KURENAI : Kyoto University Research Information Repository Title Author(s) Citation Issue Date URL On stable summands of Thom spectra of B(Z/2)^n associated to Steinberg module( Abstract_要旨 ) Takayasu, Shinichiro Kyoto University (京都大学) 1999-03-23 http://hdl.handle.net/2433/181931 Right Type Textversion Thesis or Dissertation none Kyoto University 【7 1】 氏 名 妄 篇 醤 士 = 学 位 (専 攻 分 野 ) 博 学 位 記 番 号 理 学 位 授 与 の 日付 平 成 11年 3 月 23 日 学位授 与 の要件 学 位 規 則 第 4 条 第 1項 該 当 研 究 科 ･専 攻 理 学 研 究 科 数 学 専 攻 学位 論 文題 目 ons t a bl es umma ndsofThom s pe c t r aofB(Z/2) na s s oc i a t e dt oSt e i nbe r gmodul e 博 第 ( 理 鮎 学) 2008 号 ( B(Z/2) n 上 の トム ･スペ ク トル の ス タイ ンバ ー グ加 群 に関連 す る安 定 直和 因子 につ いて) ( 主査) 論 文調 査 委 員 教 授 西 田 吾 郎 論 文 内 教 授 河 野 明 容 旨 の 要 講 師 清 水 勇 二 高安晋一郎氏の主論文の内容は次の通 りである｡ Z/ 2Z)A ,またこの群の分類空間B( Z/ 2Z)D と表わす｡群 ( Z/ 2Z)Dの実表現は分類空間 階数 nの基本ア-ベル 2群 を ( B( Z/ 2Z)D 上 の実ベ ク トル束 を定 め るが, 特 に 自明成分 を除いた正則表現の定 める実ベ ク トル束 を αDと表わす. 群 ( Z/ 2Z) Dの線形変換群 GLD( F2 )は ( Z/ 2Z)Dの正則表現に自然 に作用す ることか ら,B( Z/ 2Z) n 上の実ベ ク トル束 αD は 群 GLh( F2 ) の作用 を持つ同変ベ ク トル束 となる｡ kを整数 とす ると,負のkに対 しても同変ベ ク トル束kαDのTho m複体 ( B( Z/ 2Z) n ) k a nが群 GLD ( F2 )の作用 を持つ安定複体 として定義 され る.群 GLn ( F2 )の群環F2[GLh( F2 ) ]のべ き等元 e. ･ 達に よる直和分解 は, ( B( Z/ 2Z)D) 血 の 自己安定写像 ej に関す るテ レスコープX.達によるウェッジ分解 ( B( Z/ 2Z)A) 血 と V X, ･ を与 えるが,特にSt e i nbe r g 表現に対応す るべき等元 e D のウェッジ成分 をM ( n)kと表わす｡ 高安晋一郎氏 は主論文 において, この安定複体M ( n)kの厳密な構成 とそのホモ トピー型 の徹底 した研究を行 っている｡ まず,k- 0の とき, この安定複体はMi t c he l lとPr i ddyにより研究 され,特にそのコホモ ロジーはSt e e nr o d代数上の加群の 構造が決定 されてい る｡Tho m複体 ( B( Z/ 2Z) A ) k a Dのコホモ ロジーは,qを実ベク トル束を αDのEul e r 類 とす るとき,環F2 [xl ,･ ･ ･ ,X血 ][ q1 ] においてq kで生成 された 自由F2[xl ,･ ･ ･ ,Xn ]加群である｡高安氏はまず,このコホモ ロジーにおける St e e nr od代 数 お よび , St e i nbe r gべ き等 元 の作 用 の計 算 か ら, 一般 の n, kに対 し安 定複 体 M ( n) kの コホモ ロジー H*( M( n)A) を決定 した.次に,秤 ( Z/ 2Z)D の階数が 1以下の部分基本ア-ベル 2群達のなす半順序集合 Cn,,を考える｡ 分類空間B( Z/ 2Z)n お よびTho m複体の構成 を, この半順序集合か ら定まるホモ トピー極限に適用 し, さらにSt e i nbe r gべ き等元 を取 ることに よ り,安定複体M ( n, 1) k を構成 した｡定義 よ り,M ( A, n) A -M ( n)kであ り,また,St e i nbe r gべき等元 の性質か ら,1 <n- 1の ときM ( n, 1)k -*である｡ さらに,上記のコホモ ロジーの結果 と,半順序隼合 C n , )の包含関係 を巧 みに用いることによ り,次の安定ホモ トピー同値 M( n,n-1 ) k と ∑k M( n- 1)2k. 1 が存在す ることを示 した｡ 同変ベ ク トル束の包含写像 kαD -( k+1 )αDは写像M ( n)a -M ( n)A. 1 を定めるが,上記の結果を 用いて次の主定理 を示 した｡ 定理 写像M ( n)i -M ( n) i. 1 のコファイバーは ∑ k' 1 M( n- 1)2k. 1で与えられ る. - 206- 論 文 審 査 の 結 果 の 要 旨 高安晋一郎氏の主論文における研究の動機お よび背景は次の通 りである｡ Z/ 2Z) Dの分類空間B( Z/ 2Z) Dの安定ホモ トピー型 の研究は特 に球面の安定ホモ トピー群 階数 nの基本ア-ベル 2群 ( の研究に関連す る重要な課題 である｡n- 1の場合 は,Ka hnPr i ddyの定理等 の深い結果が知 られてい るが, これ らの結果 ho wa l ds pe c t r umと呼ばれ る安定複体 P芸が安定球面 S1 1 と安定ホモ トピー同値である とい は--次元までのセル を許すMa うLi nの結果 に集約 され る｡安定複体p:はB( Z/ 2Z) n 上の標準線束 を Eとす る とき,T叫o m複体 B( Z/ 2Z) k f ,k< 0の射 ho wa l ds pe c t r umの 自然 な階層付 けによ り,球面の安定ホモ トピー群か らそれ 自身 に収束す るス 影極 限で与 えられ る｡ Ma ペ ク トル系列が構成 され, これ を用いてルー ト不変量 と呼ばれ る重要な不変量が定義 され る｡ しか しなが ら, n≧ 2の場合 は計算の困難 さか らあま り多 くの ことは知 られていないo B( Z/ 2Z) nの安定ホモ トピー型 の一般論 としては,一般線形群 GLn( F2 )の各既約モジュラー表現 に対応す る群環 F2 [ GLn( F2 )] のべ き等元e , ･ に関す るテ レス コープXi 達 による安定分解 B( Z/ 2Z) D とVX, ･ が存在す ることが知 られているo従 って,B( Z/ 2Z) Dの安定ホモ トピー型 の研究は,各既約成分K･ の安 定ホモ トピー型の研究に帰着 され る｡ GLn( F2) の既約モジュラー表現達の中で, St e i nbe r g表現 は唯 1つの射影 的表現であ Z/ 2Z) Dの成分 M ( n) はKuhn,Mi t c he l l ,Pr i ddy等 によ り多 り,その性質が良 く知 られてい る｡ このため,対応す るB( くの研究がな されている. しか しなが ら,これまでの研究は分類空間B( Z/ 2Z) D そのもののSt e i nbe r g 成分の安定ホモ トピー 型の研究 に止まってお り,階数 1の ときに上で述べた よ うなMa ho wal ds pe c t r umの一般化,お よびその階層付 けについて はこれまで知 られていない｡ Z/ 2Z) Dを考 えるのではな く,B( Z/ 2Z) n上の被約正則表現の負数 も込 めた整数倍 のベ ク トル 高安氏は単に分類空間B( 束のTho m複体のSt e i nbe r g 成分M ( n)kを考 え, 自然な写像 -M ( n)五 一M ( n)A .1 - に関す る射影極限M ( n). ∞が一般の階数 におけるMa ho wal ds pe c t r umの役割 を果たすであろ うと考 えた. このs pe c t r umは安 定球面S nと安定ホモ トピー同値であろ うと予想 されてい るが, これが球面の安定ホモ トピー群 の計算 に有効であるために n)_ ∞の階層付 けにおける階差,つま り,上の写像 M ( n)A -M ( n)i .1の コファイバーの構造 を求めなければな らない｡ は, ( 高安氏の主定理は安定ホモ トピー同値 M( n)A +1 /M ( n)kと ∑ k 'l M( n- 1)2k .1 の存在 を主張 してい るが, これは階数 nの問題 を階数n- 1の問題 に帰着 させ ることを可能 に してお り,大変興味深い結果 である｡ また,この結果か らすべての階数 に渡 り複合化 されたルー ト不変量が定義 され,球面の安定ホモ トピー論 に強力な 手法 を与 えるもの と思われ る｡ よって本論文は博士 ( 理学)の学位論文 として価値 あるもの と認 め,合格 と判定 した｡ - 207-
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