〔１ ５〕 般Ｂ ２／１ ０ １限 物 ＲＡＣＭＥ 解 用 番 答 紙 号 ５６ の解答用紙に解答しなさい。 ! 物 （理 理 工 学 部） ＜住環境デザイン学科・建築学科・都市環境工学科・機械工学科・電気電子工学科＞ 問題は１ ０ ０点満点で作成しています。 ! 次の文を読み，各問いに対する最も適当な答えを，それぞれの解答群から一つ選び，その記号 を解答欄にマークせよ。なお，重力加速度の大きさは g〔m／s２〕とする。ただし，空気抵抗は 無視できるものとする。 （４ ０点） ［１］ 図１に示すように，質量が無視できる伸び縮みしない長さ L〔m〕の糸の先端に吊るされ た質量 M 〔kg〕の物体が，水平面内を一定の角速度 ω〔rad／s〕で円運動している。この とき，糸と鉛直軸のなす角度を θ〔rad〕として，以下の問いに答えよ。 角速度 水平円軌道 物体 鉛直軸 図１ ―〔１５〕―３６ ― 問１．糸に生じている張力の大きさは何 N か。 解答群 ! Mg sin θ " Mgcos θ $ Mg cos θ % Mgtan θ # M cos θ # Mg tan θ 問２．物体に作用している向心力の大きさは何 N か。 解答群 ! Mgtan θ " M tan θ $ Mgcos θ % Mgsin θ 問３．物体の角速度 ω〔rad／s〕を L，g と θ を用いて表せ。 解答群 ! " Lsing θ $ !gLtan θ " g Lcos θ % g Lsin θ # " Lcosg θ ［２］［１］の円運動中に糸が瞬間的に切れ，物体が空中に放り出された。物体は図２に示すよ うに落下開始点 A から H 〔m〕下の床に衝突して跳ね上がり，床から h〔m〕の高さまで 達した。糸が切れた直後の物体の水平方向の速度の大きさを v１〔m／s〕，跳ね上がった物体 が最高点に達したときの水平方向の速度の大きさを v２〔m／s〕として，以下の問いに答え よ。 落下開始点 床 図２ ―〔１５〕―３７ ― 問４．切り離された直後の物体の水平面内の速度の向きを図３から選べ。 解答群 ! ! " " # # $ $ % % 落下開始点 水平円軌道 図３ 問５．糸が切れた直後の物体の水平方向の速度の大きさ v１〔m／s〕を L，ω と θ を用いて 表せ。 解答群 ! ωLtan θ " ωL２ sin θ $ ωsin θ L % ωLcos θ # ωLsin θ 問６．糸が切れてから物体が床に衝突するまでに要した時間は何 s か。 解答群 ! !Hg " "２gH # H "２g ―〔１５〕―３８ ― $ ２H g % " Hg 問７．糸が切れてから物体が床に衝突するまでに移動した水平距離は何 m か。 解答群 ! ωLsin θ $ ωLsin θ H g " ωLtan θ ２H g % Lsin θ " " # ２H g " ωLsin θ H g ! ２H g " 問８．物体が床に衝突する直前の鉛直方向の速度の大きさは何 m／s か。 解答群 # " "２gH % H "２g ! !Hg $ !２Hg ２H g 問９．床への衝突によって失われた物体のエネルギーは何 J か。 解答群 ! Mg( H − h )＋ # Mg( H − h ) % Mgh ＋ １ M ( v１２ − v２２ ) ２ " １ M ( v１２ − v２２ ) ２ $ Mg( H − h )＋ M ( v１２ − v２２ ) １ Mv ２ ２ ２ ―〔１５〕―３９ ― ! 次の文を読み，各問いに対する最も適当な答えを，それぞれの解答群から一つ選び，その記号 を解答欄にマークせよ。 （３ ０点） 図１のように，大きさが無視できる質量 m〔kg〕，電荷 q〔C〕 （ q＞０）の荷電粒子を電場 で加速し，磁場で運動方向を制御する装置を考える。ただし，金属板の軌道上にあけられた荷電 粒子の通り穴の影響，重力および空気抵抗は荷電粒子の運動に対して無視でき，さらに荷電粒子 に加えられる電場および磁場は一様であるものとする。 磁束密度 荷電粒子 金属板 荷電粒子の軌道 図１ ［１］ 図１のように，位置 A に荷電粒子を静かに置いた。