誤植，補足一覧

拙著ベゾフ空間論の補足および誤植訂正
文責著者澤野嘉宏
January 7, 2015
1
補足
原典の該当箇所を一番上に書き，原則的に (a) 欄は誤植の部分，(b) 欄は訂正方
法，(c) は報告日を示しています．複数の報告日がある場合は訂正内容をさらに訂
正しています．修正箇所が大きすぎる場合は，別証明に証明を移動しています．
1. 序文
(a) ２０１０年のフィールズメダリストの Villani の言葉を借りて，定義
の複雑さとそこから得られる良い性質との関係に関して考察してみ
よう．f : R → R が下に凸であるということは f が 2 回微分可能
で，f ′′ ≥ 0 であることをいうと高校で習ったと思う．しかし，大学
ではこの定義以外にすべての実数 x, y ∈ R と t ∈ [0, 1] に対して，
f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) が成り立つことであると教わっ
た読者も多いであろう．f が 2 回微分可能である時は，これらの定義
は一致することは認めて，凸関数であること定義の複雑さとそこから
得られる良い性質との関係を考察しよう．
定義式「f ′′ ≥ 0」と「（すべての実数 x, y ∈ R と t ∈ [0, 1] に対して，
）
f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y)」を見比べてもわかるように，前
者のほうが明らかに簡潔 (simple) である．前者の定義には無い性質を
後者が持っている．例えば，前者は微分という概念を導入しているので，
一般化がしにくいのに対して，後者は線形空間を定義域とする関数に
容易に拡張できるという点で，一般的 (general) である．また，微分を
経由した定義の欠点の一つは凸性が絶対値に関して閉じている (stable)
という性質を含ませることができないことである．また，大学入試の
試験などを想像するとわかるが，f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y)
の形をした不等式の証明は非常に多い．パラメータが 3 つもあるから
である．したがって，f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y) が示せた
とすると，それは便利 (useful) なことが多いはずである．
(b) ２０１１年１０月２６日
【注意】(simple, general, stable, useful）の言葉は Villani 氏本人の言葉であ
り，澤野がこの凸性の例に合わせて解釈を勝手に加えています．
2. ３０ページ線形位相とは和とスカラー倍が連続な位相を言います．
1
3. ５２ページ命題２．１６１は f, g ∈ C ∞ であることが仮定から従い，そ
の結果 f · g ∈ C ∞ であるのですが，f · g ∈ S ′ であることを示す必要があ
るということです．
4. ６０ページ下から１行目の (Φ(L) )−1 は (Φ(L) )−1 (x) = 2−n Φ(L) (2−1 x) に
よって定義されています．
5. １２２ページ命題３．１．３３は定理３．１．２５の直後に証明してお
くべきでした．
6. １２２ページ Lp , 1 ≤ p < ∞ は S を稠密部分空間として含むという命題
の証明は，(i) 畳み込み，(ii) 切り落としの二つの部分からなる．
命題３．１．３４の最初の段階「fN を近似すればよい」は畳み込みの部分，
それ以降は切り落としの部分と解釈できる．
7. １２７ページ下から１行目 (3.75) 式の右辺，Ψ の引数がきちんと定義さ
れていることを示さなくてはいけませんでしたが，これは次のページで
しています．２０１４年１１月１７日
8. １３０ページ (a) S0 と本書で記載されている空間は Z ，S∞ と表記する研究者も多い
です．
(b) ２０１１年４月１１日，２０１３年３月１４日
9. １３７ページ定理３．２．２３では [f ], Φ([f ]) を同一視しています．
10. １３８ページ上から５行目 (3.101) は最右辺を ⟨f, τ ⟩ と定義してもよい．
φj (D)f は [f ] の代表元の取り方によらないからである．２０１４年１１月
１７日
11. １４１ページ上から３行目
(a) L = 0 なので，Φ(f ) =
∞
∑
φj (D)f は S ′ で収束していることに注意．
j=−∞
(b) ２０１４年１２月１５日
12. １８６ページ補題４．２．２３と補題４．２．２６は実際は L の代わり
に n + L で使っています．
13. ２００ページ (a) 定理４．２．３８におけるアトム分解を non-smooth アトム分解と言
うことがある．
(b) ２０１１年５月１２日，２０１３年３月１４日
14. ２２７ページ定理４．３．２５
2
(a) これは２２７ページ下から５行目の等式，O の定義 O = {F ∗ > λ}，
２２８ページ上から３，４行目の不等式
: F (y, t) > λ} ≤ 3n ∥µ∥Carleson |O|
µ{(y, t) ∈ Rn+1
+
を組み合わせて得られる．
(b) ２０１１年１０月１９日
15. ２５２ページ定理５．１．２１，２５８ページ定理５．１．２７
(a) supp(ψ) ⊂ B(2r ) であるから，ある r′ < r が存在して，supp(ψ) ⊂
′
B(2r ) となる．したがって，r = ρ をクオーク分解の定理において仮
定してもよい．
(b) ２０１３年２月２５日
16. ２５３ページ定理５．１．２２にある考え方
(a) R が大きいと仮定が弱い．したがって、多くの離散データを必要とする．
(b) ２０１１年９月２日
17. ２８６ページ定理５．３．６と２９３ページ定理５．４．３と２９５
ページ定理５，４，４
(a) これらは関数空間の基本定理 (Key theorems in function spaces) と呼
ばれる．ただし，定理５．３．４，定理５．３．５は含めない．
(b) ２０１１年６月３日，２０１３年３月１４日
18. ２９３ページ定義５．４．１
(a) B M (Rn ) は１１頁 B N (Rn ) を参照のこと．
(b) ２０１２年２月２５日
19. ２９４ページ (5.150) 式から４行下
(a) I ≲ ∥ψ∥B1 (Rn ) +∥ψ −1 ∥B1 (Rn ) に現れる B 1 (Rn ) ノルムは１１頁 B N (Rn )
を参照のこと．
(b) ２０１２年２月２５日
20. ２９７ページ (5.158)
(a) ２９７ページ (5.158) は f ∈ S のときに，一様収束する．実際に，
n
S ⊂ B11
である．したがって，λβνm , (βqu)νm の構成をみてもわかるよ
うに，
∑ ∑ ∑
λβνm (βqu)νm
(1)
f=
β∈N0 n ν∈N0 m∈Zn
n
n
0
は B11
で収束している．B11
→ B∞1
→ BUC であるから，確かに，
(5.158) は f ∈ S のときに，一様収束する．
(b) ２０１２年１１月２１日
3
21. ３２１ページ定理６．１．１６の証明の最後
(a) 微分同相 φ(x) = (x′ , xn − ω(x′ )) を使う際に ω ∈ D(Rn−1 ) であるこ
とを用いる．xzxx
(b) ２０１２年２月２５日
22. ３６０ページ (a) (6.119) 式の Θ を一様楕円定数という．
(b) ２０１１年１１月２９日，２０１３年３月１４日
2
追加，訂正
原典の該当箇所を一番上に書き，原則的に (a) 欄は誤植の部分，(b) 欄は訂正方
法，(c) は報告日を示しています．複数の報告日がある場合は訂正内容をさらに訂
正しています．
1. １ページ中段
(a) この不等式
(b) ヤングの不等式
(c) ２０１１年４月１１日
連体詞の使い方がおかしいです．
2. １０ページ上から２行目∼４行目
(a) 全体を次で置き換えてください．
(b) 任意の多重指数に対して，
∥∂ β [(1 + |ξ|2 )σ (ψj+3 − ψj−1 )]∥L1 ≲ 2j(2σ+n−|β|)
が成り立つので，任意の M > 0 に対して，
|F −1 [(1 + |ξ|2 )σ (ψj+3 − ψj−1 )](x)| ≲ 2j(2σ+n−M ) |x|−M
となる．特に，
∫
