第８章 8.1 ウィグナ－・エッカルト定理（その２） ウィグナ－の 6-j 記号と 9-j 記号 ウィグナ－・エッカルト定理（本解説では簡単のために、W-E 定理と記載してい る。）を更に利用するためには、ウィ－グナ－の 6-j 記号と 9-j 記号を用いること が必要になる。これらの記号はかなり複雑なので、それらの説明を完全な証明付き で行うとすれば、大量の紙面を必要とする。そのような複雑な説明を記載すると、 本解説の目的が見失われて迷路に入ってしまう恐れがある。従って、本節では 6-j 記号と 9-j 記号の定義と、それらの公式を簡単に紹介するに留めたい。完全な証明 を求める読者は、自ら学習することを薦める。（例えば、本[4]を勉強して下さ い。） ウィグナ－の 6-j 記号は次式の左辺のように記載され、右辺のように定義される。 （本[4]の p.145） J1 J2 J 12 J3 J J 23 ( 1) J 1 J 2 J 3 J [(2 J 12 1)(2 J 23 1)]1 / 2 J 1 M 1 , J 23 M M 1 JM J 2 M 12 J 1 M 1 , J 2 M 12 M 1 J 12 M 12 M 1, M 12 M 1 , J 3 M 3 J 23 M M 1 J 12 M 12 , J 3 M M 12 JM (8.1.1) ここで、 M ( M 1 M2 M 3 ) は一定の値である。なお、本解説では二重の添字は読 み難いので、 ( M 1 M 1) のように記載している。6-j 記号は 3-j 記号を用いて次の ように表すことができる。（本[4]の p.146） J1 J2 J3 J4 J5 J6 all M J6 J4 J3 M4 M3 J2 M2 ( 1) S M6 J1 J3 J2 M1 M2 J4 J5 M4 J5 J1 M3 M1 J6 M5 M6 6 M5 , S (J n Mn) (8.1.2) n 1 次に、6-j 記号の有用な公式を証明なしで紹介しよう。「習うより馴れろ。」の 言葉の通り、これらの公式を使っていると、6-j 記号に馴染が出てくると思う。 （１）３つの角運動量の間に成立する以下の条件を三角条件と呼び、 ( J 1 J 2 J 3 ) と記 載する。（本[4]の p.146） ( J1 J 2 J 3 ) ( J1 J2 J2 J3 J3 J1 J1 J2 J 2 ， J1 J3 J2 J1 J3 ) J3 ， (8.1.3) 6-j 記号がゼロにならないためには、以下の三角条件が同時に成立する必要がある。 ( J 1 J 2 J 3 ) ， ( J 1 J 5 J 6 ) ， ( J 4 J 2 J 6 ) ，及び ( J 4 J 5 J 3 ) 視覚的には、以下のように表現される。 ， ， ，及び 1 （２）6-j 記号は列の交換や、上下の行における２ケの要素の交換で不変である。 （本[4]の p.146） J1 J2 J3 J2 J1 J3 J1 J5 J6 J4 J5 J6 J5 J4 J6 J4 J2 J3 , etc. (8.1.4) （３）規格直交条件（本[4]の p.146、本[6]の p.291） (2 J 3 1)(2 J 6 1) J3 (2 J 3 1)(2 J 6 1) J6 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J4 J5 J6' J1 J2 J3 J1 J2 J3 ' J4 J5 J6 J4 J5 J6 (J 6 , J 6 ') (8.1.5a) (J 3 , J 3 ') (8.1.5b) （４）6-j 記号の１ケの要素がゼロの場合は以下のように簡略化される。 （本[4]の p.148） J1 J2 J4 J5 0 J6 ( 1) J 1 J 4 J 6 (J1 , J 2 ) (J 4 , J 5 ) [(2 J 1 1)(2 J 4 1)]1 / 2 (8.1.6) （５）6-j 記号の１ケの要素が１の場合は以下のような関係が成立する。 （本[4]の p.169） J1 J2 J3 1 J3 J2 ( 1) J 1 J2 J3 2[ J 1 ( J 1 1) J 2 ( J 2 1) J 3 ( J 3 1)] (8.1.7) [2 J 2 (2 J 2 1)(2 J 2 2)2 J 3 (2 J 3 1)(2 J 3 2)]1 / 2 (8.1.7) 式において(8.1.4)式を用いると、次式が得られる。（赤字を修正した。） J1 J1 J2 J2 ( 1) J 1 1 J J2 J 1 J J1 J1 J2 J2 J 1 J2 J1 J1 J2 2[ J ( J 1) J 1 ( J 1 1) J 2 ( J 2 1)] [2 J 1 (2 J 1 1)(2 J 1 2)2 J 2 (2 J 2 1)(2 J 2 2)]1 / 2 (8.1.8) その他に、簡単な 6-j 記号の値は、本[4]の p.169-171 に記載されている。 ウィグナ－の 9-j 記号は次式の左辺のように記載され、右辺のように定義され る。