l 〔m〕離れて平行に設置された二枚 の平面金属板に V 〔V〕の電位差を与えることで，荷電粒子を位置 A から位置 B まで加 速した。荷電粒子は金属板にあけられた位置 B の穴から射出される。この荷電粒子の運動 について以下の問いに答えよ。 問１．電位差が V 〔V〕である平行金属板間に生じる一様な電場は何 N／C か。 解答群 ! Vl " qV # V l ―〔１５〕―４０ ― $ V ２l % qV l 問２．荷電粒子が位置 A から位置 B まで移動したとき電場が荷電粒子にした仕事は何 J か。 解答群 ! V " # mVl qVl $ mV % qV 問３．位置 B での荷電粒子の速度の大きさ v は何 m／s か。 解答群 ! ! qlV " !２mqV # !２lq $ ! qVm % ! mqV l ［２］ v〔m／s〕の速度の大きさで位置 B から射出された荷電粒子は，紙面の裏から表へ垂直 に加えられた磁束密度 B１〔Wb／m２〕の磁場中に位置 C から入射した。その後，荷電粒子 は点 O１ を中心とする半径 ro〔m〕の円運動を行い位置 D から出てくる。この荷電粒子の 磁場中での運動について以下の問いに答えよ。 問４．荷電粒子に作用するローレンツ力の大きさは何 N か。 解答群 ! qvB１ " # vB１ q vB１ qm $ vB１ m % qv B１ 問５．荷電粒子に作用しているローレンツ力の向きで正 しいものを図２より選べ。 解答群 ! ! " " # # $ $ 運動方向 図２ ―〔１５〕―４１ ― 問６．荷電粒子が位置 C から位置 D まで移動したとき，磁場が荷電粒子に行った仕事は 何 J か。 解答群 ! qπrovB１ " πrovB１ m # ０ $ qπrov B１ % mv２ ２ 問７．荷電粒子の円運動の半径を ro〔m〕としたとき，荷電粒子に加える磁束密度 B１ の大 きさは何 Wb／m２ か。 解答群 ! mv ro " # mv qro mv２ ro $ % qv ro mvro ［３］ 図３は，図１と同じ形状の装置を二つ組み合わせて構成した荷電粒子の加速装置を表した ものである。図１の装置を通った後，位置 D から出た荷電粒子は再び位置 R から電位差 V 〔V〕の加わった二枚の平行平面金属板中へ入射し，その後，磁束密度 B２〔Wb／m２〕の 磁場内を通り元の位置 A に戻る。この荷電粒子の周回運動について以下の問いに答えよ。 ただし，O２ は磁束密度 B２〔Wb／m２〕中での円軌道の中心とし，また，初速０m／s で位置 A からの周回運動を一周目とする。 磁束密度 磁束密度 図３ ―〔１５〕―４２ ― 問８．初速０m／s で荷電粒子が図３の装置内を位置 A から一周し，元の位置 A に戻った。 このとき一周した後の位置 A における荷電粒子の速度の大きさは何 m／s か。 解答群 ! "２mV q " " ２qmV # "２mqV $ ２" qVm % ２"２mqV 問９．問８で求めた一周した後の位置 A での速度の大きさを初速度として再び荷電粒子に 対して二周目の加速を行った。このとき荷電粒子を一周目と同じ軌道上で運動させるため には，一周目に加えた磁束密度 B１〔Wb／m２〕に対して二周目の磁束密度 B１〔Wb／m２〕 の大きさを何倍にする必要があるか。 解答群 ! !２ " !３ # "３２ $ ２ % ３ 問１ ０．荷電粒子を図３の加速装置内で同一軌道上を n 周回運動させた。このとき n 周目 に加える磁束密度 B１〔Wb／m２〕の大きさは１周目の磁束密度 B１〔Wb／m２〕の大きさ の何倍にする必要があるか。ただし，n は正の整数である。 解答群 ! !２n " "２n # ２n −１ ―〔１５〕―４３ ― $ ２n % !２n −１ ! 次の文を読み，各問いに対する最も適当な答えを，それぞれの解答群から一つ選び，その記号 を解答欄にマークせよ。なお，数値は最も近い値を解答群から選べ。（３０点） 上面にピストンの付いたシリンダー装置の中に，単原子分子からなる理想気体が１mol 封入 されている。ピストンは，質量を無視できるほど薄く，熱伝導が非常に良い素材で作られており， 気密性を保ちながらシリンダー内を上下に滑らかに動く。