|F −1 [(1 + |ξ|2 )σ (ψj+3 − ψj−1 )](x)| dx
Rn
∫
≲
(
2j(2σ+n) min 1,
Rn
2jσ
1
2j |x|
)n+1
≲2
である．
(c) ２０１４年９月１８日，２０１４年９月２３日
4
dx
3. １１ページ練習問題１．１．１５
∑∞ (−1)j+1
(a)
j=1
|ξ|j
∑∞ (−1)j+1
(b)
j=1 |ξ|2j
(c) ２０１３年１２月１９日
4. １２ページ下から３行目
(a) (1 − ∆)
s−1
2
(b) (1 − ∆)
−s−1
2
(c) ２０１３年５月３１日
5. １６ページ (1.34)
(a) W2m =
(b) W2m :=
(c) ２０１４年１２月２４日
6. １９ページ下から２行目
(a) すべての長さ m の多重指数
(b) すべての長さ m 以下の多重指数
(c) ２０１３年５月３１日
7. ２２ページ下から８行目
(a) Ff (ξ) = F −1 f (−ξ)
(b) Ff = F −1 f (−⋆)
(c) ２０１４年１２月２４日
8. ３０ページ定義２．１．８
(a) ような最弱の位相
(b) ような最弱の線形位相
(c) ２０１４年８月２日
9. ３１ページ上から 10 行目
(a) すなわち，U ⊂ S が開集合であるとは，任意の φ ∈ S に対して
(b) すなわち，空ではない U ⊂ S が開集合であるとは，任意の φ ∈ U に
対して
(c) ２０１４年８月２日
10. ３１ページ下から 7 行目
(a) (2.8) が成り立つ．
5
(b)
L
∩
{ψ ∈ S : pαl ,βl (ψ − φ) < εl } ⊂ U が成り立つ．
l=1
(c) ２０１４年８月２日
11. ３１ページ下から 7 行目
(a) j = 1, 2, . . . , k
(b) j = 1, 2, . . . , L
(c) ２０１４年８月２日
12. ３１ページ下から 8 行目
(a) j = 1, 2, . . . , k
(b) j = 1, 2, . . . , L
(c) ２０１４年８月２日
13. ３２ページ上から４行目
(a) φ(N ;α) (x) := eN |x| ∂ α φ(x)
(b) φ(N ;α) := eN |⋆| ∂ α φ
(c) ２０１４年１２月２４日
14. ３２ページ上から８行目
(a) φy (x) := φ(x − y)
(b) φy := φ(⋆ − y)
(c) ２０１４年１２月２４日
15. ３２ページ練習問題２．１．１３
(a)
sup pN (φt )
t∈[0,1]n
(b)
sup pN (φy )
y∈[0,1]n
(c) ２０１３年１２月１９日，２０１４年１２月２４日
φy = φ(⋆ − y) と明記しておくべきでした．
16. ３４ページ (2.13) 式とその 2 行上
(a) 4−N −1
(b) 2−N −1
(c) ２０１３年１２月１９日
17. ３６ページ (2.19) 式
(a) 【追加】
6
(b) すべての τ ∈ S に対して，
(c) ２０１３年５月３１日
18. ３９ページ定義２．１．３１
(a) 【追加】
(b) ∂ α f ∈ S ′ を φ ∈ S に対して，
(c) ２０１４年１２月２４日
19. ４１ページ (2.30) 式
(a) 【追加】
(b) φ ∈ S
(c) ２０１４年１２月２４日
20. ４１ページ下から１行目
(a) Θj (ξ) := Θ(2−j ξ)
(b) Θj := Θ(2−j ⋆)
(c) ２０１４年１２月２４日
21. ４２ページ上から８行目
(a) ψ(ξ) := η(|ξ|), φ(ξ) := η(|ξ|) − η(2|ξ|)
(b) ψ := η(| ⋆ |), φ := η(| ⋆ |) − η(2| ⋆ |)
(c) ２０１４年１２月２４日
22. ４１ページ下から２行目
(a) それゆえ
(b) ところで
(c) ２０１４年１２月２４日
23. ４４ページ上から１行目，最初
(a) 【追加】
(b) 「と分解すると，
」
(c) ２０１４年１２月２４日
24. ４４ページ (2.38)
√
∑
∑
(a) pN (φ) =
sup ⟨x⟩N |∂ α φ(x)| =
sup |∂ α φ(x)| (1 + |x|2 )N
α∈N0 n
|α|≤N
(b) pN (φ) =
x∈Rn
∑ (
α∈N0 n
|α|≤N
α∈N0 n
|α|≤N
)
sup ⟨x⟩N |∂ α φ(x)|
x∈Rn
=
x∈Rn
∑ (
α∈N0 n
|α|≤N
7
)
√
sup |∂ α φ(x)| (1 + |x|2 )N
x∈Rn
(c) ２０１４年１２月２４日
25. ４５ページ下から９行目
(a) 文末に【追加】
(b) 微積分学の基本定理により，
(c) ２０１４年１２月２４日
26. ４７ページ定義２．１．４８フーリエ逆変換の定義式
(a) dx
(b) dξ
(c) ２０１３年１２月１９日
27. ４７ページ定理２．１．４９
(a) 【追加】
(b) j = 1, 2, . . . , n を動く．
(c) ２０１４年１２月２４日
28. ４９ページ上から１行目
(
)
(a) E(x) := exp − 12 |x|2 , Et (x) := E(tx) とおく．
(
)
(b) E := exp − 12 | ⋆ |2 , Et := E(t⋆) とおく．
(c) ２０１４年１２月２４日
29. ４９ページ上から４行目
( )
ξ
1
−n
t
E
n
t
(2π) 2
(
)
1
⋆
−n
(b) FEt =
E
n t
t
(2π) 2
(a) FEt (ξ) =
(c) ２０１４年１２月２４日
30. ５０ページ定理２．１．５６
(a) Fφ(x)Fψ(x) dx
(b) Fφ(ξ)Fψ(ξ) dξ
(c) ２０１４年１２月２４日
31. ５４ページ練習問題２．１．６８
∑
f (x − 2πm)
(a) F (x) :=
m∈Zn
(b) F :=
∑
f (⋆ − 2πm)
m∈Zn
8
(c) ２０１４年１２月２４日
32. ５６ページ定義２．１．７４
(a) 最強
(b) 最弱
(c) ２０１２年１月１３日
33. ６３ページ上から３行目
(a) 偶多項式
(b) (2.90) の二項目で与えられる偶多項式
(c) ２０１３年５月３１日
34. ６３ページ下から１１行目
(a) Φ(L) (x) := vol(S n−1 )−1 κ(L+1) ( |x| ), Ψ(L) (x) := vol(S n−1 )−1 ψ (L) ( |x| )
(b) Φ(L) := vol(S n−1 )−1 κ(L+1) ( | ⋆ | ), Ψ(L) := vol(S n−1 )−1 ψ (L) ( | ⋆ | )
(c) ２０１４年１２月２４日
35. ６４ページ下から１２行目
(a) |γ| ≤ L
(b) |γ| = L
(c) ２０１４年１２月２４日
36. ６５ページ命題２．１．９１
(a) |α| ≤ L
(b) |α| = L
(c) ２０１３年５月３１日
37. ６７ページ下から５行目
(a) Lp → S ′ でない
(b) 0 < p < 1 のとき，Lp → S ′ でない
(c) ２０１３年５月３１日
38. ７１ページ【追加および訂正】
(a) 【追加】定理２．２．８（ウイナーにより発見された）
(b) 【訂正】supλ Bλ の半径 < ∞ という仮定がないと，X = R に対して，
Bλ = (−λ, λ), λ ∈ (0, ∞) とおくことで，反例ができます．
(c) ２０１１年１１月２８日，２０１３年３月１４日
39. ７２ページ (2.112) 式
9
(a) |f (x)| dx
(b) |f (y)| dy
(c) ２０１３年１２月１８日
40. ８５ページ上から４行目
(a) max(1, p)
(b) min(1, p)
(c) ２０１４年９月２９日
41. ８５ページ上から６行目
n
(a)
− n (p ≥ 1 のとき )
p
n
(b)
− n (p ≤ 1 のとき )
p
(c) ２０１４年９月２９日
42. ８５ページ上から６行目
(a) 0
(p < 1 のとき )
(b) 0
(p > 1 のとき )
(c) ２０１４年９月２９日
43. ８５ページ下から６行目
min(1, p)
2
min(1, p)
(b) η :=
2
(c) ２０１４年９月２９日
(a) η =
44. ８６ページ上から６行目
(a) ∥f ∥p ≲ ...
n
(b) ∥f ∥p ≲ h p ...
