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配水管網の流量計算について(第2報)
森田, 健造
室蘭工業大学研究報告. Vol.5 No.1, pp.169-185, 1965
1965-07-08
http://hdl.handle.net/10258/3237
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Muroran Institute of Technology
配水管網の流量計算について
(
第 2報)
森 田 健 造
Computation of Flow in Distributing Pipe Networks
(
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Kenzo Morita
Abstract
Somemethods，sucha
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管網の流量計算法は 1936年に HardyCross 法が発表されて以来その改良法ともいうべき
種々の方法が発表され，わが国でも終戦後上水道の新設および拡張工事が盛んになると共にま
すます研究されるようになった。筆者も先に乙の計算法として従来の HardyCross法系と全
く異なり，最小二乗法を用いて管網全体をまとめたコリレート正規方程式と，このコリレ{ト
の値を用いて管路の補正流量を求める式を誘導し，これらの式の特性を利用して各コリレ{ト
の値と管路の補正流量の J機械的図上計算法を発表し 1う そ の 方 法 に よ る と 繰 返 し 計 算 の 結 果 の
収束が従来の方法より極めて速やかであることを例示したが，ここに網目数の多い複雑な管網
を取り上げ，その解法の一部に電子計算機を用いて結果を算出し， HardyCross法による計算
法と精度および収束の程度を比較した。
2
. 本法の理論
本文中の記号は
q
: 管路の流量
.
:
J
q
: 管路の補正流量
h=rq
勾: 管路の摩擦損失水頭
(
1
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森田健造
r
: 流水抵抗で、管内の平均流 j
奉公式として Hazen
以T
i
l
l
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s 公式を用い，
管の内怪
14
43.562X10
d を m m，管長 Jを m で表わすと r=一一一一一一
-l
C1.85d
<
'
'
'
n: 流量の指数で Hazen
羽T
i
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l
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s 公式を用いた場合は1.85
C: 流速係数
H: 修正流量(すなわち q十 L
1
q
)に対する摩擦損失水頭とすると
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+ 珂(有)+寸~ qn-2(
L
1
q
)
"+.
j
ここでラ L
1qは q に比較して小さい値として第 3項以下を省略すれば
H土
f川
いま管管3路の流向を各網目について考えるとき右廻りを正ラ左廻りを負と規約すると，たと
え ば 図1に対しての水理条件式は次ぎのようになる。
も
(2)
可
〕
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図
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(
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(
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(
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q
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配水管網の流量計算について(第 2報)
各管路の流量は
p
"p
" ……の重みを有するものとし，
また各水理条件式(すなわち各網目)
とし最小二乗法の原理により
に対するコリレ戸トをそれぞれ K"K" K" K，
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を代入すると補正流量を求める式は (
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)式のようになる。すなわち
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，.
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.
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，
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，
.
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(
2
)式を (
1
)式に代入するとコリレート正規方程式が求められ，
(
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:
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，
2
)
.
:
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、
.
:
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q，
=nK"
その式のコリレ戸ト係数を
抜き出して配列すると表 1になる。
2
)式に代入すれば .
:
1
qが求めら
表 1のコリレ{ト正規方程式から K の値を求め，これを (
表
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コリレート正規万程式
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種別
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森田縫造
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第 1次修正流量(仏)=仮定流量
(
q
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)十補正流量 (Jqo)
同様に
第2
;
欠修正流量 q2= q
l十Jql
3
. 理論式の機械的作製方法
表1および
(
2
)式の機械的作製方法は既に前報
1)
で発表したが，
説明の都合上これを再録
すると，コリレ{ト正規方程式は管網を構成する個々の網目ごとに 1個づっ成立し，それらの
各式には，その網目のコリレ{トと，その網目の周囲に接する他の網目のコりレートが存在し，
前者のコリレ戸トに対する係数はその網目の周囲の管路の h
/
qの和(ただし正号)でコリレー
ト方程式詳の左肩からの対角線係数となり，後者のコリレ{トに対する係数は，その網目と隣
接網目との境の h
/
q(ただし負号)で、対角線係数を軸にして対称に配列される。なお流向は，乙
のコリレート方程式の係数には全く関係がなく，各網目の損失水頭の閉会誤差 w と
，
補正流
量を求める式の符号に関係するだけである。
また補正流量を求める式は極めて簡単で，いま求める管路の流向に向ってその両側に隣接
する網目を右および左と規約すると
補正流量 (Jq)=
r(求めようとする管路の右側に¥ (求めようとする管路の左側に ¥l
n
L
¥
隣接する網目のコリレ{ト )一(隣接する網目のコリレート )J
したがって管網の外周の管路のように，求めようとする管路の一方側に隣接網目のない場合
は，その網目の項を零とおけばよいことになる。
すなわちこの方法によると管網図を参照するだけで，以上の理論式は機械的に簡単に作製
され且つ式の照査もまた極めて容易である。
4
. 計 算 例
j
j
i
J報 1) に土木学会編昭和 3
2年改訂版水理公式集 p
.
