) = (x2 + 1)40 = 40(x2 + 1)39 (x2 + 1)′ = 80x(x2 + 1)39
問 5 f ′ (x) = 12x3 − 48x2 + 60x − 24 = 12(x3 − 4x2 + 5x − 2) = 12(x − 1)2 (x − 2)
f ′′ (x) = 36x2 − 96x + 60 = 12(3x2 − 8x + 5) = 12(x − 1)(3x − 5)
5
より f ′ (x) = 0 となる x = 1, 2 , f ′′ (x) = 0 となる x = 1, これより、凹凸を含む増減表を書
3
くと、
x
5
3
1
2
′
−
0
−
−
−
0
+
′′
f (x)
+
0
−
0
+
+
+
f (x)
↘
↘
極小
↗
∪
−8
∪
f (x)
↘
∪
−7
y
O
6
∩
− 205
27
x

Download Report