平成２６年度集積回路設計技術・次世代集積回路工学特論資料
微細化による特性への影響
松田順一
本資料は、以下の本をベースに作られている。
Yannis Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor Second Edition,McGraw-Hill, New York, 1999.
1
概要
• チャネル長変調
• 短チャネルデバイス
– 短チャネル効果（電荷配分）
– ドレイン～ソース電圧の効果
– 逆短チャネル効果
• 狭チャネルデバイス
– 狭チャネル効果
– 逆狭チャネル効果
•
•
•
•
•
•
•
•
パンチスルー
キャリア速度飽和
ホットキャリア効果
スケーリング
ソースとドレイン抵抗
薄い酸化膜と高ドーピング効果
微細物理モデルの統合
付録
– BSIMでの閾値電圧（短チャネル効果：擬似２次元）
2
チャネル長変調
（CLM: Channel Length Modulation）
Em
E1
'
VDS  VDS
'
DS
V
ソース
n+
ドレイン
n+
チャネル
P
空乏層
lp
L
ドレイン側の空乏層によりチャネル長が変化
3
ピンチオフ領域の長さ導出（１次元解析）
チャネル方向( x :ドレイン方向正）のポアソンの方程式を解く。
ピンチオフ点を x  0とし、境界条件を
x  0
  1　'
ピンチオフ領域にかかる電圧：VDS  VDS
とすると、ピンチオフ領域の長さ l p は
2 s
l p 
qN A



'

V

V
D
DS
DS   D

となる。ここで、Dは以下で表される。
D 
 s 12
2qN A
（注）ピンチオフより先にキャリア速度飽和が起こる場合、
1をそれが起こる電界の値に置き換える。
4
チャネル長変調による飽和電流（１）
飽和領域の電流I DSは、l pを用いて以下の如く表される。
'
I DS  I DS
'
I DS
L
または　L  lp
1 lp L
l p L ≪1の場合、
 lp 
I DS  I 1  
L

で近似できる。（この形がコンピュータ計算上好まれる。）
'
DS
ここで、l pを以下の形にして用いる。
l p 
B1
NA

D


'
 VDS  VDS
 D

B1  2 s q  で定数であるが、これとDは、実測値（電流）
12
に合うように選ばれる。
5
チャネル長変調による飽和電流（２）
'
l pをVDS  VDS
の周りでテイラー展開すると、以下になる。
l p VDS  
B1
NA
 
'
 l p VDS





'

V

V
D
DS
DS   D
B1
1
'
N A 2 D  VDS  VDS
'
B1 VDS  VDS

N A 2 D




'
VDS VDS
V
DS
'
 VDS

I DSは、以下となる。
I DS

 lp 
1
B1
'
'
 I 1    I DS 1 
VDS  VDS
L
 L N A 2 D


'
DS
 
 




'
'
 I DS
1  VDS  VDS
VA
となる。ここで、VAは以下で表される。

VA  B2 L N A , 但し、B2  2 D B1

6
チャネル長変調による飽和電流（３）
飽和電流I DSを以下のようにも表す。
 
'
'
I DS  I DS
1  VDS  VDS
 V
A
'
 VDS

または、



 
 

I DS  I DS 1  VDS  V DS  VA  V DS  （VDS  V DS ）
 

 


I DS

W
 2 
' 
 Cox VGS  VT V DS  V DS 
L
2




'
V DS はVDSより低い飽和電流 


上記の飽和領域と以下の非飽和領域の電流式
I DS

W

2
' 
 Cox VGS  VT VDS  VDS  （VDS  V DS ）
L
2



の dI DS dVDSを等しいとしてV DS を求めると、以下になる。

V DS

2VGS  VT  
 VA  1 
 1
V A


7
飽和領域のモデル
I DS
 
 
'
I DS  I DS
1  VDS  VDS' VA
VDS
'
VDS
0
VA
I DS
 

'
I DS  I DS
1  VDS  VDS' VA  VDS'
 VA
VDS
'
DS
0
V
I DS
 VA

2V  V  
V DS  VA  1  GS T  1
VA



0

V DS
VDS
'
VDS
8

ピンチオフ領域の長さ導出（：２次元解析）
2次元解析によりl pを導出すると、l pは以下になる*。
l p  la
V
ln
 m 
DS
 
'
 VDS
la   m
1
V
DS

2
'
DS
V
la2
 12 , la 
s
toxd j  3toxd j
 ox
ここで、 mはx方向の最大電界、d jはドレインの接合深さ、
1は電子または正孔の速度飽和時の電界である。