(c) ２０１３年５月３１日
45. ８６ページ (2.158) 式
(a) (x − z)
(b) (⋆ − z)
(c) ２０１３年１２月１８日
46. ８７ページ下から１行目補題２．２．３９
(a) 補題２．２．３８
10
(b) 定理２．２．３８
(c) ２０１３年３月１４日
47. ９５ページ上から３行目
(a) |f (x)| dx
(b) |f (y)| dy
(c) ２０１３年５月３１日
48. ９７ページ上から９行目
(a) ... ≤ |f (x)| ≤ Mdyadic f (x) ≤ ...
(b) ほとんどいたるところ ... ≤ |f (x)| ≤ Mdyadic f (x) ≤ ...
(c) ２０１３年５月３１日
49. ９８ページ上から９行目
∫
(a) T g(x) dx
Rn
∫
(b) T g(x) dx =
Rn
(c) ２０１３年５月３１日
50. ９８ページ上から１２行目
(a) すべての λ
(b) すべての λ > 0
(c) ２０１３年５月３１日
51. １０１ページ下から９行目
∞
∑
(a) K(x) :=
F −1 [ψ(2−j ⋆)m](x)
j=−∞
(b) K :=
∞
∑
F −1 [ψ(2−j ⋆)m]
j=−∞
(c) ２０１４年１２月２４日
52. １０１ページ下から７行目
(a) 【追加】
(b) x ∈ Rn \ {0}
(c) ２０１４年１２月２４日
53. １０２ページ上から４行目
(a) x
11
(b) ξ
(c) ２０１１年４月１３日
54. １０２ページ上から４行目
(a) mj (ξ) = ψ(2−j ξ)m(ξ)
(b) mj = ψj m
(c) ２０１４年１２月２４日
55. １０２ページ上から６行目
(a) ψ(2−j ⋆)
(b) ψ(2−j ξ)
(c) ２０１４年１２月２４日
56. １０３ページ上から１０行目
(a) m(D)fj (x) → m(D)f (x) が
(b) m(D)fj (x) → m(D)f (x) がほとんどいたるところ
(c) ２０１３年５月３１日
57. １１２ページ下から８行目
(a) 0 ≤ Ψ ≤ χB(4)\B(3)
(b) χB(3.9)\B(3.1) ≤ Ψ−2 ≤ χB(4)\B(3)
(c) ２０１４年１０月１４日，２０１４年１２月２４日
58. １１２ページ下から６行目
(a) χB(2) ≤ Ψ ≤ χB(3)
(b) χB(2.9) ≤ Ψ ≤ χB(3)
(c) ２０１４年１０月１４日
59. １１２ページ下から５行目
(a) f =
(b) f :=
(c) ２０１４年１２月２４日
60. １１２ページ下から４行目
(a) φj (D)f = 2−jn aj F −1 [φj ]
(b) φj (D)f = 2−jn aj F −1 [φj · Ψj+1 ]
(c) ２０１４年１０月１４日
61. １１４ページ命題３．１．１６
12
(a) この命題の証明は独立に証明できる定理３．１．１７を用います．
(b) ２０１４年１０月１４日
min(p, q) < 1 かもしれないからです．
62. １１５ページ（３．３０）式
(a) ψj+2 (2j+2 ⋆)
(b) (ψj+2 (2j+2 ⋆) − ψj−3 (2j+2 ⋆))
(c) ２０１４年１０月１４日
63. １１５ページ（３．３１）式
(a) ψj+2 (2j+2 ⋆)
(b) (ψj+2 (2j+2 ⋆) − ψj−3 (2j+2 ⋆))
(c) ２０１４年１０月１４日
64. １１５ページ（３．３２）式
(a) ψj+2 (2j+2 x)
(b) (ψj+2 (2j+2 x) − ψj−3 (2j+2 x))
(c) ２０１４年１０月１４日
65. １１８ページ下から５行目
p0
(a) F (x) p1 ∥f ∥Fps0∞
(b) F (x)
p0
p1
0
p
1− p0
∥f ∥F s0 1
p0 ∞
(c) ２０１４年１０月１４日
66. １２０ぺージ練習問題３．１．２９
(a) fa :=
∞
∑
aj F −1 [κj ]
j=1
(b) fa :=
∞
∑
2−j(n+s0 −n/p) aj F −1 [κj ]
j=1
(c) ２０１４年１０月１４日
67. １２２ページ上から１３行目証明の初め
(a) 【追加】
(b) (3.1) を仮定する．
(c) ２０１４年１２月２４日
68. １２２ページ (3.51) の１行上
13
s
(a) Fpq
の位相で，
s
(b) (3.1) より Fpq
の位相で，
(c) ２０１４年１２月２４日
69. １２２ページ (3.51) の１行下
(a) 実際，
(b) 実際，N ≥ 3 のとき，
(c) ２０１４年１２月２４日
70. １２２ページ命題３．１．３３の証明の最後
s−n/p
(a) （実際に証明したことを記述すると，
）Aspq → B∞∞
(b)
Aspq
→
0
B∞1
→ BUC
(c) ２０１２年２月２５日，２０１３年３月１４日
71. １２２ページ命題３．１．３４の証明の最初
(a) ((3.1) を仮定していない．)
(b) (3.1) を仮定する．
(c) ２０１４年１０月２１日
72. １２２ページ命題３．１．３４の証明中 (3.51) の直後
(a) (N ≥ 2 を仮定していない．)
(b) N ≥ 2 を仮定する．
(c) ２０１４年１０月２１日
73. １２３ページ上から３行目
(a) よって，
(b) よって，系２．２．３２より
(c) ２０１４年１０月２１日
74. １２３ページ下から３行目
(a) Cc∞
(b) Cc∞
(c) ２０１４年１０月２１日
75. １２４ページ (3.56) 式のひとつ上の行
(a) κ
(b) η
(c) ２０１４年１０月２１日
14
→ BUC
76. １２４ページ (3.56) 式
(a) χB(2.1)\B(1.9) ≤ κ ≤ χB(2.2)\B(1.8)
(b) χQ(2.1)\Q(1.9) ≤ η1 ≤ χQ(2.2)\Q(1.8)
(c) ２０１４年１０月２８日
77. １２４ページ下から６行目
(a) F −1 η(2k ⋆)
(b) F −1 [η(2k ⋆)]
(c) ２０１４年１０月２１日
78. １２４ページ下から４行目
k
(a) ei2
x1
F −1 [η(⋆ − 2l e1 )]
(b) F −1 [η(⋆ − 2l e1 )](⋆ − 2l e1 )
(c) ２０１４年１０月２１日
79. １２４ページ下から２行目
(a) F −1 (α(k) )
(b) α(k)
(c) ２０１４年１０月２１日
80. １２４ページ下から１行目
(a) F −1 (β (k) )
(b) β (k)
(c) ２０１４年１０月２１日
81. １２５ページ上から２行目
(a) F −1 (γ (k) )
(b) γ (k)
(c) ２０１４年１０月２１日，２０１４年１２月２４日
82. １２５ページ上から３行目
(a) F −1 (γ (k) )
(b) γ (k)
(c) ２０１４年１０月２１日，２０１４年１２月２４日
83. １２５ページ上から４行目
(a) F −1 (δ (k) )