（本[6]の p.334） J1 J2 J 12 J3 J 13 J4 J 24 J 34 J [(2 J 12 1)(2 J 13 1 1)(2 J 24 1)(2 J 34 1)]1 / 2 J 1 M 1 , J 2 M 2 J 12 M 12 J 3 M 3 , J 4 M 4 J 34 M 34 J 12 M 12 , J 34 M 34 JM all M i all M ik J 1 M 1 , J 3 M 3 J 13 M 13 J 2 M 2 , J 4 M 4 J 24 M 24 J 13 M 13 , J 24 M 24 JM (8.1.9) 9-j 記号は 3-j 記号を用いて次のように表される。（本[4]の p.150） J1 J2 J3 J4 J7 J5 J8 J6 J9 all M J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 2 J1 J4 J7 J2 J5 J8 J3 J6 J9 M1 M4 M7 M2 M5 M8 M3 M6 M9 (8.1.10) 9-j 記号は 6-j 記号を用いて次のように表される。（本[4]の p.150） J1 J2 J3 J4 J7 J5 J8 J6 J9 ( 1) 2 J (2 J 1) J J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J6 J9 J J2 J J8 J J1 J4 (8.1.11) 次に、9-j 記号の有用な公式を証明なしで紹介しよう。 （１）9-j 記号がゼロにならないためには、以下の三角条件が同時に成立する必要 がある。（本[6]の p.335(b)） ( J 1 J 2 J 3 ) ， ( J 4 J 5 J 6 ) ， ( J 7 J 8 J 9 ) ， ( J 1 J 4 J 7 ) ， ( J 2 J 5 J 8 ) ，及び ( J 3 J 6 J 7 ) （２）9-j 記号の行や列の交換に関しては、以下のような関係が成立する。 （本[6]の p.342） J1 J2 J3 J2 J1 J3 J4 J7 J5 J8 J6 J9 J5 J8 J4 J7 J 6 , etc. J9 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J4 J7 J5 J8 J6 J9 J1 J7 J2 J8 J 3 , etc. J9 ここで、偶数回の交換に対しては (8.1.12a) (8.1.12b) 1 である。 奇数回の交換に対しては ( 1) S , S 9 Ji (8.1.13) i 1 （３）9-j 記号の行と列を交換しても不変である。（本[6]の p.342） J1 J2 J3 J1 J4 J7 J4 J7 J5 J8 J6 J9 J2 J3 J5 J6 J8 J9 (8.1.14) （４）9-j 記号の要素が０の場合は、以下のような関係が成立する。 （本[4]の p.150、及び本[6]の p.357-8） J1 J2 J3 J4 J7 J5 J8 J6 0 J1 ( 1) J 2 J 3 J 4 J 7 1/ 2 J5 [(2 J 3 1)(2 J 7 1)] 3 J2 J3 J4 J7 ( J 3 , J 6 ) ( J 7 , J 8 ) (8.1.15) J1 J2 J3 J4 J7 0 J8 J6 0 J1 J2 J3 J4 0 J5 0 J6 0 0 J2 J3 J4 J7 0 J8 J6 0 ( 1) J 1 J 2 J 3 (J 4 , J 6 ) (J 2 , J8 ) (J 7 , J8 ) (2 J 2 1)(2 J 3 1) (8.1.16) ( J1 , J 4 ) ( J 2 , J 5 ) ( J 3 , J 6 ) [(2 J 1 1)(2 J 2 1)(2 J 3 1)]1 / 2 (8.1.17) ( 1) 2 J 2 (J 2 , J 3 ) (J 2 , J 4 ) (J 2 , J 6 ) (J 2 , J 7 ) (J 2 , J 8 ) (2 J 2 1) 2 (8.1.18) 9-j 記号の要素が１の場合は、本[6]の p.358 に色々な公式が記載されている。 8.2 既約テンソルの積 (3.3.12)式により、２ケの角運動量の和に対する固有関数をクレプシュ・ゴルダ ン係数を用いて、次式のように定義した。 JM J 1 M 1 , J 2 M 2 JM J 1 M 1 , J 2 M 2 (3.3.12)=(8.2.1) M 1, M 2 上式において、 JM として球関数（ YJM ）を用いることができる。演算子としても YJM を用いることもできる。従って、k-階の既約テンソル T (k , q ) は T (k , q) k1q1 , k 2 q 2 kq T (k1 , q1 )T (k 2 , q 2 ), (q q1 q2 ) (8.2.2) q1 のように、記載することができる。 問題 8.2.1 (8.2.2)式のように定義された T (k , q ) が k-階の既約テンソルであるこ とを証明せよ。 