 
'
ここで、 mを1  (const) VDS  VDS
la で近似すると、l pは
'
 VDS  VDS

l p  la ln 1 

V
E


となる。VEは実験的に決められる。
*Y. A. Elmansy and A. R. Boothroyd, “A Simple two-dimensional model for IGFET operation in the saturation region,”
IEEE Transaction on Electron Devices, vol. ED-24, pp.254-262, 1977.
9
チャネル長の違いによるIDS vs.VGS特性
I DS
VDS : fixed, very small
W : fixed
短チャネル
長チャネル
0
VGS
10
短チャネル効果（電荷配分：１）
短チャネルトランジスタの実効

閾値電圧VT は、

VT  VFB  0 
VT (VSB )
長チャネル

'
B1
'
B
Q
 0  VSB
Q
VTL (VSB )

VT (VSB )
短チャネル

'
B1
である。ここで、
Q は実効空乏

層電荷であり、　VT はまた、

0
VSB
VT  VT  VTL
で表される。ここで、
 '

 QB1 
VT  VFB  0   0  VSB , VTL   '  1 0  VSB
 QB



である。VTLは閾値電圧の変化量を表す。
11
短チャネル効果（電荷配分）

QB
L
QB
n+
dJ
dJ
dB
dB
dB
空乏層
n+

'
B
'
B

QB Q

QB Q
P


'
B1
'
B
Q
VT  VFB  0 
 0  VSB
Q

d j 
2d B
Q Q  1
1
 1

L 
dj


'
B
'
B
12
短チャネル効果（電荷配分：２）

'
B
Q QB' の導出 : 空乏層幅d Bは

2 s 

d B   0  VSB  但し、  qN 
A 


'
B
である。これを使うと、
Q QB' は

d j 
2d B
Q Q  1
1
 1

L 
dj


'
B
'
B

'
B
となる。
2d B d j ≪1の場合、
Q QB' は

'
B
dB
L
で近似される。
2d B d j が大きい場合も考慮して、以下で表す。
Q QB'  1 

'
B
dB
但し、1は定数 
Q Q  1  1
L
'
B
13
短チャネル効果（電荷配分：３）

'
B

1を含む Q Q の近似式を用いると、
VT は
'
B
 1

VT  VFB  0   0  VSB 1 
0  VSB 
L


となる。また、VTLは以下の如くになる。

 s tox
0  VSB 
VTL  2 1
 ox L
VTL  1 L
14
短チャネル効果（ドレイン～ソース電圧の影響）

'
B
ドレイン電圧が増大した場合、
Q QB' は以下になる。
1 d BS  d BD
但し、1は定数 
L
2
ここで、d BSとd BDはそれぞれソース側とドレイン側の空乏層幅であるため、

'
B
Q QB'  1  1


d  d BD 
但し、VDB  VDS  VSB 
BS

0  VSB  0  VDB 2
2

 2VDS 

但し、 2  0.25
  0  VSB 


0  VSB 


となる。上記近似はVDSが小の場合に成り立ち、
VT とVTLは以下になる。
  
 2VDS
VT  VFB  0   0  VSB 1  1  0  VSB 
L 
0  VSB

 t
VTL  21 s ox 0  VSB    2VDS 
 ox L





15
短チャネル効果
（ドレイン～ソース電圧の影響：２次元解析）
擬似２次元解析によると、VTLは以下の如くになる*。
VTL  3bi  0   VDS e  L 
ここで、biはソースまたはドレインとチャネル間の
接合電位であり、（特性長：Characteristic length ）
は以下である。
 s toxd B
 
 ox  3
ここで、d Bはチャネル下の空乏層深さであり、
 3  1はフィッティングパラメータである。
なお、上記VTLはL ≫ d Bで成立する。
*Z-H Liu, et. Al., “Threshold voltage model for deep-submicrometer MOSFET’s,” IEEE Transaction on Electron Devices,
Vol. 40, pp.86-95, 1993.
16
短/逆短チャネル効果

