縮小版 - 立命館大学

数学とは
工学・技術・科学の道具である
質点・バネ・ダンパー系の運動方程式
.
.
.
x˙ = v
mv˙ = −bv − kx + f (t)
.
数値計算
.
..
平井慎一
LCR 系の回路方程式
q˙ = i
立命館大学ロボティクス学科
Li˙ = −Ri −
1
q + V (t)
C
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数学的に同じ構造であることがわかる
平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
数値計算
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平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
数値計算
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数学とは
数学とは
工学・技術・科学の道具である
数学とは
微分と積分（特に微分）
線形代数（行列とベクトル）
工学・技術・科学の言語である．
工学・技術・科学の道具である．
応用数学 I
応用数学 II
数値計算
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数値計算
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微分方程式
複素数と複素関数
数値的に数学の問題を解く方法
平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
数値計算
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数学とは
数学とは
工学・技術・科学の道具である
工学・技術・科学の道具である
質点・バネ・ダンパー系
k
m
一般論は不要（後からで OK）
説明が必要．証明は不要
f(t)
b
力学，電子回路，制御工学等とのつながりを意識する
LCR 回路
L
いろいろな道具を試してみる
C
V(t)
R
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数値計算
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平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
数学とは
数値計算
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なぜ数値計算
工学・技術・科学の道具である
解析解と数値解
微分方程式
dx
= −2x
dt
質点・バネ・ダンパー系の運動方程式
m¨
x = f (t) − b x˙ − kx
LCR 系の回路方程式
V (t) − Li˙ − Ri −
1
C
∫
解析的に解く：式の変形を通して解を求める．
t
i(τ ) dτ = 0
0
解析解：
x(t) = x(0)e −2t
微分方程式という道具でモデリングできる
任意の初期値に対して成り立つ．
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数値計算
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数値計算
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なぜ数値計算
なぜ数値計算
いろいろな見方
解析解と数値解
数値的に解く：数値の列で解を表す
数値解の例：オイラー法，微分方程式の初期値 x(0) = 1.00
t
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0.500000
0.600000
0.700000
0.800000
0.900000
1.000000
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c
x
1.000000
0.818567
0.670052
0.548482
0.448969
0.367511
0.300833
0.246252
0.201573
0.165001
0.135065
b
a
a 2 + b 2 = c2
数値計算
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数値計算
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なぜ数値計算
なぜ数値計算
いろいろな見方
解析解と数値解
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
x
x
b
1.2
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
b
b
b
0
0.2
0.4
t
0.6
0.8
c
数値計算
a
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b
a
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a
c
b
1
数値解
平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
c
a
t
解析解
b
c
a
a
a
a
b
数値計算
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なぜ数値計算
なぜ数値計算
いろいろな見方
なぜ数値計算
二自由度リンク機構
l2
y
lc2
l1
b
link 1
θ1
pc
pb
p
θ2
joint 2
lc1
joint 1
c
link 2
a
pa
x
pa
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数値計算
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なぜ数値計算
数値計算
b
c
a
+ pb - pc = 0
2
2
2
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講義内容
なぜ数値計算
講義内容
二自由度リンク機構の運動方程式
H11 θ¨1 + H12 θ¨2 = h12 θ˙2 + 2h12 θ˙1 θ˙2 − G1 − G12 + τ1 ,
常微分方程式
2
ただし
B
H22 θ¨2 + H12 θ¨1 = −h12 θ˙12 − G12 + τ2
連立一次方程式
2
2
H11 = J1 + m1 lc1
+ J2 + m2 (l12 + lc2
+ 2l1 lc2 cos θ2 )
2
H12 = J2 + m2 (lc2 + l1 lc2 cos θ2 )
2
H22 = J2 + m2 lc2
h12 = m2 l1 lc2 sin θ2
G1 = (m1 lc1 + m2 l1 ) g cos θ1
G12 = m2 lc2 g cos(θ1 + θ2 )
射影
補間
有限要素法
確率的アルゴリズム
フーリエ変換
標準形，ルンゲクッタ法
ルンゲクッタフェールベルグ法，CSM
LU 分解，ピボット選択
三角行列，コレスキー分解
射影行列，グラム・シュミットの直交化
区分線形補間，スプライン補間
形状関数，剛性行列，ビームの静的変形
慣性行列，ビームの動的変形
乱数，モンテカルロ法
離散フーリエ変換，高速フーリエ変換
マッチドフィルタ，位相限定相関法
解析的に解くことができない
数値的に解く (シミュレーション)
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数値計算
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数値計算
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講義内容
資料等
http://www.ritsumei.ac.jp/se/˜hirai/
「講義」→「2014 年度」「数値計算」をクリック
第 1 刷には誤りが多数あるので，
第 2 刷を使ってください．
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