積 T (k1 , q1 )T (k 2 , q 2 ) から(8.2.2)式により作られた k-階の既約テンソル T (k , q ) を、 以下のように表記する． T (k , q) [T ( k 1) T ( k 2 ) ](qk ) , k k1 k 2 , k1 k 2 1, , k1 k2 (8.2.3) (8.2.3)式において k1 例題 8.2.1 [ A (1) B (1) ](qk ) k2 1 の時には、次式が成立する。 1m,1q m kq A(1, m) B (1, q m) (8.2.4) m (8.2.4)式おいて k 例題 8.2.2 [ A (1) B (1) ](00) 0 の場合には、次式が成立する。 1m,1 m 0,0 A(1, m) B(1, m) m 1 3 1/ 2 1 3 A(1,1) B(1, 1) 1 3 [ 1 2 ( Ax iAy ) 1 2 1/ 2 ( Bx A(1,0) B (1,0) iB y ) Az B z 4 1 3 1/ 2 A(1, 1) B(1,1) 1 2 ( Ax iAy ) 1 2 (Bx iB y )] 1 3 例題 8.2.3 [ A (1) [ Ax B x Ay B y 1 Az B z ] 3 (8.2.4)式おいて k B (1) ](01) A B (8.2.5) 1 の場合には、次式が成立する。 i 1m,1 m 1,0 A(1, m) B(1, m) 2 m [ A (1) B (1) ](11) [ Ax B y Ay B x ] (8.2.6a) 1m,1 1 m 1, 1 A(1, m) B(1, 1 m) m 1 [( Az B x 2 例題 8.2.4 [ A (1) Ax B z ) i ( Az B y (8.2.4)式おいて k B (1) ](02) Ay B z )] (8.2.6b) 2 の場合には、次式が成立する。 1 1m,1 m 2,0 A(1, m) B(1, m) 6 m [ A (1) B (1) ]( 21) [3 Az B z A B] (8.2.7a) 1m,1 1 m 2, 1 A(1, m) B(1, 1 m) m 1 [( Az B x 2 [ A (1) Ax B z ) i ( Az B y B (1) ]( 22) Ay B z )] (8.2.7b) 1m,1 2 m 2, 2 A(1, m) B(1, 2 m) m 1 [( Ax B x 2 Ay B y ) i ( Az B y Ay B z )] (8.2.7c) (8.2.7a-c)式の結果は、(6.3.14)式の結果と一致している。 次に，積 T (k , q )T (k ' , q ' ) から(8.2.2)式により T (0,0) を作ると T (0,0) [T ( k ) T ( k ') ](00) kq, k ' q ' 00 T (k , q )T (k ' , q ' ) (8.2.8) q となる。ここで、(3.5.11c))式より次式が得られる。 ( 1) k q (2k ' 1) kq, k ' q' 00 1/ 2 kq,00 k ' q' (8.2.9) 上式の右辺において、状態 kq と状態 00 の積からは、状態 kq しか生じないので、 kq,00 k ' q' ( k , k ' ) ( q, q ' ) (8.2.10) となる。従って、次式が得られる。 [T ( k ) ( 1) k q (2k 1) T ( k ) ](00) 1/ 2 T (k , q )T (k , q ) (8.2.11) q 一般的な内積は、以下のように定義されている。 ( 1) q A(k , q ) B(k , q ) Ak Bk ( 1) k (2k 1)1 / 2 [ A ( k ) B ( k ) ](00) (8.2.12) q 例題 8.2.5 k=1 の場合を(8.2.12)式に適用すると、通常の３次元ベクトルの内積が 得られる。 ( 1) q A(1, q ) B(1, q ) A B A(1,1) B(1, 1) q 5 A(1,0) B(1,0) A(1, 1) B(1,1) 8.3 ( Ax iAy )( B x Ax B x Ay B y iB y ) / 2 Az B z ( Ax iAy )( B x iB y ) / 2 Az B z (8.2.13) 既約テンソルの積に対するウィグナ－・エッカルト定理 異なる空間（1 と 2）に作用する演算子 A(k1 , q1 ) と B(k 2 , q2 ) は互いに交換可能であ る。(8.2.2)式を用いて、 A(k1 , q1 ) と B(k 2 , q2 ) の積から既約テンソル T (k , q ) を作る。 T (k , q) k1 q1 , k 2 q 2 kq A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ), (q q1 q2 ) (8.3.1) q1, q 2 (3.7.2)式を用いて、 k1q1 , k 2 q2 kq を 3-j 記号で書き直すと、次式が得られる。 ( 1) k 1 T (k , q) k2 q (2k 1)1 / 2 q1, q 2 k1 k2 q1 q2 k q A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ) (8.3.2) (8.3.2)式に対する、一般的な行列要素を求める手法を以下で説明しよう。 (8.3.2)式の左辺の行列要素をＬと書くと、W-E 定理により次式が得られる。 L J 1 J 2 JM T (k , q) ' J 1 ' J 2 ' J ' M ' ( 1) J J M k J' q M' M J1 J 2 J T (k ) ' J1 ' J 2 ' J ' (8.3.3) (8.3.2)式の右辺の行列要素をＲと書くと、Ｒは機械的に次式のようになる。 R ( 1) k 1 k2 q (2k 1)1 / 2 q1, q 2 k1 k2 q1 q2 k q J 1 J 2 JM A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ) ' J 1 ' J 2 ' J ' M ' (8.3.4)式中の (8.3.4) J 1 J 2 JM A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ) ' J 1 ' J 2 ' J ' M ' を求めるために、次の準備 を行う。 先ず、 (3.7.2)式より次式が得られる。 J1 ' J 2 ' J ' M ' J1 ' M 1 ' , J 2 ' M 2 ' J ' M J1 ' M 1 ' J1 ' M 1 ' M 1', M 2 ' ( 1) J 1' J 2' M (2 J ' 1)1 / 2 M 1', M 2 ' J1 ' J2' J' J1 ' M 1 ' J1 ' M 1 ' M1' M 2 ' M (8.3.5) なおこれから当分の間、簡単のためにαとα’は書かないこととする。同様にして、 J 1 J 2 JM J 1 M 1 J 2 M 2 J 1 M 1 , J 2 M 2 JM M 1, M 2 ( 1) J 1 M 1, M 2 J2 M (2 J 1) J1 J2 M1 M2 J M J1M 1 J 2 M 2 なので、 J 1 J 2 JM A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ) J 1 ' J 2 ' J ' M ' は次式のようになる。 J 1 J 2 JM A(k1 , q1 ) B(k 2 , q 2 ) J 1 ' J 2 ' J ' M ' 6 (8.3.6) ( 1) J 1 J2 M (2 J 1) M 1, M 2 ( 1) J 1' J 2' M J1 J2 M1 M2 M 1', M 2 ' J2 M ( 1) J 1' J 2' M ' ここで、 ( " ) " J2"M 2" J2' M J1 J2 J M1 M2 (2 J 1) " J1" M 1" J1 ' J' M1' M 2 ' ( ") M 1, M 2 M 1', M 2 ' " J1" M 1" J1M 1 J 2 M 2 M J1 ' (2 J ' 1)1 / 2 ( 1) J 1 J A(k1 , q1 ) B(k 2 , q2 ) J1 ' M 1 ' J1 ' M 1 ' M J 1 M 1 J 2 M 2 A(k1 , q1 ) " J 2 " M 2 " B(k 2 , q 2 ) J 1 ' M 1 ' J 2 ' M 2 ' J2' J' M1' M 2 ' M' (2 J ' 1) (8.3.7) " , J1" , J 2 " , M 1" , M 2 " である。 (8.3.7)式を(8.3.4)式に代入し、異なる空間（1 と 2）に作用する演算子 A(k1 , q1 ) 、 B(k 2 , q2 ) 、及びそれらの固有関数は互いに交換可能であることを用いると、 ( 1) k1 R k 2 q J 1 J 2 M J 1' J 2 ' M ' [(2k 1)(2 J 1)(2 J ' 1)]1 / 2 ( ") M 1, M 2 M 1', M 2 ' q1, q 2 k1 k2 q1 q2 J1 k J2 q M1 J1 ' J M2 J' M1' M 2 ' M' M J 1 M 1 A(k1 , q1 ) " J 1 ' M 1 ' J2' " J 2 M 2 B(k 2 , q 2 ) ' J 2 ' M 2 ' (8.3.8) となる。次に、(8.3.8)式の右辺の最後の２項に対して、(8.3.3)式と同様に W-E 定 理を用いると、次式が得られる。 ( 1) k 1 R k 2 q J 1 J 2 M J 1' J 2 ' M ' [(2k 1)(2 J 1)(2 J ' 1)]1 / 2 " M 1M 2 M 1 'M 2 ' q1q 2 k1 k2 q1 q2 J1 k J2 q M1 J 1 A ( k 1) M2 " J 1 ' ( 1) J 1 " J 2 B (k 2) J1 ' J ' J 2 ' ( 1) J 2 J' M1' M 2 ' M' M M1 J1 M1 M2 J2' k1 J1 ' q1 M1' J2 M2 k2 J2' q2 M2' (8.3.9) 最後に、 (8.3.2)式の両辺に次のような項を掛けて和を取る。