1
7
0，図 3，2
6の例題および、水道協会雑
6
8号(昭和 3
2年 2月号)p.39の問題(網日数 9
) を引用し，各管路の仮定流量と流向を
誌第 2
そのまま使用して本法による計算を行ないそれらとの結果を比較したが，ここでは更に網目数
の多い複雑な管網として図 2(
注
函館市の配水管網で網目数 2
3
)を取扱った。すなわち上記
2が求められ，
の機械的方法でコリレート正規方程式を作ると表戸タ(注
これに仮定流量に関するデ
3になり，電子計算機で求めると表 -4に
乙のデ{タは表 9参照)を代入すると表 -
示すコレリ戸トの値が得られ(注
この計算 I
こは北海道大学計算センター所属の HIPAC1
03
によった)，補正流量はこの値を使用し前記の法式で求めた。第 1修正値以下は同じようにして
表5か ら 表 8に示し且つ表 -9にはこれらの計算の過程と結果を総括し，比較のため同ーの仮
(
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表一 2 コリしー卜正規方程式
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0
4
6
9
0
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0
1
2
5
6
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0
.
0
1
6
4
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.
0
0
0
8
8
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0
0
3
0
0
{
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0
0
9
7
3
0
.
0
1
0
8
1
ω
2
2
6
30
0
0
3
0
0
{
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0
0
9
1
3
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O
O
I
6
4
閃
2
1
4
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1
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一ω
0
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1
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1
1
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1
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0
.
0
6
2
3
90
ω
5
B
B
0
1
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5
9
9
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ヤ
一
一
一
一
一ト
ー
一
一
下
一
一
一 トー
.
28
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8
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2
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5
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6
9
5仁0
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4
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1
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1
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1
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1
1
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1
3
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1
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6
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1
1
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4
似 0
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3
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.
0
1
1
1
1
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6
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0
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5
4
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9
1
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1
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0
5
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1
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0
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5
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1
6
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i
0
7
1
0
.
3
9
2
3
1O
.
I
T
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T
I0
.
1
T
l0
9
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2
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0
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0
.
1
2
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1
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.
0
0
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0
0
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4
日
.
3
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0
0
2
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.
0
0
8
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0
.
1
1
4
10
.
0
0
3
5
6.
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0
0
1
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0 ー
ω
0
3
5
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0
.
0
4
5
10
0
0
2
4
4
0
.
0
0
8
6
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0
1
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1
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0
.
0
0
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3
5
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0
5
5
1
0
0
1
2
3
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.
0
0
0
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0
0
0
2
0
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0 0
ω
5
5
10
.
D
I2
7
50
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0
0
3
2
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0
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1
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0
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.
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o
Q
0
0
7
ω
0
.
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2
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4
日
0
3
5
5
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0
2
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.
0
13
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5u
0
.
0
0
7
0
4。
ω
2
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2
0
.
0
0
4
0
1
0
0
.
0
2
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0
1
1
8
9
。
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5
3
0
0
0日T子
も
K
4 K
K1 K
s K
s K
3 K
1
6
l
K
I
T K
9 KlO Kll K
Z
1 KI3 K4
I K5
1K
1
8 K
I
9 K
Z
2K
1K
z
o:K
1K
2K
2
3
±
ー
ム
=
ー
表-3
]FJ
注
7
.
4
5
6
7
3
8
1
2十 0
0
X (7
)=
(
3
)
例
4
.
7
4
8
1
7
5
6
3十 0
0
4
.
7
5
3
5
5
1
2
6十 0
0
X(i) と K iとの関係は次ぎのように表現している
X(
2
3
) = -3.33828918十 0
0
X(
2
2
) = -1.27069934+00
.