(b) δ (k)
15
(c) ２０１４年１０月２１日，２０１４年１２月２４日
84. １２５ページ上から７行目
(a) は明らかである．
(b) が示される．Bps00 q0 = Fps00q0 を示す場合は適当な係数 ak を用いて，
f=
∞
∑
ak γ (2
k
)
k=1
と定義することで，f ∈
ができる．
Bps00 q0
\ Fps00q0 か f ∈ Fps00q0 \ Bps00 q0 を示すこと
(c) ２０１４年１０月２８日
85. １２５ページ (3.64) 式
(a) χB(1) ≤ ψ ≤ χB(3/2)
(b) χQ(11/10) ≤ ψ ≤ χQ(3/2)
(c) ２０１４年１０月２８日
86. １２５ページ下から１行目
(a) η を
(b) 定数 ρ を
(c) ２０１４年１０月２８日，２０１４年１２月２４日
η は関数と定数の 2 通りで使ってしまいました．
87. １２６ページ (3.68) 式
(a) (η)
(b) (ρ)
(c) ２０１４年１０月２８日
η は関数と定数の 2 通りで使ってしまいました．
88. １２６ページ上から６，７行目
(a) F −1 [δ (k) ]
(b) δ (k)
(c) ２０１４年１０月２１日，２０１４年１２月２４日
89. １２７ページ下から５行目
(a) F ∈ (Aspq )∗
(b) Ψ ∈ (Aspq )∗
(c) ２０１４年１０月２８日
16
90. １２８ページ上から３行目
(a) φj (D)F (j)
(b) 2−js φj (D)F (j)
(c) ２０１４年１０月２８日
91. １２８ページ (3.77) 式
s )∗
(a) ∥F ∥(Fpq
s )∗
(b) ∥Ψ∥(Fpq
(c) ２０１４年１０月２８日
92. １２８ページ (3.77) 式から (3.78) 式への移行について（１２８ページ s )∗ についても
(3.80) 式の１行下の二つ目の不等式 ∥{h(j) }∥j∈N0 ≲ ∥Ψ∥(Fpq
同様）
(a) q > 1 のときは定理２．２．１４も用いて，(3.78) 式へ移る．q = 1 の
ときは次のようにして示す．
∥{φj (D)F (j) }j∈N ∥Lp (ℓ1 )
=
∞
∑
|φj (D)F (j) |
j=1
= sup
G∈Lp′
Lp
∞
∑
|φj (D)F (j) |G
j=1
L1
∫
= sup
∞
∑
sup
G∈Lp′ aj ∈L∞ , ∥aj ∥L∞
Rn j=1
φj (D)F (j) (x)aj (x)G(x) dx
である．ここで，φj (D) を移動させて，
∥{φj (D)F (j) }j∈N ∥Lp (ℓ1 )
∫
= sup
sup
G∈Lp′ aj ∈L∞ , ∥aj ∥L∞
∞
∑
Rn j=1
F (j) (x)φj (D)[aj · G](x) dx
と変形する．ハーディー・リトルウッドの極大作用素を用いて，
∥{φj (D)F (j) }j∈N ∥Lp (ℓ1 )
∫
≲ sup
sup
G∈Lp′ aj ∈L∞ , ∥aj ∥L∞
Rn j=1
∫
≲ sup
sup
G∈Lp′ aj ∈L∞ , ∥aj ∥L∞
≲ ∥{F (j) }j∈N ∥Lp (ℓ1 )
17
∞
∑
∞
∑
Rn j=1
F (j) (x)M [aj · G](x) dx
F (j) (x)M G(x) dx
(b) ２０１４年１０月２７日
93. １２８ページ (3.79) 式
(a) Lp (ℓq )
′
′
(b) Lp (ℓq )
(c) ２０１４年１２月２４日
94. １２８ページ (3.80) 式
(a) φj (D)h(j)
(b) 2js φj (D)h(j)
(c) ２０１４年１０月２８日
95. １２８ページ (3.80) 式の１行下
(j)
s ≲ ∥{h
s )∗ < ∞
(a) ∥g∥Fpq
}j∈N0 ∥Lp (ℓq ) ≲ ∥Ψ∥(Fpq
s )∗ < ∞
(b) ∥g∥F −s
≲ ∥{h(j) }j∈N0 ∥Lp (ℓq ) ≲ ∥Ψ∥(Fpq
′ ′
p q
(c) ２０１４年１０月２８日
96. １２８ページ (3.80) 式の２行下
(a) F (0) = ψ(D)h(0) , F (j) = φj (D)h(j)
(b) F (0) := ψ(D)η, F (j) := 2js φj (D)η
(c) ２０１４年１０月２８日，２０１４年１２月２４日
97. １２８ページ下から７行目
(a) h(j) · φj (D)η
(b) 2js h(j) · φj (D)η
(c) ２０１４年１０月２８日
98. １２８ページ下から６行目
(a) φj (D)ηh(j)
(b) 2js φj (D)h(j)
(c) ２０１４年１０月２８日，２０１４年１２月２４日
99. １３０ページ上から８行目
(a) τj (x) = τ (2−j x)
(b) τj = τ (2−j ⋆)
(c) ２０１４年１２月２４日
100. １３０ページ練習問題３．２．２
18
(a) S0 は閉部分空間であることを示せ．
(b) S0 は S の閉部分空間であることを示せ．
(c) ２０１１年４月１１日，２０１３年３月１４日
101. １３６ページ (3.97)
(a) lim
J
∑
J→∞
(b) F
−1
F −1 [| ⋆ |2s φj Ff ]
j=−J
[| ⋆ |2s Ff ]
(c) ２０１４年１２月１１日
102. １３７ページ定理３．２．２３（１）
(a) すべての f ∈ A˙ spq に対して，
pN (f ) ≲ ∥f ∥A˙ s
pq
が成り立つ．
(b) すべての Φ ∈ S0 に対して，
pN (Φ) ≳ ∥Φ∥A˙ s
pq
が成り立つ．
(c) ２０１４年１１月１７日
103. １３８ページ上から３行目
s
→ B˙ ps min(p,q) だからである
(a) F˙ pq
s
(b) F˙ pq
→ B˙ ps max(p,q) を示せるからである
(c) ２０１４年１１月１７日
104. １３８ページ上から１０行目，１１行目
(a) |2−j ⋆ |2(n+1)
(b) |2−j ⋆ |−2(n+1)
(c) ２０１４年１１月１７日
105. １３８ページ上から１３行目
(a) 2−(s+2n+2) ∥f ∥A˙ s · ∥∆n+1 τ ∥1
pq
(b) 2
−n−1
n+1
−n−1 ∥∆
∥f ∥B˙ ∞∞
τ ∥1
(c) ２０１３年５月３１日，２０１４年１１月１７日
106. １３８ページ上から１４行目
19
(a) ∥f ∥A˙ s · pn+1 (τ )
pq
(τ ∈ S0 )
−n−1 · p2n+2 (τ )
(b) ∥f ∥B˙ ∞∞
(τ ∈ S0 )
(c) ２０１３年５月３１日
107. １３８ページ系３．２．２４
(a) s > 0
(b) s ∈ R
(c) ２０１１年４月１１日
108. １３８ページ定理３．２．２５
(a) s > 0
(b) s ∈ R
(c) ２０１１年４月１１日
109. １３９ページ (3.104) 式
(a) １３９ページ (3.104) 式全体
(b) L > s − np .