左辺Ｌからは次 式が得られる。 (L)( 1) J J M M M ,M ' q ( 1) J M ,M ' q M J M k J' q M' k J' q M' J1 J 2 J T (k ) 7 ' J 1 ' J 2 ' J ' ( 1) J M J M k J' q M' (2k 1) 1 J1 J 2 J T (k ) J1 J 2 J T (k ) ' J1 ' J 2 ' J ' ' J1 ' J 2 ' J ' (8.3.10) q ここで、上式の第２項から第３項への移行は、(3.7.5a)式の直交条件を用いた。 同様にして、右辺Ｒからは次式が得られる。 (R )( 1) J M J k J' q M' M M ,M ' q ( 1) k1 k 2 q J J 1' J 2 ' M ' M 1 M 2 [(2k 1)(2 J 1)(2 J ' 1)]1 / 2 " M 1, M 2 M 1', M 2 ' q1, q 2M , M ' q J1 J2 M1 M2 J1 M1 J1 ' J M k1 J1 ' q1 M1' J 1 A ( k 1) " J1 ' J2' k1 J' M1' M 2 ' M ' q1 J2 M2 k2 J2' q2 M2' " J 2 B (k ) 1/ 2 [(2 J 1)(2 J ' 1)(2k 1)] k2 k q2 J q k J' q M' M 'J2' J1 J1 ' k1 J2 J J 2 ' k2 J' k J 1 A ( k 1) " J1 ' " J 2 B ( k 2) 'J2' " (8.3.11) ここで、(8.1.10)式で定義される 9-j 記号を用いた。 問題 8.3.1 (8.3.11)式が成立することを証明せよ。（この問題は重要なので、必 ず自分で解くか、解答を読んで下さい。問題の解答は、第０章に掲載しました。） 最終的に，(8.3.10)式と (8.3.11)式より、既約テンソルの積に対する W-E 定理に おける２重線の行列要素は以下のようになる。 J1 J 2 J T (k ) ' J1 ' J 2 ' J ' 1/ 2 [(2 J 1)(2 J ' 1)(2k 1)] J1 J1 ' k1 J2 J J 2 ' k2 J' k J 1 A ( k 1) " J1 ' " J 2 B ( k 2) 'J2' " (8.3.12) (8.3.12)式が既約テンソルの積に対する W-E 定理の基本的な公式である。 次に、(8.3.12)式の公式の特別な場合を考えてみよう。 例題 8.3.1 k=0 の場合には、9-j 記号は(8.1.15)示すように 6-j 記号に還元される。 従って、(8.3.12)式の 9-j 記号は次式のようになる。 J1 J1 ' k1 J2 J J 2 ' k2 J' 0 J 1 J 1 ' k1 ( 1) J 1' k1 J 2 J 1/ 2 J2' J2 J [(2k1 1)(2 J 1)] 8 (k1 , k 2 ) ( J , J ' ) (8.3.13) (8.1.4)式より、6-j 記号は上下の行における２ケの要素の交換で不変である。また 新たに k1 k 2 k と書き換えると、(8.2.13)は次式のようになる。 J1 J1 ' k1 J2 J J 2 ' k2 J' 0 J1 J 2 J ( 1) J 1' k1 J 2 J [(2k 1)(2 J 1)]1 / 2 J 2 ' J 1 ' k ( k1 , k 2 ) ( J , J ' ) (8.3.14) 従って，この場合は既約テンソルの積に対するに W-E 定理おける２重線の行列要素 は以下のようになる． J 1 J 2 J T (0) ( 1) ' J1 ' J 2 ' J ' 2J 1 2k 1 k J 2 J J 1' Bk ](00) J 1 J 2 J [ Ak 1/ 2 J1 J2 J J 2 ' J1 ' k ' J1 ' J 2 ' J ' J 1 A( k ) " J1 ' " J 2 B (k ) 'J2' " (8.3.15) 例題 8.3.2 (8.2.12)式で定義された内積に対しては，以下のようになる。 J1 J 2 J A k B k ( 1) J 2 J J 1' ( 1) k (2k 1)1 / 2 ' J1 ' J 2 ' J ' J1 J2 J J 2 ' J1 ' k (2 J 1)1 / 2 J 1 J 2 J [ Ak J1 A(k ) Bk ](00) " J 2 B (k ) " J1 ' ' J1 ' J 2 ' J ' 'J2' (8.3.16) " (8.3.3)式と同様に、内積に対する行列要素は次のようになる。 J 1 J 2 JM A k B k ' J1 ' J 2 ' J ' M ' ( J , J ' ) ( M , M ' )( 1) J M J M 0 J 0 M J1 J 2 J A k B k ' J1 ' J 2 ' J ' (8.3.17) ここで、上式の 3-j 記号は次の値をもつ。 