0
2
4
0
3
4
6
7+0
0
X(
2
1
) 二一 1
X(
2
0
) =-1.84197163十 0
0
X(
1
9
) = -1.8
1
2
6
7
4
5
4十 0
0
X(
1
8
) = -3.32547822-01
X(
1
7
) = -6.21238273-01
X(
1
6
) ニ ー 3.01675872+00
X(
1
5
) 二一1.2
4
5
1
4
8
4
3+0
0
X(
1
4
)=
.16308563+00
X(
1
3
)= 1
0
X(
1
2
) = -5.55410847十 0
X(
1
1
) ニ 1 .23625855+00
X(
1
0
) = -4.01942157+00
X(
9
)ニ
X (8
)= 1
.96194305-01
4
.
9
2
8
9
4
1
4
1十 0
0
X (6
)=
X (5
) = 5.68966818+00
N掲)
K3ニ 8.89838129X 10-1
X(3)ニ 8
.89838129-01は
六峨遊 δ開問榔洋戦一円 dτ パ(滋
とも共通)
(
表 6，表 81
本表の
8.89838129-01
X(
3
)ニ
X (4
) = -4.33160068+00
3
.
5
3
6
8
9
0
9
2十 0
0
X(
2
)ニ
X (1
)= 7
.
5
3
3
4
4
1
6
5十 0
0
表 -4 (
表 3を HIPAC1
0
3で解いた値)
園田N
]FU
可印
(日示)
直⑫
i
⑫
⑮
⑭
⑮
⑮
⑪
⑮
⑫
⑮
⑨
κ
T
左
右辺
l
一ω
n'
l
l K
K
s K
9 KJO K
K
1
3 K
1
5 K
J
2
I
6 K
n K
4
1 K
I
8 K
I
9K
z
o K
z
z KZ3 一
Z
1 K
辺
同 一 一 一 一 一 -
コリレート正規方程式(表 2t乙第次 1修正値のデータを代入して作製)
0
.
0
0
6
6
8
0
0
1
2
0
54
1
l
4
4
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0
.
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1
1
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邸￨
0
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6
4
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.
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4
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2
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3
1日
1
日
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1
1
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1
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0T
1
2
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1
0
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1
0
1'
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.
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5
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0
0
0
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.
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4
ω
I0
.
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0
郎0
2
1
0
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0
0
7
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.
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1
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4
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1
4
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.
0
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5
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泣1
.
2
1
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.
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0
1
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例 0
0
.
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1
4
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2。
.
0
0
5
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60
.
0
0
9
4
9
0
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1
1
3
1
0
1
1
4
5
4
日
一ω
1
3
40
.
0
0
5
7
6.
.
1
T
8
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0
1
1
6
6
0
0
.0
1
6
5
5
0
.
0
0
仰
0
2
.
4
1
4
40
1
.
3
3
9
5
0
.
0
0
5
1
10
2
6
1
8
0
。
1
3
3
9
50
1
.
2
8
1
5.
6
5
7
0
0
0
0
0
3
0
3
9
。
日
0
1
3
0
.
0
0
2
2
2
0
.
0
0
1
0
1
0
5
4
9
0
.
0
1
0
1
5
0
1
.
4
8
1
2
0
.
2
9
0
0
4ω
ω
9
9
9.
ω
2
1
5
4
9。
ω0
0
0
.
0
0
9
6
0
0
0
3
3
3ω
0
0
.
1
1
6
9
0
.
0
凶3
収
日0
3
8
0
ω
2
4
3一
0
.
0
0
7
5
4
ω
0
2
5
5
0
0
0
7
8
9
一
-4
ω
0
0
8
0
3
3
2
3
1
。
0
1
0
7
5
0
0
0
日
3
0
.
0
0
2
4
3
ω
1
9
1
2.
.
0
0
0
3
2
1
ω
5
1
30
0
.0
0
3
6
2
.
0
1
4
9
1一ω
0
3
1
3
.
0
0
1
0
2
3
∞
0
2
4
3。
0
0
1
6
5
5
0
0
0
3
1
3
0
.
0
0
2
5
5
0
.
0
9
1
1
2
0
.
0
2
2
5
0
0
0
0
2
2
2
。
ω
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9
7.