(c) ２０１１年５月１２日
110. １３９ページ (3.105) 式の２行上の最後の部分
(a) 「一般的な注意」から始まる一文を削除
(b) 【削除】
(c) ２０１４年１２月２４日
111. １３９ページ (3.105) 式の２行上の最後の部分
s−σp
(a) A˙ spq → B˙ max(1,p)∞
s−n/p
(b) A˙ spq → B˙ ∞∞
(c) ２０１１年５月１２日
112. １３９ページ (3.105) 式
(a) (3.105) 式全体
s
(b) f ∈ B˙ ∞∞
,L>s
(c) ２０１１年５月１２日
113. １４０ページ (3.108) 式
(a) (3.108) 式全体
∫
(b) |⟨∂ φj (D)f, τ ⟩| ≲ ∥φj (D)f ∥∞
α
20
Rn
2(n+|α|)j dx
≃ 2|α|j ∥φj (D)f ∥∞
⟨2j x⟩(n+1)
(c) ２０１１年５月１２日，２０１３年３月１６日
114. １４０ページ (3.109) 式
(a) (3.109) 式全体
(b) |⟨∂ α φj (D)f, τ ⟩| ≲ 2|α|j ∥ φj (D)f ∥∞
(c) ２０１１年５月１２日
115. １４０ページ (3.109) 式の３行下
(a) (3.109) 式の３行下全体
(b)
−1
∑
|⟨∂ α φj (D)f, τ ⟩| ≲
j=−∞
−1
∑
2(|α|−s)j ∥f ∥B˙ s
∞∞
j=−∞
(c) ２０１１年５月１２日
116. １４０ページ (3.110) 式
(a) １４０ページ (3.110) 式全体
(b) L ≥ s − np , q ≤ 1
(c) ２０１１年５月１２日
117. (3.112) 式
(a) １４０ページ (3.112) 式全体
(b) s <
n
p
(c) ２０１１年５月１２日
118. １４０ページ下から１２行目
(a) j ≤ 0 なる自然数
(b) j ≤ 0 なる整数
(c) ２０１１年４月１１日
119. １４１ページ上から１行目
(
)
1
(a) s < n min
,1
p
n
(b) s <
p
(c) ２０１４年１２月１５日
120. １４１ページ上から５行目
(
)
1
(a) s = n min
, 1 , q ≤ 1 を仮定して構わない．
p
n
(b) s = , q ≤ 1 を仮定して構わない．
p
21
≲s,L ∥f ∥B˙ s
∞∞
(c) ２０１１年５月１２日
121. １４３ページ (3.122) 式とその２行下
(a) (ω ′ )2
(b) |ω ′ |2
(c) ２０１３年５月３１日
122. １４６ページ上から７行目
(a) 非積分関数
(b) 被積分関数
(c) ２０１４年６月１３日
123. １４９ページ命題３．３．４
(a) 【追加】
n
を満たすとする．(2) 実
min(1, p)
n
数定数 A は min(A, A + s) >
を満たすとする．
min(1, p, q)
(b) (1) 実数定数 A は min(A, A + s) >
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
124. １４９ページ (3.141) 式
(a) L = N ≫ A + 1
(b) L = [A + 1]
(c) ２０１４年１２月１１日
125. １４９ページ (3.142) 式
(a)
2(j−l)N +jn
⟨2j x⟩A
(b)
2(j−l)A+jn
⟨2j x⟩A
(c) ２０１４年１２月１１日
126. １５０ページ (3.143) 式
(a) 2(j−l)N +jn
(b) 2(j−l)A+jn
(c) ２０１４年１２月１１日
127. １５０ページ (3.145) 式
(a) 2(j−l)N +jn
(b) 2(j−l)A+jn
22
(c) ２０１４年１２月１１日
128. １５０ページ (3.146) 式
(a) 2(j−l)N +jn
(b) 2(j−l)A+jn
(c) ２０１４年１２月１１日
129. １５０ページ上から１１行目
(a) 2(j−l)N +(l−m)N +ln
(b) 2(j−l)A+(l−m)A+ln
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
130. １５０ページ下から１１行目
(a) 2(j−m)N +ln
(b) 2(j−m)A+ln
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
131. １５０ページ下から９行目
(a) 2(j−m)N +mn
(b) 2(j−m)A+mn
(c) ２０１４年１２月１１日
132. １５０ページ下から８行目
(a) 2(j−m)N +mn
(b) 2(j−m)A+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
133. １５０ページ (3.147) 式
(a) 2(j−m)N +mn
(b) 2(j−m)A+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
134. １５０ページ (3.148) 式
(a) 2(j−m)N +mn
(b) 2(j−m)A+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
135. １５１ページ (3.149) 式
(a) 2(j−m)(N η−n)+mn
23
(b) 2(j−m)(Aη−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
136. １５１ページ (3.151) 式
(a) 2(j−l)(N η−n)+jn
(b) 2(j−l)(Aη−n)+jn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
137. １５１ページ上から１３行目
(a) 2(m−l)N η
(b) 2(m−l)Aη
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
138. １５１ページ上から１４行目
(a) 2(m−j)(N η−n)+mn
(b) 2(m−j)(Aη−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
139. １５１ページ上から１５行目
(a) 2(m−j)(N η−n)+mn
(b) 2(m−j)(Aη−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
140. １５１ページ上から１６行目
(a) 2(j−m)(N η−n)+mn
(b) 2(j−m)(Aη−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
141. １５１ページ上から１８行目，２０行目
(a) 2(m−j)(N η−n)+mn
(b) 2(m−j)(Aη−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
142. １５１ページ (3.152)
(a) 2(m−l)((N +s)η−n)+mn
(b) 2(m−l)((A+s)η−n)+mn
(c) ２０１４年１２月１１日，２０１４年１２月２４日
143. １５２ページ系３．３．５（４か所）
24
(a) ∗
(b) ⋆
(c) ２０１３年５月３１日
144. １５４ページ (3.160)
(a) 0 ∈
/ supp(η)
(b) 0 ∈
/ supp(Fη)
(c) ２０１４年１２月１１日