ゲート
VT
反転層
N+
ゲートによる空乏層
逆短チャネル効果
N + 層による空乏層
P基板
VT
ゲート
反転層
短チャネル効果
N+
ゲートによる空乏層
P基板
0
N + 層による空乏層
L
17
チャネル幅の違いによるIDS vs.VGS特性
I DS
VDS : fixed, very small
L : fixed, long
幅広チャネル
狭チャネル
0
VGS
18
LOCOS分離の狭チャネル効果（１）
狭チャネルトランジスタの


実効閾値電圧VT は、

VT  VFB  0 
VT (VSB )
狭チャネル

'
B1
'
B
Q
 0  VSB
Q
VTW
VT (VSB )
幅広チャネル

'
B1
である。ここで、
Q は、
実効空乏層電荷であり、

'
B1
Q
VSB
0

Q  1である。
VT はまた、
'
B

VT  VT  VTW
で表される。ここで、VTとVTWは以下である。
VT  VFB  0   0  VSB , VTW
 '

Q

  B' 1  1 0  VSB
 QB



19
狭チャネル効果（電荷配分）
W
dB
dB
空乏層

QB
QB


'
B
'
B
QB Q

QB Q
20
LOCOS分離の狭チャネル効果（２）

'
B1
LOCOSの場合、
Q
QB' を以下の如く近似できる。

'
B1
'
B
Q
 dB
 1   4
Q
2W
ここで、 4は通常1であり、フィティングパラメータとして用いる。

これからVT は以下になる。



VT  VFB  0   0  VSB 1   4
0  VSB 
2W


また、VTWは以下になる。

VTW   4

2W
  4

2W
0  VSB  0  VSB
0  VSB    4
 s tox
0  VSB 
 ox W
d B   0  VSB
 
2 s
qN A
2q s N A

'
Cox
21
狭/逆狭チャネル効果

酸化膜
VT
狭チャネル効果
空乏層
LOCOS
VT
酸化膜
逆狭チャネル効果
空乏層
STI
0
W
22
STI分離の狭チャネル効果（１）

STIの場合の狭チャネル効果による　VT は、以下である。

VT  VFB  0 
QB
'
Cox
WL  2C F
ここで、C Fはフリンジング容量である。

VT はまた、以下で表される。


VT  VFB  0 
Q B1
'
Cox
WL

ここで、
Q B1 は実効空乏層電荷である。
上２式を比較して、以下を得る。

'
Q B1
Cox
WL
 '
1
QB CoxWL  2C F
23
STI分離の狭チャネル効果（２）
C Fは、以下である。
 2t 
ln  Fox 

 tox 
ここで、t Foxはフィールド酸化膜厚である。このC Fから以下を得る。
C F 
2 ox L

Q
W
B1 
QB W  F
但し、F 
 2t 
ln  Fox 
  tox 
4tox

したがってVT は、以下の如くになる。

VT  VFB  0   0  VSB
W
W F
* L. A. Akers, et. al., “Characterization of the inverse-narrow-width effect,”
IEEE Transaction on Electron Devices, vol. ED-34, pp. 2476-2484, 1987.
24
パンチスルー
ゲート
N+
N+
ソースに
よる空乏層
ドレインに
よる空乏層
Log IDS
VDS3
VDS2
VDS1
P基板
バルクパンチスルー
VDS3＞VDS2＞VDS1
ゲート
N+
ソースに
よる空乏層
P基板
N+
ドレインに
よる空乏層
表面パンチスルー
VGS
バルクパンチスルー
による成分
25
キャリアの速度飽和
• キャリアの速度飽和を含む電流式
I DSN ,速度飽和を含む
I DSN ,速度飽和を含まない
1  VDS LΕc 
• 電界が臨界電界より小： Εx ≪ Εc  vd   Εx
• 電界が臨界電界より大： Εx ≫ Εc  vd  vd max
vd
vd
vd   (VGS ) Ε x
臨界電界
max
Εc 
0
Εc
Εx
vd
max