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0
0
4
1
9
0
.
0
0
1
9
6
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10
4
6
0
0
1
4
8
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.
0
0
2
8
2
日
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0
1
9
60
0
.
0
0
1
6
4
ω
0
0
国
0
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2
4
3
。
0
.
0
0
2
町
日
一ω
3
6
2
0
0
0
2
8
20
0
1
1
2
9
0
.
0
2
3
0
3~0.00989
0
.
脚5
8
1
0
.
0
0
0
関
0
ω
1
6
4一
日
脚1
90
.
0
0
9
8
90
0
.
0
0
2
8
70
3
9
9
5
￨
一
脚5
1
1一
山2
8
1
5
日
一0
1
2
0
5
O
l
.
4
8
T
80
.
15
4
8
6
1
0
.
0
0
8
0
2
①
②
③
④
⑤
⑥
①
⑨
⑨
⑩
⑪
。
1
5
9
5
00
0
.
0
0
6
0
9
.
0
6
3
5
30
0
，
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日.
0
.
4
8
3
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0
0
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1
1
5
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9
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.
5
1
2
0
6
0
.
1
叩6
0
9一
4 K
K
l K2 K
3 K
s K
6
リ
日
種
表~5
出
話
百
草
国
勢t
]{叶。
表
(-吋吋)
3
.
1
8
3
6
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6
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0
=ー 2
.
8
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1
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0
1
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1
.
5
8
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6
8
7
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0
X(
2
3
)ニ ー1
X(
2
2
) = -6.10016993-01
(2~)
X
7.16479111-01
士 一
X(
2
0
)
X(
1
9
) =-2.03909200+00
X(
1
8
)コ
X(
1
7
) = -4.73057867-01
パ(滋
X(
1
6
) = -1.62447776-01
X(
1
5
) = -1.02776685+00
X(
1
4
) 二一1.1
0
6
4
4
7
2
4+0
0
X(
1
3
) = -1.55873595-01
7
6
0
3
2
4
9十 0
0
X(
1
2
) = -1.5
X(
1
1
) = -5.44664877-01
X(
1
0
) =ー1.38144226+00
6
0
9
6
4
6
9十 0
0
X (9
) = -1.0
X (8
)= 1
.09172204-01
.
2
2
8
4
2
3
6
4十 0
0
X(
7
)ニ ー1
X (6
) = -7.23394230-01
X(
5
) =ー7.24094981-01
X(
4
) 二一1.3
5
9
5
0
2
0
8十 0
0
X (3
) = 6.15420460-01
X(
2
) ニ ー 3.
4
7132196-01
X(
1
) =-1.35908822-01
表 5を HIPAC1
0
3で解いた値)
6 (
一ハ誠蓋 δ議抑洋戦百円‘
毘N
N戴)
]{叶叶
τ
υ
(日吋∞)
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
③
⑦
⑩
⑪
⑫
⑬
⑭
⑮
⑮
⑪
⑮
⑫
⑩
③
⑫
⑮
色
κ
KIl K
3
1 K4
I
6
1
2 K
5
1K
1 K
κ
1
1 K8
1
9
1 K
辺
コリレート正規万程式(表 2
1
ζ 第 2次修正のデータを代入して作製)
。
9 品
K
l K
8 K
左
7
K
2
0 K
1
Z
ι2
K
包
E
右辺
E
}
ー でU
。
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0
0
0
6
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)
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0
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0
6
3
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9ω
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6
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6
0
1
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がわかる。
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して一層計算の迅速化をはかる
場合を予想すると，その場合の
逐次計算のフローチヤ戸トの概
略は左図のようになるものと思
逐次計算のフローチャート
われる。
終りに本研究には先に文部省科学研究費(各個研究)の補助をうけた
ζ
とを記して感謝す
ると共に，電子計算機の計算を受持っていただいた北大計算センターの内山美代子さんその他
r
o
s
s 法との比較計算等に助力された下条章義君(本学土木工学科を卒業し大阪府
と
， HardyC
庁に勤務)および電子計算機のフローチヤ戸トに対し助言をいただいた本学電気工学科北村教
授に謝意を表す。
(昭和 40年 4月 3
0日受理)
文 献
1
) 森田健造: 管網の流量計算について，室蘭工業大学研究報告第 2巻第 3号.
(
1
8
〕
ラ
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