145. １５６ページ上から１０行目
(a) sup ⟨y⟩N |∂ α [⟨y⟩−2N Fφ(y)]| ≲f 1
y∈Rn
(b) sup |∂ α [⟨y⟩−2N Fφ(y)]|
y∈Rn
(c) ２０１４年１２月１１日
146. １５６ページ上から４行目
(a) PM −1
(b) PM
(c) ２０１４年１２月１１日
147. １５７ページ定理３．３．１３の証明 p, q > 1 と仮定して示している．
148. １５７ページ下から３，６行目，１５８ページ上から１０行目
(a) 積分の式
(b) 積分変数は x ではなくて y
(c) ２０１３年５月３１日
149. １６２ページ上から１３行目
(a) 命題３．３．８のように
(b) 定理３．３．６，定理３．３．７のように
(c) ２０１３年３月１６日，２０１４年１２月２４日
150. １６４ページ上から５行目
(a) 【追加】
(b) (4.2) は左辺が Lp で収束していることを含意している．
(c) ２０１４年１２月２４日
151. １６４ページ上から６行目，１６６ページ下から９行目
(a) Lp [0, 1], Lp ([0, 1])
25
(b) Lp [0, 1)
(c) ２０１３年５月３１日
152. １６４ページ下から６行目
(a) ℓp
(b) Lp [0, 1]
(c) ２０１４年１２月２３日，２０１４年１２月２４日
153. １６４ページ練習問題４．１．１４
(a) 【追加】
(b) (3) 仮に (4.2) が有限個の例外を除いて aj = 0 となるような数列に対
して示せば，一般の ℓ2 の数列に対しても示せることを示せ．
(c) ２０１４年１２月２４日
154. １６６ページ (4.14) 式
(a)
N
∑
rj (t)φj (D)f
j=1
(b)
N
∑
rj (t)φj (D)f ∈ Lp
j=1
(c) ２０１３年１２月１８日
155. １６７ページ下から８行目
∫
(a)
fg
∫
fg
(b)
(c) ２０１４年１２月２３日
156. １６７ページ下から７行目
∫
(a)
fg
∫
(b)
fg
(c) ２０１４年１２月２３日，２０１４年１２月２４日
157. １６７ページ下から６行目
∫
∫
(a)
sup
fg ≤
fg
g∈S, ∥g∥p′ =1
26
∫
(b)
sup
g∈S, ∥g∥p′ =1
0
f g ≲p ∥f ∥Fp2
(c) ２０１４年１２月２３日，２０１４年１２月２４日
158. １６８ページ練習問題４．１．９（２か所）
(a) s > 0, 1 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞
(b) s > 0, 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞
(c) ２０１５年１月６日
159. １６９ページ練習問題４．１．１０
(a) 1 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞, s > 0
(b) 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞, s > 0
(c) ２０１５年１月６日
160. １６９ページ練習問題４．１．１０（２か所）
(a) 定理２．２．３８を用いて
(b) ヤングの不等式か定理２．２．３８を用いて
(c) ２０１５年１月６日
161. １６９ページ練習問題４．１．１０ (4.21) 式
(a) φj (D)f
(b) φk (D)f
(c) ２０１５年１月６日
162. １７１ページ上から２，６行目
(a) knr
(b) kn
(c) ２０１５年１月６日
163. １７１ページ上から１，１３，１４，１８行目
(a) 2jnr
(b) 2jn
(c) ２０１５年１月６日
164. １７３ページ上から５，７，１３，１６，１８行目
(a) 2jnr
(b) 2jn
(c) ２０１５年１月６日
27
165. １７７ページ上から８行目
(a) 立方体 Q(x)
(b) 立方体 Qj
(c) ２０１５年１月７日
166. １７７ページ (4.54) 式
(
)
∞
∑
x − c(Qj )
ψ (j) (x)
(a) ψ (j) (x) := ψ
, Ψ(x) :=
ψ (l) (x), φ(j) (x) :=
ℓ(Qj )
Ψ(x)
l=1
)
(
∞
∑
⋆ − c(Qj )
ψ (j)
(b) ψ (j) := ψ
, Ψ :=
ψ (l) , φ(j) :=
ℓ(Qj )
Ψ
l=1
(c) ２０１４年１２月２４日
167. １７９ページ上から１４行目
(a) φ(j) (x) := φ(j) (−x)
(b) φ(j) := φ(j) (−⋆)
(c) ２０１４年１２月２４日
168. １８６ページ (4.84) 式
(
)
x − c(Qj )
ψ (j)
(j)
∑
(a) ψ (x) := ψ
, φ(j) (x) :=
ℓ(Qj )
χRn \Ω + k∈N ψ (k)
(
)
⋆ − c(Qj )
ψ (j)
(j)
∑
(b) ψ := ψ
, φ(j) :=
ℓ(Qj )
χRn \Ω + k∈N ψ (k)
(c) ２０１４年１２月２４日
169. １８７ページ (4.90) 式の両辺
(a) 【追加】
(b) α, β は N0 n を動く
(c) ２０１４年１２月２４日
170. １８８ページ (4.94) 式
(a) p(j) (x) =
∑ ⟨f, e(j,k) · φ(j) ⟩
· e(j,k) (x)
(j)
I
k∈K
j
(b) p(j)
∑ ⟨f, e(j,k) · φ(j) ⟩
=
· e(j,k)
(j)
I
k∈K
j
(c) ２０１４年１２月２４日
171. １８８ページ下から７行目
28
(a) p(j) (x)
(b) p(j)
(c) ２０１４年１２月２４日
172. １８８ページ (4.95) 式
(a) 【追加】
(b) x ∈ Rn
(c) ２０１４年１２月２４日
173. １９０ページ上から４行目
(a) 100Qj
(b) 100000Qj
(c) ２０１４年９月２９日
174. １９０ページ上から１２行目
(a) Φj,t =
(b) Φj,t :=
(c) ２０１４年９月２９日
175. １９１ページ (4.109) 式
(a) M[e(j,k) · φ(j) ] ≲ ℓ(Qj )n , |⟨f, e(j,k) · φ(j) ⟩| ≲ Mf (x0 )
(b) M[e(j,k) · φ(j) ] ≲ 1, |⟨f, e(j,k) · φ(j) ⟩| ≲ ℓ(Qj )n Mf (x0 )
(c) ２０１４年９月２９日
176. １９３ページ，命題４．２．３０の証明の上から５行目
(a) (x)
(b) 【削除】
(c) ２０１４年９月２９日，２０１４年１２月２４日
177. １９３ページ (4.18) 式
1 ( ⋆ ) (j)
ℓ(Qj )n+L+1 Mf (zj )
φ
∗ b (x0 ) ≲ Mf (zj ) ≲
n
t
t
(ℓ(Qj ) + |x0 − c(Qj )|)n+L+1
ℓ(Qj )n+L+1 Mf (zj )
1 ( ⋆ ) (j)
∗ b (x0 ) ≲
(b) n φ
t
t
(ℓ(Qj ) + |x0 − c(Qj )|)n+L+1
n+L+1
λℓ(Qj )
≲
(ℓ(Qj ) + |x0 − c(Qj )|)n+L+1
(a)
(c) ２０１４年１２月２４日
178. １９５ページ上から１行目
29
(a) b(j)
(b) b
(c) ２０１４年９月２９日
179. ２０５ページ (4.167)
(a) ≲
(b) ≲p
(c) ２０１４年１２月２４日