26
キャリア速度飽和の解析（１）
vd を経験的な以下の関係式で表す。
v d  vd
 x c
max
1   x c
ここで、
 x  dVCB dx であるから、


1  c dVCB dx 
dVCB dx 
vd ( x)  vd max

1  1  c dVCB dx 
1  1  c dVCB
dx 
となる。一方、非飽和領域での電流I DSNは


I DSN  W  QI' vd ( x)
であるから、

dVCB
1 dVCB 
  W  QI'
I DSN 1 
dx
  c dx 
となる。これを、x  0VCB  VSB からx  LVCB  VDB まで積分する。


27
キャリア速度飽和の解析（２）
積分の結果、以下を得る。
VDB


VDB  VSB  
  W   QI' dVCB
I DSN  L 
VSB
c


VDB
W

'
I DSN 

Q
I dVCB

V
L 1  VDS L c  SB




ここで、VDB  VSB  VDSである。
この式を完全対称強反転モデル（直接導出）での式


W VDB
I DSN     QI' dVCB
L VSB
とを一定として比較すると、以下になる。
I DSN ,including　velocity　saturation 
I DSN ,not　including　velocity　saturation
1  VDS L c 
28
キャリア速度飽和の解析（３）
簡単化されたソース参照強反転モデルの式に速度飽和効果を入れると、
I DS 



Cox' VGS  VT VDS  VDS2 
W
2


1  VDS L c 
L
'
, VDS  VDS


'
となる。
dI DS dVDS  0から飽和時のVDS  VDS
は以下になる。
'
VDS

VGS  VT

2
 V  VT
1   GS
 
 2
1

 L c
'
また、飽和時の電流は、VDSをVDS
に、LをL  l pに置換えて、以下になる。
I DS
 '2 
' 
'


WCox
V

V
V

VDS 
T
DS
 GS
2


'
 l p VDS


L1  
 L L c 
29
キャリア速度飽和の解析（４）
'
'
Lが小さくなると、VDS
も小さくなる。したがって、I DS
は
I
'
DS

Cox' W L VGS  VT VDS'
'
 L c 
VDS
'
VGS  VT  c
 WCox
で近似できる。ここで、
l p L ≪1と仮定してある。
'
すなわち、I DS
はVGS  VTにほぼ比例する。
ここで、チャネル電荷が場所xに依存しなく、
'
VGS  VT であるから、
一定であるとすると、 QI'  Cox


'
I DS
 W  QI' vd
max
となる。
30
IDS-VDS特性：速度飽和の有無
W
' VGS  VT 
 Cox
L
2
2
I DS
'
VGS  VT c
I DS  WCox
I DS
0
I DS
VDS
速度飽和のない場合
0
VDS
速度飽和のある場合
31
ホットキャリア効果
ゲート
電子/正孔ﾄﾗｯﾌﾟ
－
－
－
+
－
酸化膜
過剰界面準位
－－－－－－－
－－－－
ID
－
電子の流れ
+ + +－
N+
+ －
+
+ + +
ドレイン
+
+
+
+
+
+ +
正孔の流れ
（基板電流） I
空乏層端
DB
・電子/正孔ﾄﾗｯﾌﾟ
・過剰界面準位
↓
・閾値電圧上昇
ｿｰｽ･ﾄﾞﾚｲﾝ逆方向
閾値電圧上昇顕著
・ﾄﾞﾗｲﾌﾞ能力低下
ﾄﾞﾚｲﾝ抵抗増加
P基板
32
基板電流vs.ゲート～ソース電圧
I DB

Vi
'
I DB  I DS K i VDS  VDS
exp  
'
 VDS  VDS
K i  1～3, Vi  10～30





VDS
0
VGS
33
ホットキャリア対策
ーLDDトランジスター
ゲート
ソース
N+
ドレイン
N-
N-
N+
電界低減
↓
インパクトイオン化低減
↓
ホットキャリア低減
P基板
34
スケーリング
ゲート
n
n
空乏層
p-sub
n
n
p-sub
35
定電界スケーリング（１）
デバイスが1 （３次元）
になる。
 L, W , tox , d j : 1 
空乏層幅も1  にする。