J M 問題 8.3.2 0 J 0 M ( 1) J M (2 J 1) 1/ 2 (8.3.18) (8.3.18)式を証明せよ。 (8.3.16) 式と(8.3.18)式を用いると、(8.3.17)式は次のようになる。 J 1 J 2 JM A k B k ' J1 ' J 2 ' J ' M ' ( J , J ' ) ( M , M ' )( 1) J ( J , J ' ) ( M , M ' )( 1) J 2 M ( 1) J M (2 J 1)1 / 2 J J 1' J1 J1 J 2 J A k B k J2 J J 2 ' J1 ' k J1 A(k ) ' J1 ' J 2 ' J ' " J1 ' " J 2 B (k ) 'J2' " (8.3.19) 例題 8.3.3 T (k , q ) が１のみの関数であるときには、 T (k , q ) は A(k1 , q1 ) のように振 舞う。従って、(8.3.12)式においては B (0,0) 1 を用いるので、 k 2 0 ， k k1 ， J 2 J 2 ' となる。この場合は、(8.3.12)式は次のようになる。 J 1 J 2 J A ( k 1) ' J1 ' J 2 ' J ' ( J 2 , J 2 ' )[(2 J 1)(2 J ' 1)(2k1 1)]1 / 2 9 J1 J 1 ' k1 J2 J J2 J' J 1 A ( k 1) 0 k1 " J 2 B ( k 2) " J1 ' 'J2' (8.3.20) (7.2.4)式より、次式が成立する。 ( 1) J 2 " J 2 M 2 B(0,0) ' J 2 ' M 2 ' M2 J2 0 J2' M2 0 M2' " J 2 B ( k 2) ' J2' (8.3.21) B (0,0) 1 なので、(8.3.21)式の左辺Ｌは次のようになる。 L " J 2M 2 1 ' J 2 ' M 2 ' ( J 2 , J 2 ' ) (M 2 , M 2 ' ) (8.3.22) また、(8.3.21)式の右辺Ｒは(8.3.18)式を用いると、次のようになる。 R ( 1) J 2 M2 ( 1) J 2 M2 J2 0 J2 M2 (2 J 2 1) ( 1) J 2 1/ 2 " J 2 B ( k 2) 0 M2 M2 (2 J 2 1) " J 2 B ( k 2) 1/ 2 'J2' " J 2 B ( k 2) 'J2' 'J2' (8.3.23) (8.3.22) 式と(8.3.23)式より、次式が得られる。 " J 2 B ( k 2) ( J 2 , J 2 ' )(2 J 2 1)1 / 2 'J2' (8.3.24) (8.1.14)式より 9-j 記号は行や列を２回交換しても不変であり、(8.1.15)式を用 いると 9-j 記号は 6-j 記号で書き直せるので、次式が得られる。 J1 J 1 ' k1 J J' J2 J J2 J' J1 J2 J 1 ' k1 J2 0 0 k1 k1 J J' ( 1) J ' k1 J 1 J 2 1/ 2 J1 ' J1 [(2k1 1)(2 J 2 1)] k1 J2 (8.3.25) (8.1.4)式を用いると、上式の 6-j 記号は次のように変換できる。 J J' J1 ' J1 k1 J J1 J1 ' J ' J2 J2 J1 k1 J' J2 J J 1 ' k1 (8.3.26) (8.3.21)式- (8.3.26)式を用いると、(8.3.20)式の左辺は次のようになる。 J 1 J 2 J A ( k1) ( J 2 , J 2 ' )[(2 J 1)(2 J ' 1)(2k1 1)(2 J 2 1)]1 / 2 ' J1 ' J 2 ' J ' J1 ( 1) J ' k 1 J 1 J 2 [(2k1 1)(2 J 2 1)]1 / 2 J ' ( J 2 , J 2 ' )( 1) J 1 J 2 J ' k1 J2 J J 1 ' k1 J 1 A ( k 1) [(2 J 1)(2 J ' 1)]1 / 2 J1 J' " J1 ' J2 J J 1 ' k1 J 1 A ( k 1) " J1 ' (8.3.27) T (k , q ) が２のみの関数であるときには、 T (k , q ) は B(k 2 , q 2 ) のように振舞う。従 って、(8.3.27)式と同様に、次式が成立する。 10 J 1 J 2 J B (k 2) ' J1 ' J 2 ' J ' ( J 1 , J 1 ' )( 1) J 1' J 2' J k 2 J2 [(2 J 1)(2 J ' 1)]1 / 2 J' J1 J J 2 ' k2 J 2 B ( k 2) 'J2' (8.3.28) 8.4 既約テンソルの積に対するウィグナ－・エッカルト定理の応用例 既約テンソルの積に対する W-E 定理の応用例として、２電子原子におけるスピン －軌道相互作用を取り上げる。