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剛体の力学（第6～7回）補足資料
質量中心（重心）①
2質点の重心
1
m1
l1
G l2
m1 (l  l2 )  m2l2
m2
l2 
2
l
r2  rG 
rG
r1
O
r2

l1  rG  r1

l2  r2  rG

l  r2  r1
rG  r2

質量中心（重心）②
l1  l2  l
m1l1  m2l2
前回勉強した力のモーメントが
釣り合う位置が重心である。
m1l
m1  m2
m1 (r2  r1 )
m1  m2
m1  m2 m1 (r2  r1 )

m1  m2
m1  m2
m1r1  m2r2
m1  m2
質点系への拡張
3個の質点の重心位置は、2個の質点の重心位置の式
を拡張することで求めることができる。
rG' 
m1r1  m2r2
m1  m2
m1
m1
(m1  m2 )rG'  m3r3
rG 
(m1  m2 )  m3

m1r1  m2r2  m3r3
m1  m2  m3
n個の質点では…
n
m r  m2r2    mnrn
rG  1 1

m1  m2    mn
1
m r
i 1
M
i i
剛体の力学（第6～7回）補足資料
質量中心（重心）③
剛体の場合は…
剛体の重心位置は、質点系の重心位置を拡張して求
める。つまり、剛体を微小領域（質点）に分けて考える。
mk   (rk )Vk
 (rk )
Vk
rG
rk
 r (r)dV
 r  (r )V

  (r )V
k
k 1
k 1
k
k
k
  (r)dV
k
O
rG 
 r (r)dV
  (r)dV
密度ρが
一定だと…
rG 
 rdV
V
質点系の運動方程式①
質点系に働く力は2つある。1つは内力。これは質点同
士の間に働く力で作用反作用の関係にある。もう一つ
は外力。要するに、外部から働く力である。よって、質
点系のk番目の質点mkの運動方程式は…
内力
d 2r
mk 2k  Fk   Fkj ただし、Fkj  F jk
dt
jk
外力
これはk番目の質点mkの運動
方程式なので、質点系の運動
方程式はこれをすべての質点
分、足し合わせればよい！
2
剛体の力学（第6～7回）補足資料
質点系の運動方程式②
すべての質点分足し合わせる！
 d 2rk
 mk 2

dt
k 1 
n
内力
外力
ここは0 になる！
n
 n
   Fk   Fkj
k 1 j  k
 k 1
Fkj  F jk
この部分はちょっと細工して…
n
 d 2rk
 mk 2

dt
k 1 
n
  n
 d2
    mk  2
  k 1  dt
 (m r )
k k
k 1
n
m
k 1
M
d 2rG
dt 2
k
また、運動量の時間変化の関係も導ける！
結論は…
n
d 2rG
M
  Fk
dt 2
k 1
dP n
 dv k  d n
m
m

v

Fk



 k k dt  
k
dt  dt k 1
k 1 
k 1
n
質点系の運動方程式③
質点系の角運動量の法則を考える！
質点系
質点
L  r  p  r  ( mv )
dL d
 (r  p)
dt dt
dr
dp
 p  r
dt
dt
 v  mv  r  F
 0N
n
n
k 1
k 1
L   rk  p k   rk  mk
drk
dt
n
dL n
dr dr
d 2rk
  mk k  k   rk  mk
dt k 1
dt
dt k 1
dt 2
n


 0   rk   Fk   Fkj 
k 1
j k


n
n
  rk  Fk   rk  Fkj
k 1
k 1 j  k
n
  Nk  0
k 1
3
＝
剛体の力学（第6～7回）補足資料
質点系の運動方程式④
質点系の運動に関する２つの法則：
①すべての運動量の時間変化は外力のベクトル和に
等しい。
d n
dP n
m
r

Fk
 k k dt  
dt k 1
k 1
M
n
d 2rG

Fk

dt 2
k 1
②系全体の角運動量の時間変化は外力のモーメント
のベクトル和に等しい。
dL n
  Nk
dt k 1
質点系の運動方程式⑤
ある質点kの位置ベクトルrkは、質量中心に対
する相対位置ベクトルr'kと、質点系の重心位置
のベクトルrGを使うと、
rk  rG  r 'k
v k  v G  v'k（速度ベクトルも同様）
質量中心に対する相対位置ベクトルr'kと相対速度
ベクトルv'kを使うと、質点系の運動は質量中心を
基準に考えられる！
※質量中心の定理を利用すると…
◎質点系の全角運動量
： L  L G  L'
◎質点系の全運動エネルギー： K  K G  K '
質量中心の運動
4
質量中心ま
わりの運動

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