2 s
bi  V 
 N A :  , V : 1  , 空乏層幅 : d 
qN A


この場合、動作電圧及び閾値電圧も、
1  にする。
 1 
容量Cは、単位面積当りの増加と面積縮小から、 1 
になる。また、は

  : 1    2q s N A Cox'
になる。

2

QB' はスケールされない。QB'   2q s N A 0  VCB

 QB' : 1
36
定電界スケーリング（２）
ドレイン電流


   1  2  1  : （容量）
（電圧）

（電圧）

I DS
W

2
' 


 Cox  VGS  VT VDS  VDS  L
2


弱反転領域での log I DS vs.VGSの傾き（VDS 一定）

1 
 1    1 : （）（電圧）
/



n  1 
'

2
2


V
F
SB

単位面積当り消費電力






 1  1   1  2  1 : （電圧）
（電流）

（面積）
/
37
定電界スケーリング（３）
容量充電の変化率
 1   1    1 : （電流）
（容量）
/
、　dV dt  I C
容量充電時間
 1  , （  容量充電の変化率  1、電圧 : 1  ）
回路スピード

電力遅延積（パワーディレイプロダクト）


 1  2 1    1  : 3
（トランジスタ当りの消費電力）
（容量充電時間）

38
定電界スケーリング（４）
配線内の電流密度




 1   1  2  　（電流）
（配線断面積）
/
配線抵抗
 1   1  2  　（配線長）
（配線断面積）
/
配線の容量と抵抗からの時定数
 1    1　（配線容量）
（配線抵抗）

配線内での電圧低下
 1    1　（電流）
（配線抵抗）

コンタクト抵抗
  2 （コンタクト面積 : 1  2 ）
コンタクトでの電圧低下
 1   2  　（電流）
（コンタクト抵抗）

39
定電界スケーリング・ファクター
40
スケーリングの規則
41
ソースとドレイン抵抗
メタル
ゲート
ソース拡散層
n
反転層

p  sub
メタル
反転層
R3
R1
R2
42
ソースとドレイン抵抗を入れたMOS
トランジスタ
G
R
R
S
I DS
D
B
～
V DS
VDS
43
ソースとドレイン抵抗の解析（１）
～
実効的なドレイン～ソース電圧V DS は、
～
V DS  VDS  2 RI DS
～
で表される。以下の式において、VDSをV DS で置換える。
I DS 
W



Cox' VGS  VT VDS  VDS2 
L
2


更に、VGS  VT へのRI DSの寄与は少ないとし、いまVDSの
 2VDS2 の項は、無視できるものとすると、
小さい場合を考え、
～
W
'
I DS  Cox VGS  VT V DS
L
となる。これから、I DSを解くと、以下になる。
I DS
'
Cox' W L 
2Cox
RW
VGS  VT VDS ,  R 

1   R VGS  VT 
L
44
ソースとドレイン抵抗の解析（２）
得られた電流式のに以下の eff を代入すると、
 eff 
I DS
0
1   VGS  VT 
（ここで、 BVSBを無視）
'

Cox
W L
VGS  VT VDS


1   VGS  VT  1   R VGS  VT 
0
Cox' W L 0
VGS  VT VDS

1     R VGS  VT 
となる。ここで、 VGS  VT ≪1,  R VGS  VT ≪1
と仮定してある。
45
薄い酸化膜と高ドーピングの効果
（１）量子効果によるゲート酸化実効膜厚の増大
（量子論によるキャリア分布：チャージシートモデルの限界）

11
t ox  tox  ox d m , d m  B1 QB'  QI'
s
32

1 3
（B1  10 9 (C･cm)1 3 ）
（２）ポリシリコンゲートの空乏化

t ox  tox 
 ox
d m  d p 
s
（３）量子効果によるVT 0 の増大効果（反転層電荷の量子化）
' 23
B
QB'
 s  B2 Q

VT 0   s  

s
0
d m  s : 強反転での sのシフト
  s  0

ここで、B2  500V/ (C･cm -2 ) 2 3 である。
（４）ゲート絶縁膜を通してのトンネル効果
ゲート酸化膜の限界  15Å
46
電流式に考慮すべき微細ｻｲｽﾞ効果
• 閾値電圧の変化
– チャネル長Lの影響：短（逆短）チャネル効果
– チャネル幅Wの影響：狭（逆狭）チャネル効果
– ドレイン電圧VDSの影響（DIBL）
• 高電界による移動度の低下
– キャリアの表面散乱（電流と垂直方向）
– キャリアの速度飽和（電流の方向）
• 飽和領域におけるチャネル長変調
47
微細サイズ効果を取込んだ電流式
• 実効閾値電圧