電子 i(i=1 or 2)の軌道角運動量を L i スピン角運動 量を S i とする。ラッセル・サンダース結合を適用する場合は、 L L1 L2 , S S1 S2 , J L S (8.4.1) となる。この場合の固有状態は LSJM J と表され、スピン－軌道相互作用のハミル トニアン H SO は次式で表される。（本[8]を参照。） H SO (r1 )L1 S1 (r2 )L 2 S 2 (8.4.2) (8.3.19)式を用いて、 H SO の行列要素を計算すると次式が得られる。 LSJM J H SO L' S ' J ' M J ' (n1 L1 ; n1 ' L1 ' ) ( J , J ' ) ( M J , M J ' )( 1) L ' S J (n2 L2 ; n 2 ' L2 ' ) ( J , J ' ) ( M J , M J ' )( 1) L ' S J L S J S ' L' 1 L S J S ' L' 1 L L(1) (1) L' S S (1) (1) S ' L L(1) (2) L' S S (1) (2) S ' (8.4.3) ここで、 L L( k i ) (i ) L' と S S ( k i ) (i ) S ' は電子 i(i=1 or 2)に関する２重線の行列要 素である。(8.4.3)式の場合は、 k1 L L(1) (i ) L' k2 1 である。以下では、簡単のために L L(i ) L' および S S (1) (i ) S ' S S (i ) S ' のように記載する。また、 (nL; n' L' ) は次式で与えられる。 (nL; n' L' ) RnL (r ) (r ) Rn 'L ' (r )dr (8.4.4) 0 (8.3.27)式と(8.3.28)式を用いると次式が得られる。 L L(1) L' L1 L2 L L(1) L1 ' L2 ' L' ( L2 , L2 ' )( 1) L1 S S (1) S ' L2 L' 1 [(2 L 1)(2 L' 1)]1 / 2 L1 L' L L2 L1 ' 1 L1 L(1) L1 ' (8.4.5a) S S2 S1 ' 1 S1 S (1) S1 ' (8.4.5b) S1 S 2 S S (1) S1 ' S 2 ' S ' ( S 2 , S 2 ' )( 1) S1 S2 S' 1 [(2S 1)(2 S ' 1)]1 / 2 11 S1 S' L L ( 2) L ' L1 L2 L L(2) L1 ' L2 ' L' ( L1 , L1 ' )( 1) L1' S S ( 2) S ' L 2' L 1 [(2 L 1)(2 L' 1)]1 / 2 L2 L' L L1 L2 L(2) L2 ' L2 ' 1 (8.4.5c) S S1 S 2 S (2) S 2 ' S2 ' 1 (8.4.5d) S 1 S 2 S S ( 2) S 1 ' S 2 ' S ' ( S1 , S1 ' )( 1) S1' S 2' S 1 [(2S 1)(2S ' 1)]1 / 2 S2 S' (7.2.11)式と(7.2.13)式を用いると、(8.4.5)式は次のようになる。 L L(1) L' ( L2 , L2 ' )( 1) L1 [(2 L1 1) L1 ( L1 1)]1 / 2 S S (1) S ' L L ( 2) L ' S S ( 2) S ' ( S1 , S1 ' )( 1) S1' [(2S 2 1) S 2 ( S 2 1)]1 / 2 L1 L L2 L1 ' 1 L' S2 S' 1 (8.4.6a) [(2S 1)(2S ' 1)]1 / 2 S1 S S2 S1 ' 1 S' ( S 1, S1 ' ) ( L1 , L1 ' )( 1) L1' [(2 L2 1) L2 ( L2 1)]1 / 2 [(2 L 1)(2 L' 1)]1 / 2 ( L1 , L1 ' ) ( S 2 , S 2 ' )( 1) S1 [(2S1 1) S1 ( S1 1)]1 / 2 L2 L' 1 L 2' L 1 (8.4.6b) [(2 L 1)(2 L' 1)]1 / 2 L2 L L1 L2 ' 1 L' ( L2 , L2 ' ) (8.4.6c) S 2' S 1 [(2S 1)(2S ' 1)]1/ 2 S2 S' S S1 S2 ' 1 (S 2 , S 2 ' ) (8.4.6d) ただし、(8.4.6b,d)式における単独の電子スピンの値は S1 S1 ' S 2 る。(8.4.3)式に(8.4.6a-d)式を代入すると、次式が得られる。 