180. ２０５ページ下から５行目
(a) 関数 Vm (x) を Vm (x) := χm+[0,1]n (x)ψ(D)f (x) と定める．
(b) 関数 Vm を Vm := χm+[0,1]n ψ(D)f と定める．
(c) ２０１４年１２月２４日
181. ２０７ページ上から３行目
(a) 定理２．２．１７の後
(b) 定理４．２．１７の前
(c) ２０１２年１０月２日，２０１３年３月１４日，２０１４年１２月２
４日
182. ２０９ページ定理４．３．３の証明
LbR → Lb
が成り立つと証明の７行目に書いていますが，これはバナッハ・アラオグ
ルーの定理により，部分列に移って初めて言えます．したがって，正の増大
列 {Rj }∞
j=1 が存在して，
LbRj → Lb , Rj → ∞
が成り立つと訂正しないといけません．これに呼応して，その３行下の式も
Lb = lim LbRj
j→∞
と訂正します．さらに，３行下の等式は b ∈ L∞ を用いています．
183. ２０９ページ下から５行目，２１７ページ定義４．３．１１の（１）、
（２）
(a) 【追加】
(b) 積分の dx が抜けている
(c) ２０１３年５月３１日
184. ２１１ページ下から４行目
30
(a) 【追加】
(b) λ > 0 に対して，
(c) ２０１３年５月３１日，２０１４年１２月２４日
185. ２１４ページ上から８行目
(a) 定数 θ
(b) 定数 θ > 0
(c) ２０１３年５月３１日
186. ２１６ページ上から１３行目
n
(a) (2π) 2
(b) (2π)− 2
n
(c) ２０１３年５月３１日
187. ２１７ページ上から９行目，上から１２行目
(a) |φj (D)f |
(b) |φj (D)f (x)|
(c) ２０１３年５月３１日
188. ２２４ページ下から５行目


∞
 1 ∫

∑
′
(a)
|2−js φj (D)f (x)|q dx
 |P | P


 1 ∫
(b)
 |P | P
j=− log2 ℓ(P )
∞
∑
′
|2−js φj (D)f (x)|q dx
j=− log2 ℓ(P )
1/q′


(c) ２０１４年１２月２４日
189. ２２５ページ (4.225) 式
(a)
∞
∑
|φj (D)aj (x)|q ≲ χ2P (x)
j=− log2 ℓ(P )
が成り立つ．
(b)
∞
∑
|φj (D)aj (x)|q ≲
j=− log2 ℓ(P )
∞
∑
M aj (x)q
j=− log2 ℓ(P )
が成り立つ．ここで，2P 上でヘルダーの不等式とフェファーマン・ス
タインのベクトル値不等式を用いて 2P 上の積分の評価が終わる．
31
(c) ２０１４年１２月２４日
190. ２２５ページ（４．２２７）（４．２２８）式
(a) 【追加】
(b) 最左辺は 1/q を取る必要がある．
(c) ２０１３年５月３１日，２０１４年１２月２４日
191. ２２７ページ７行目
ˆ⊂
(a) O
M
∪
Bˆj ⊂
j=1
ˆ⊂
(b) O
N
∪
m
∪
ˆj
3B
j=1
Bˆj ⊂
j=1
M
∪
3Bˆι(j)
j=1
(c) ２０１４年１２月２３日
192. ２２７ページ８，９行目
(a) Bj
(b) Bι(j)
(c) ２０１４年１２月２３日
193. ２２７ページ９行目
(a) 最初の ≤
(b) =
(c) ２０１１年４月１１日
194. ２３９ページ一番最初の式
(a) 3Q0m
(b) 3Qνm
(c) ２０１３年１２月１８日
195. ２４１ページ補題５．１．５
n
(a) κ >
min(1, p, q)
(b) κ > n
(c) ２０１３年５月３１日，２０１３年１２月１８日
196. ２４２ページ上から３行目
(a) ≤
(b) =
32
(c) ２０１４年１２月２４日
(5.19) で κ > n を用いています．
197. ２４６ページ上から３行目
(a) λjm = 0 のとき
(b) λjm ̸= 0 のとき
(c) ２０１２年１ 1 月０４日
198. ２５５ページ上から２行目，６行目，２５６ページ上から７行目
∑
(a)
ν∈N0
∑∞
(b)
ν=1
(c) ２０１３年５月３１日
199. ２５５ページ補題５．１．２４の証明
(a) (5.61) によって，
(b) 幾何学的考察によって，
(c) ２０１２年１月１３日
200. ２５７ページ上から１行目
(a) L∞ -の位相で
(b) L∞ -の弱 ∗ 位相で無条件収束の意味で，つまり，和の取り方によらず
に収束しているという意味で，
(c) ２０１４年１０月２９日，２０１４年１２月２４日
201. ２５７ページ (5.67) 式の２行上
(a) = c
(b) =
(c) ２０１４年１０月２９日
202. ２５７ページ (5.67) 式の下の不等式と (5.68) 式
(a) 係数ノルムを取っていますが、添え字の ρ は必要ないです。
(b) ２０１３年８月１３日
203. ２５７ページ (5.67) 式の下の文章
(a) 「補題 5.1.24 の定数 a > 1 を使うと」は「補題 5.1.24 を使うと」に
訂正
(b) ２０１２年１月１３日
「補題 5.1.24 の定数 a > 1 を使うと」とありますが、その補題には定数 a は
ありません．
33
204. ２５７ページ上から９行目
(a) 【追加】
(b) N ≫ 1 として，
(c) ２０１４年１２月２４日
205. ２５７ページ (5.67) 式
(a) η0 :=
(b) 0 < η < η0 :=
(c) ２０１４年１２月２４日
206. ２５７ページ (5.68) 式とその３行上
(a) ∥λβ ∥apq ,ρ
(b) ∥λβ ∥apq
(c) ２０１４年１２月２４日
207. ２５７ページ (5.68) 式
(a) (a − N )
(
)
n
(b)
−N
η
(c) ２０１４年１２月２４日
208. ２５７ページ下から６行目
(a) となり，
(b) より，
(c) ２０１４年１２月２４日
209. ２５７ページ下から６行目
(a) |Λνm | ≲ 2ν (s− p ) inf M (
n
y∈Qνm
(b)
η0
2
) [φ (D)f ](y)
ν
i. ν = 0 のときは，
|Λ0m | ≲ inf M (
y∈Q0m
η0
2
) [τ (D)f ](y)
と読み替えます．
ii. ν ≥ 1 のときは，y ∈ Qνm を任意にとって，定理２．２．２４を
(m)
η0
1
φ
(D)f
≲ M ( 2 ) [φν (D)f ](y)
ν
2ν
(1 + 2ν |y − 2−ν m|)2n/η0
34
と変形して使うことで，
|Λνm | = 2(s− p )ν φν (D)f
n
(m)
2ν
= (1 + 2ν |y − 2−ν m|)2n/η0 2(s− p )ν
(m)
1
φ
(D)f
×
ν
2ν
(1 + 2ν |y − 2−ν m|)2n/η0
n
≤ (1 + n)2n/η0 2(s− p )ν
(m)
1
φ
(D)f
×
ν
2ν
(1 + 2ν |y − 2−ν m|)2n/η0
η
n
0
≲ 2(s− p )ν M ( 2 ) [φ (D)f ](y)
n
ν
が得られます．y に関して下限をとれば，
|Λνm | ≲ 2ν (s− p ) inf M (
n
y∈Qνm
η0
2
) [φ (D)f ](y)
ν
となります．
iii. ν = 0 の時も類似の不等式を得ることができます．
(c) ２０１２年２月８日
210. ２５９ページ定理５．１．２９
(a) −∞ < s0 < s < s1 < ∞.
(b) −∞ < s1 < s < s0 < ∞.