VT L,W ,VDS ,VSB   VT VSB   VTL L,VDS ,VSB   VTW W ,VSB 
• 非飽和領域の電流： V
'
≪
V
DS
DS

 2


VGS  VT L,W ,VDS ,VSB VDS  VDS 
2











1


V

V
L
,
W
,
V
,
V


V

T
DS
SB 
B SB 1  VDS L c 
 GS



W
C
L
'
ox
I DS
• 飽和領域の電流： V
DS
'
≫VDS


 '  '2 


V

V
L
,
W
,
V
,
V
VDS 
 GS
T
DS
SB VDS 
2







 l p


'




1


V

V
L
,
W
,
V
,
V


V
1


V
L


T
DS
SB 
B SB 
DS
c 
 GS


 L

W
C
L
'
ox
I DS
48
付録
BSIMでの閾値電圧
（短チャネル効果：擬似２次元）
49
付録
閾値電圧導出－短チャネル効果（擬似２次元）－
記号の定義と境界条件
ゲート
L
0
X dep
ソース
y
Es ( y )
x
y
ドレイン
Gaussian box
境界条件 ⇒
Vbi
Vbi  Vds
L
X dep
dVs ( x, y )
dx
0
X dep
50
付録
Gaussian boxにGaussの法則適用（１）
Gaussの法則
• ｙ方向電界のフラックス

S E  ndS  V  si dv
E ( x, y  y)  E ( x, y)X
dep

X depy 
y
y
E y ( x, y  y )  E y ( x, y )
y
• ｘ方向電界のフラックス
E ( X
x
dep

V
, y )  E (0, y )y  
gs
E y
y
X depy
 VFB  Vs ( y ) Cox
x
E x ( X dep , y )  0
 si E x (0, y )  Vgs  VFB  Vs ( y ) Cox
 si
y
51
付録
Gaussian boxにGaussの法則適用（２）
• Ｇａｕｓｓの法則の適用
E y
y
X dep

V
y 
gs
 VFB  Vs ( y) Cox
 si
y  
qN peak
 si
X depy
•
y  0, E y ( x, y)  E y (0, y)  Es ( y), X dep  X dep 
•
X dep dEs ( y )
  si
 Vgs  VFB  Vs ( y) Cox  qN peak X dep

dy
Es ( y)   dVs ( y) dy, Cox   ox Tox
X dep d 2Vs ( y)
Vgs  VFB  Vs ( y )
 si
  ox
 qN peak X dep
2

dy
Tox
X dep 
⇒ チャネルに沿う空乏層幅の平均

⇒ フィッテングパラメータ
52
付録
表面電位の微分方程式
• 下記微分方程式を解く
– 境界条件 Vs (0)  Vbi , Vs ( L)  Vds  Vbi
X dep d 2Vs ( y)
Vgs  VFB  Vs ( y )
 si
  ox
 qN peak X dep
2

dy
Tox
(1-1)
（基板電位：グラウンド）
• (1-1)式の整理
d 2Vs ( y )
2  AVs ( y )  B
dy
(1-2)
qN peak
 ox
Vgs  VFB 
A 
, B