S 2 ' 1 / 2 であ LSJM J H SO L' S ' J ' M J ' (n1 L1 ; n1 ' L1 ' ) ( J , J ' ) ( M J , M J ' ) ( L1 , L1 ' ) ( L2 , L2 ' )( 1) S [(2 L' 1)(2 L 1)(2S ' 1)(2S 1)(2 L1 1) L1 ( L1 1)(3 / 2)]1 / 2 L S J S ' L' 1 L1 L' L L2 L1 ' 1 S ' J L1 L 2 1 2 1/ 2 S 1/ 2 S ' 1/ 2 1 (n2 L2 ; n 2 ' L2 ' ) ( J , J ' ) ( M J , M J ' ) ( L1 , L1 ' ) ( L2 , L2 ' )( 1) 2 S [(2 L' 1)(2 L 1)(2S ' 1)(2S 1)(2 L2 1) L2 ( L2 1)(3 / 2)]1 / 2 L S J S ' L' 1 L2 L' L L1 1 / 2 S 1/ 2 L2 ' 1 S ' 1/ 2 1 L L ' J L1 L 2 1 2 (8.4.7) 例題 8.4.1 (8.4.7)式から、原子におけるスピン軌道相互作用に関する重要な性質 が次のように得られる． 12 （１） ( J , J ' ) ( M J , M J ' ) の項より、 H SO は同じ J , M J の状態間のみと結合する。 （２） H SO の行列要素の値は M J によらず一定である。従って、夫々のＪに対応する 状態は (2 J 1) 重に縮重している。この縮重、外部磁場により分裂する。 （３） H SO は一電子演算子なので、スピン軌道が２ケ異なる電子配置に由来する状 態を結合しない。 （４）6-j 記号の性格より、多くの重要な性質が得られる。 ① ( L' L1) と ( S ' S1) の三角条件より、 H SO の選択則は S る。ただし、 S L1 L' S ' 0 又は L L L2 L1 ' 1 L1 0 0, 1 及び L 0, 1 であ L' 0 の場合は、三角条件 (0 01) は 0 L2 L1 ' 1 0 , etc. (8.4.8) となり、 H SO の値はゼロになる。 ② Li 0 の場合も、三角条件 (0 01) は L1 L' L L2 L1 ' 1 0 L L2 L' 0 1 0 (8.4.9) となり、 H SO はゼロになる。従って，ns-スピン軌道はスピン軌道相互作用に寄与 しない。 ③一方， Li 0 のスピン軌道はスピン軌道相互作用に寄与するが、同じ Li の値で もＺの値が大きいほど電子は原子核に近づく。従って、スピン軌道相互作用の大 きさはＺの値が大きいほど大きくなる。 （５）原子の項エネルギ－を計算する常套手段は、同じ Ｊ を持つ異なる項（ 2 S 1 L J と 2 S ' 1 L' J ）の間の H SO を計算して行列式を対角化する。しかし、 H SO の大きさが項 間のエネルギ－より著しく小さい場合は、 H SO の影響を一次の摂動で取り扱うこと が出来る。そのような場合は、 LSJM J H SO LSJM J の行列要素のみを計算すればよ く、主要な 6-j 記号は次式のようになる。（本[4]の p.196） L S J S L 1 ( 1) S L J J ( J 1) S ( S 1) L( L 1) 2[ S ( S 1)(2 S 1) L( L 1)(2 L 1)]1 / 2 (8.4.10) （６）上記の場合において， 2 S 1 L J 準位に関係するすべての角運動量 （ S , L, S1 , S 2 , L1 , L2 ）が共通な場合は、 H SO の対角項はＪのみに依存して、次式で表 すことが出来る。 H SO AL S ( A / 2)[ J ( J 1) S ( S 1) L( L 1)] (8.4.11) ここで、Ａは 2 S 1 L J 準位の総てのＪ準位に関して共通の値を取る。このような場合 には、ランデの間隔則が成立する。 E ( 2 S 1L J ) E ( 2 S 1L J 1 ) AJ (8.4.12) 13 H SO を AL S で表すことは、 H SO の対角項を計算する時のみに用いられる。従って、 AL S は異なる多重項を結合することが出来ない。例えば、一重項状態と三重項状 態の混合には AL S を用いることは出来ない。 例題 8.4.2 特別な場合として、等価な２ケの電子を有する (n ) 2 電子配置の場合は、 (8.4.7)式における H SO の対角項は次のようになる。 (n ) 2 , LSJM J H SO (n ) 2 , LSJM J 2 (n )( 1) 2 S L S J S L 1 J 1 (2 L 1)(2 S 1)[(2 L L 1) ( 1)(3 / 2)]1 / 2 2 1/ 2 S 1/ 2 1 S 1/ 2 1 (8.4.13) この場合は、同一のスピン-軌道結合定数 (n ) で 2 S 1 L J 準位の総てのＪ-準位の分裂 を記述することが出来る。これは (n ) n 電子配置でも同様である。 今後は、「解説・基礎から学ぶ角運動量（後編）」を執筆して、 p 2 電子配置の原 子エネルギ－準位の計算に W-E 定理を応用した例などを解説する予定である。しか し、「林久治のＨＰ」における次の企画は「ＳＦ小説・不思議な枕（第３部）」を 執筆することである。このような事情で、「解説・基礎から学ぶ角運動量（後 編）」は暫くお待ち下さい。 14
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