シリンダー装置と封入されている理想 気体とを合わせた質量は M 〔kg〕であった。このシリンダー装置は伸び縮みしない糸で吊られ ており，常に糸は張った状態に保たれている。重力加速度を g〔m／s２〕，水面における大気圧を P０〔Pa〕 ，気体定数を R 〔J／（mol・K）〕とする。水の密度を ρ〔kg／m３〕とし，水深に関係なく 一定とする。また，ピストンとシリンダーの体積は無視できるほど小さいものとする。 ［１］ 温度が常に T０〔K〕に保たれた水の入った十分に水深のある実験水槽がある。図１のよ うに，この水槽に水面からピストンまでの水深が h１〔m〕となるところまで，シリンダー 装置をゆっくりと沈めた。これについて以下の問いに答えよ。 大気 実験水槽 水面 ピストン 水中 理想気体 シリンダー 図１ ―〔１５〕―４４ ― 問１．このときのシリンダー装置内の理想気体の圧力は何 Pa か。 解答群 ! ρgh１ " P０ ＋ $ ( P０ ＋ gh１ )ρ % P０ ＋ ρgh１ ρgh１ M # P０ ＋ １ gh ２ １ 問２．このときのシリンダー装置内の理想気体の体積は何 m３ か。 解答群 ! RT０ P０ ＋ ρgh１ " RT０ ( P０ ＋ gh１ )ρ $ MRT０ P０ ＋ ρgh１ % RT０ ρgh１ # ２RT０ ２P０ ＋ gh１ 問３．このときのシリンダー装置に加わる浮力の大きさは何 N か。 解答群 ! RT０ h１ " ρgMRT０ P０ ＋ ρgh１ $ gRT０ P０ ＋ gh１ % ρgRT０ P０ ＋ ρgh１ ―〔１５〕―４５ ― # ２ρgRT０ ２P０ ＋ gh１ 問４．水面からピストンまでの水深が h１〔m〕となるところまで沈める過程において，シ リンダー装置に加わる浮力の大きさ〔N〕と水深 h〔m〕との関係を表したグラフとし て最も適当なものを選べ。 解答群 問５．水面からピストンまでの水深が h１〔m〕となるところまで沈める過程において，シ リンダー装置内の理想気体の内部エネルギー〔J〕と水深 h〔m〕との関係を表したグ ラフとして最も適当なものを選べ。 解答群 ―〔１５〕―４６ ― ［２］ 次に，図２のようにシリンダー装置を kg の目盛りで表示されるばねはかりに吊るし， 実験水槽ではなく水温が未知の湖に沈めた。シリンダー装置をゆっくりと沈める過程におい て，水深 h〔m〕とばねはかりの示す目盛り m〔kg〕との関係を記録したところ図３のよ うになった。一般的に，湖の水温は水深が深いところほど低くなることが知られている。こ れについて以下の問いに答えよ。 ３５ ３０ ばねはかり ば ね は ２５ か り の 示 ２０ す 目 盛 り １５ 大気 水面 ピストン 水中 １０ 理想気体 ０ ５ １０ 図２ １ ５ ２０ 水深 ２ ５ ３０ ３５ ４ ０ 図３ 問６．湖の水深 h〔m〕において，ばねはかりが示す質量が m〔kg〕であった。このとき 水温は何 K か。 解答群 ! (m ＋M ) ρR ( P０ ＋ ρgh ) " m( P０ ＋ ρgh ) ρR $ m( P０ ＋ ρgh ) M % P０ ＋ ρgh ρRh２ ―〔１５〕―４７ ― # ( M − m )( P０ ＋ ρgh ) ρR 問７．図３をもとに，湖の水深３ ７m における水温は何 K か。ただし，シリンダー装置と 封入されている理想気体とを合わせた質量 M を３５kg，重力加速度の大きさ g を ９． ８m／s２，水面における大気圧 P０ を１×１ ０５ Pa，気体定数 R を８． ３１J／（mol・K），水 の密度 ρ を１×１ ０３ kg／m３ とする。 解答群 ! $ ２ ７ ５． ２ ２ ８ ６． １ " % ２７８． ３ # ２８３． ６ ２８８． ６ 問８．問７のとき，シリンダー装置を湖の水深２ ０m から水深３ ７m までゆっくりと沈める 過程において，シリンダー内の理想気体の内部エネルギーは何倍になるか。 解答群 ! $ ０． ７５ １． ２１ " % ０． ８３ １． ３３ ―〔１５〕―４８ ― # ０． ９８
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