 si X depTox
 si
 si X depTox
 ox
53
表面電位の解法－微分方程式を解く（１/５）－
(1  2)式の同次式
d 2Vs ( y )
2  AVs ( y )  0
dy
(1  3)式において、Vs ( y )  e yとおくと、
 2  A  0     A
となる。従って、以下を得る。
Vs ( y )  C1e A y  C2 e  A y C1 , C2 : 任意定数
次に、
d 2Vs ( y )
2  AVs ( y )  B
dy
の解を、C1 , C2をyの関数と見なして
Vs ( y )  C1 ( y )e A y  C2 ( y )e  A y
とする。（定数変化法）
付録
(1-3)
(1-4)
(1-5)
(1-6)
(1-7)
54
表面電位の解法－微分方程式を解く（２/５）－
(1  7)式の1階微分は以下となる。
dV ( y )
s
 C1 Ae A y  C2 Ae  A y
dy
ここで、以下とおいた。
C1' Ae A y  C2' Ae  A y  0
(1  7)式の2階微分は(1  8)式から以下となる。
d 2Vs ( y )
2  C1' Ae A y  C1 Ae A y
dy
 C2' Ae  A y  C2 Ae  A y
付録
(1-8)
(1-9)
(1-10)
(1  7)式と(1  10)式を(1  6)式に代入すると、以下を得る。
C1' Ae A y  C2' Ae  A y  B
(1-11)
55
表面電位の解法－微分方程式を解く（３/５）－
付録
(1  9)式と(1  11)式から以下を得る。
B  Ay
'
(1-12)
C1 
e
2 A
B
'
C2  
e Ay
(1-13)
2 A
(1  12)式と(1  13)式から、以下を得る。
B  Ay
C1 ( y )  
e
 D1
(1-14)
2A
B Ay
C2 ( y )  
e  D2 D1　, D2 : 任意定数 (1-15)
2A
(1  14)式と(1  15)式を(1  7)式に代入して、以下を得る。
B
Vs ( y )    D1e A y  D2 e  A y
(1-16)
A
56
表面電位の解法－微分方程式を解く（４/５）－
境界条件Vs (0)  Vbi , Vs ( L)  Vds  Vbiを
(1  14)式に適用して、以下を得る。
B
D1  D2   Vbi
A
B
AL
 AL
D1e  D2 e
  Vds  Vbi
A
付録
(1-17)
(1-18)
これから、D1とD2は以下となる。
B
1
B
  AL 
D1 
(1-19)
 A  Vds  Vbi   A  Vbi e

2 sinh A L 



 B
1
 B
 AL 
D2 
  A  Vds  Vbi    A  Vbi e  (1-20)
2 sinh A L  
 






57
表面電位の解法－微分方程式を解く（５/５）－
付録
D1とD2を(1  16)式に代入して整理すると、Vs ( y )は以下になる。






Ay  B
 sinh A L  y   B

  Vds  Vbi  
  Vbi 
AL  A
sinh A L  A


 y
 L y



sinh  
sinh 
lt 
lt 


 VsL  Vbi  Vds  VsL 
 Vbi  VsL 
L
L
sinh  
sinh  
 lt 
 lt 
ここで、
qN peak X depTox


B

  Vgs  VFB 
 s   s  Vgs  Vth 0  s  VsL
A
 ox


1
A 
Vth 0
lt
B sinh
Vs ( y )   
A sinh


58
付録
表面電位の解
• 表面電位のチャネル位置依存性
sinh  y lt 
Vs ( y )  VsL  Vbi  Vds  VsL 
sinh L lt 
sinhL  y  lt 
 Vbi  VsL 
sinh L lt 
VsL  Vgs  Vth 0  s
qN peak X depTox
Vth 0  VFB 
 s
 ox
⇒ 長チャネル表面電位
⇒ 長チャネル閾値電圧
59
付録
閾値電圧－短チャネル効果（擬似２次元）－
•
Vds ≪Vbi  VsL の場合の表面電位最小位置
Vs min  Vs ( y0 )　 y0  L 2
• 最小表面電位
Vs min
sinh L 2lt 
 VsL  2Vbi  VsL   Vds 
sinh L lt 
• 閾値電圧
Vs min  s , at Vgs  Vth

2Vbi  s   Vds 
Vth ( L)  Vth 0 
 Vth 0  Vth
2 coshL 2lt   2
60
付録
閾値電圧変化－短チャネル効果（擬似２次元）－
• 近似
lt ≪ L
1
1
 L 2 lt
2 cosh L 2lt   2 e
 e  L 2 lt  2
e  L 2 lt
 L 2 lt
 L 2 lt
 L 2 lt
 L lt


e
1

2
e

e

2
e
1  2e  L 2lt

 

• 短チャネル効果による閾値電圧変化

Vth ( L)  2Vbi  s   Vds  e L 2lt  2e L lt

61