(c) ２０１２年２月２５日
211. ２６３ページ練習問題５．１．４０
(a) f ∈ S に対して，
(b) f ∈ S0 に対して，
(c) ２０１２年２月２５日
212. ２７２ページ (a) (5.104), (5.107)
(b) 【削除】
(c) ２０１３年１２月１８日
213. ２７３ページ上から８行目
(a) GF (z) = eK(z−θ) F (z)
(b) GF (z) = eδz
2
−δθ 2 +K(z−θ)
F (z)
(c) ２０１４年１２月２４日
35
214. ２７３ページ上から１３行目
(a) = inf F
(b) ≤ eδ inf F
(c) ２０１４年１２月２４日
215. ２７３ページ (5.111), (5.112) 式は不要です．２０１３年１２月１８日
216. ２７４ページ８行目
(a) M1 θ
(b) M1 θ inf F
(c) ２０１１年４月１１日
217. ２７７ページ (a) 2−νs
(b) 2νs
(c) ２０１１年４月１１日
s
のアトム分解
【補足説明】f ∈ Fpq
f=
∑ ∑
λ∗νm a∗νm
ν∈N0 m∈Zn
において，λ∗ = {λ∗νm }ν∈N0 と書くことにすれば，
α ∗
−ν(s−n/p)+|α|ν
s , ∥∂ a
∥λ∗ ∥fpq ≲ ∥f ∥Fpq
νm ∥∞ ≤ 2
を満たしていることになる．
aνm = 2ν(s−n/p) a∗νm ,
とおくと，
f=
λνm = 2−ν(s−n/p) λ∗νm
∑ ∑
λνm aνm
ν∈N0 m∈Zn
となる．さらに，
{
∥λ∗ ∥fpq =
∑
}∞
2νn/p λ∗νm χQνm
m∈Z
{
=
∑
}∞
ν=0 Lp (ℓq )
2νs λνm χQνm
m∈Z
ν=0 Lp (ℓq )
となるので，問題の箇所にあるマイナスは不要である．
218. ２７７ページ下から６行目
36
(a) z ∈ C の 1 次関数 ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 を関係式，
ρ1 (l) = s
q
p
q
p
q
− sl , ρ2 (l) =
− , ρ3 (l) = 1 − , ρ4 (l) = , l = 0, 1
ql
pl
ql
pl
ql
で定める．
(b) z ∈ C の 1 次関数 ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 を一意的に関係式
ρ1 (l) = s
q
p
q
p
q
− sl , ρ2 (l) =
− , ρ3 (l) = 1 − , ρ4 (l) = , l = 0, 1
ql
pl
ql
pl
ql
で定めるという意味です．
(c) ２０１１年４月１１日
219. ２７７ページ (5.126) 式の直後
(a) Λν (x)
(b) Λν
(c) ２０１３年１２月１８日
220. ２７８ページ下から１３行目
(a) l = 0, 1 に対して F (l + i t) ∈ Fpsllql で，
∥F (l + it)∥Fpslq ≲ ∥f ∥[Fps0q
0 0
l l
s
,Fp11q1 ]θ
が成り立つ．
(b) l = 0, 1 に対して F (l + i t) ∈ Fpsllql で，
s
∥F (l + it)∥Fpslq ≲ ∥f ∥Fpq
l l
が成り立つ．
(c) ２０１１年４月１１日，２０１４年１２月２４日
221. ２７９ページ下から８行目
(a) φ(x) = ψ(x) − ψ(2x)
(b) φ(ξ) = ψ(ξ) − ψ(2ξ)
(c) ２０１１年５月５日
222. ２８３ページ上から４行目の式の
(a) ∥ψ(D)g∥p0 + ∥2js φj (D)g∥Lp0 (ℓq )
(b) ∥ψ(D)g∥p2 + ∥2js φj (D)g∥Lp2 (ℓq ) .
(c) ２０１２年２月２５日
223. ２９４ページ下から４行目
37
(a) i ∈ I
(b) i = 1, 2, · · · , I.
(c) ２０１２年２月２５日
224. ２９４ページ ψ で移した先の係数とクォークの定義式
(a)
λβ,i
ν,m
¯
{ β
λν,θν (m)
¯
:=
{
(βqu)iν,m
¯ :=
(b)
:=
{
(βqu)iν,m
¯ :=
そのほか
0
(βqu)ν,θiν (m)
¯ ◦ψ
0
{
λβ,i
ν,m
¯
m
¯ ∈ Miν のとき
i
m
¯ ∈ Miν のとき
そのほか.
λβν,θν (m)
¯
m
¯ ∈ ινi (Miν ) のとき
0
そのほか
i
(βqu)ν,θiν (m)
¯ ◦ψ
0
m
¯ ∈ ινi (Miν ) のとき
そのほか.
(c) ２０１２年２月２５日
225. ２９４ページ下から１０行目
(a) I ≲ ∥ψ∥B1 (Rn ) + ∥ψ −1 ∥B1 (Rn )
(b) I ≲ψ,ψ−1 1 の間違えです．右辺の具体的な式を削除してください．
(c) ２０１２年１０月２９日，２０１４年１２月２４日
226. ２９７ページ上から１２行目
′
(a) λβ =
′
(b) λβ :=
(c) ２０１４年１２月２４日
227. ２９７ページ (5.159) のすぐ下の定義式
(a) vj
:=
∑
∑
∑
ν∈N0 m′ ∈Zn−1
β ′ ∈Nn−1
0
(b) vj :=
∑
∑
′
λβνm′
∆L [((β ′ , 2L + j)qu)ν(m′ ,0) ]
(2L + j)!2ν(2L+j)
∑
ν∈N0 m′ ∈Zn−1
β ′ ∈Nn−1
0
′
λβνm′
((β ′ , 2L + j)qu)ν(m′ ,0)
(2L + j)!2ν(2L+j)
(c) ２０１２年２月２５日
228. ２９８ページ (5.162) 式の下の 3 行にわたる式の真ん中の式
38
(a)
(b)
δjl
(2L + j)!
δjl
(2L + j)!
∑
∑
∑
′
′
j
λβνm′ TrRn−1 ∂x2L+j
(x2L
n (β qu)νm′ )
n
ν∈N0 m′ ∈Zn−1
β∈Nn−1
0
∑
∑
∑
′
λβνm′ TrRn ∂x2L+l
(x2L+j
(β ′ qu)νm′ )
n
n
ν∈N0 m′ ∈Zn−1
β∈Nn−1
0
(c) ２０１２年２月２５日
229. ２９９ページ下から７行目
(a) κ(2ν2 x − m)
(b) κ(2ν2 ⋆ −m)
(c) ２０１３年１２月１８日
230. ３０３ページ (5.174)
∑
(a) Rm0 (x) =
ρ(x − 10am − am0 )
m∈Zn
∑
(b) Rm0 :=
ρ(⋆ − 10am − am0 )
m∈Zn
(c) ２０１４年１２月２４日
231. ３１５ページ (6.16) 式
(a) δ0l
(b) 1
(c) ２０１４年１１月１７日
232. ３１６ページ上から３行目
(a) M ≫ (n + 1)N
(b) 【削除】
(c) ２０１４年１１月１７日
233. ３１６ページ (6.19)–(6.21) (a) (βqu)∗νm
(b) ((βqu)νm )∗
(c) ２０１２年１１月２１日
234. ３１８ページ (6.23), (6.27) とページ最後の式
(a) lim TrRn+ ExtN [f (⋆′ , ⋆n + ϵ)|Rn+ ]
ϵ↓0
(b) lim TrRn ExtN [f (⋆′ , ⋆n + ϵ)|Rn+ ]
ϵ↓0
(c) ２０１２年２月２５日
39
235. ３１８ページ (6.24) の一行下
(
)
(a) δ が s − (n − 1) 1q − 1
よりわずかに小さい
+
(b) δ > 0
(c) ２０１２年１１月２１日
236. ３１８ページ下から３行目
(a) f (⋆′ , ⋆n + ϵ) = ExtN f (⋆′ , ⋆n + ϵ)
(b) f (⋆′ , ⋆n + ϵ) = ExtN [f (⋆′ , ⋆n + ϵ)|Rn+ ]
(c) ２０１２年２月２５日
237. ３８９ページ (a) Ta f
(b) Ta f (x)
(c) ２０１３年１２月１８日
238. ３９７ページ参考文献 002 の二番目の著者
(a) L. Jorgen
(b) J. L¨ofstr¨
om
(c) ２０１２年１１月２６日
239. ３９７ページ参考文献 006 の一番目の著者
(a) D. Edmund
(b) D. E. Edmunds
(c) ２０１３年３月１４日
240. 文献７５番の著者は正しくは B. X. Wang and C. Huang です．２０１４年
１２月２４日
241. 文献０９０番の正しいタイトルは Characterization of the Besov-Lipschitz
and Triebel-Lizorkin spaces. The case q < 1 です．
242. 文献０９９番は１０３番と同一でした．２０１４年８月２日
243. 文献１４６番の発表雑誌は Journal d’Analyse Math´ematique です．
244. 文献１５２番のタイトルは Some observations of Besov and Lizorkin-Triebel
spaces ではなく Some observations on Besov and Lizorkin-Triebel spaces
です．２０１４年１０月１４日
245. 文献２２７番の Pseudo-diﬀerential は Pseudodiﬀerential の間違えでした．
２０１４年１０月１４日
246. 文献２３１番は２２９番と同一でした．２０１４年５月２７日
40

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