補足資料

Data Analysis and Experimental Design
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補足資料
統計的推測
Data Analysis and Experimental Design
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統計的推測
与えられたデータをある（未知の）確率分布に従う確率変数
の実現値（観測結果）とみなし，そのデータを基にその確率
分布についての推測を行う．
研究の主たる目的は，対象の未知の性質を明らかにすることである．
・身長とIQの間に関連はあるのか．
・地域によって身長とIQに違いはあるのか．
・音声認識の精度はどのくらいか．
研究で扱うことが出来るのは対象全体（母集団）ではなく，その一部
（標本）である．
・母集団は無限大である．例：音声
・有限であっても，数が非常に多い．例：人類，日本人
・日時やコストがかかる．
・全数調査は不正確な場合がある．例：熟練を要する調査，実験
・調査によって対象が損なわれる恐れがある．例：破壊検査
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パラメタ
研究で知りたいのは標本の性質（統計量）ではなく，母集団の性質（パ
ラメタ）である．
・協力者２０人のIQではなく，人類全体，日本人全体のIQ
・５回の発話音声ではなく，全ての音声
統計量から，どの程度正確に（どの程度の誤差を許容して）パラメタを
推定できるかが重要となる．
標本が同一の母集団分布から独立に抽出されると考えれば，標本の大き
さnが大きくなるほど
・標本の平均は母集団の平均に近づく（大数の法則）
・統計量
の分布は正規分布
に近似される
（中心極限定理）
各種統計量の確率（密度）分布（標本分布）を求め，統計量の実現値か
らパラメタを推定する際の誤りの程度を確率で表す（後述）．
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例
新しい睡眠薬の効果の有無を n 人の被験者による実験で判定したい．薬の
服用による各被験者の睡眠時間の増加量
を測定する．
は独立で同一の分布
に従うと仮定する．この場合，
y 睡眠薬の効果がない …
y
〃
ある …
ということになる．では，標本
ようなを観測すれば，効果がある（つまり，
ZZ
睡眠時間
の増加量
Z
x1時間
ZZ
…
x2時間
平均（厳密には標本平均
xn
の観測値としてどの
）と言えるか？
xn時間
の実現値）
> 0 でもそれほど大きくなければ偶然変動かも？
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統計量からの推定
標本の平均
の値から
計量を用いる：
は平均
仮説の下で，
であるか判定する．そのために、以下の統
のt分布に従うことが分かっている．そこで，
という
の実現値
がt分布の中の非常にまれな（生起確率
が非常に小さい）範囲に位置していれば，仮説がおかしいと考えて，
と判定する（統計的検定）．
非常にまれな確率（ex. 5%）
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統計的検定
標本分布の知識と統計量の実現値を基に，パラメタ値について判定をする．
例．統計量
において，
という仮説の下で，実現値
が自由度n‐1のt分布に
おいて非常にまれな範囲に位置していれば，仮説が誤りであると考えて
と判定する．
これを形式化したのが仮説検定
統計的検定（正式には統計的仮説検定、あるいは単に仮説検定）：
標本Xの統計モデル{Pθ; θ∈Θ}において，Θ0とΘ1を互いに排反で
Θ0∪Θ1= Θとなるパラメタ空間Θの部分集合とするとき，標本或いはそ
の統計量の値を基にパラメタがΘ0とΘ1のどちらに属するかを決定する．
上記の例で言えば，Θは
，Θ0とΘ1はそれぞれ
，
となる．
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帰無仮説
帰無仮説：パラメタθがΘ0に含まれると言う仮説
H0: θ∈Θ0
対立仮説：パラメタθがΘ1に含まれると言う仮説
• 帰無仮説の下で，例外的な（帰無仮説に矛盾する）
H1: θ∈Θ1
の領域
を求める．
すなわち，
（有意水準は 0.05 や 0.01 といった小さな値）
ex.
• 観測結果
が，
ならば，帰無仮説を棄却し，対立仮説を支持．
∵ 『帰無仮説は正しいが例外的なことが起きた』と考えるより，
『帰無仮説が誤っている』と考えるほうが合理的．
第Ⅰ種の誤り：帰無仮説が正しいのに，帰無仮説を棄却してしまう
第Ⅱ種の誤り：帰無仮説が正しくないのに，帰無仮説を棄却できない
第１種の誤りを犯す（ような標本を得る）確率： α
•
は第１種の誤りがα以下で，第２種の誤りが極力小さくなるように設定する．
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