1( )( ek E k E ek E tm − = + − = k E k E m = − = )

3.1. 大気の定常状態
1.ワンボックスモデルを考え、質量保存の方程式を解く。
ここで、 P = E (kgs −1 ), L = km(t) (kgs −1 )である
dm(t )
= E − km(t )
dt
この式を解くと、
m(t ) = −
=
E − kt E
e +
k
k
E
(1 − e − kt )
k
となる。また、
E
(1 − 0)
k
E
=
k
m∞ =
2.
m(τ )
= 1 − e − kτ
m∞
= 0.63
また、t=3τ の時は、
m(τ )
= 1 − e − k ×3τ
m∞
= 0.95
3.
発電所の停止後の質量保存の方程式は以下となる。
dm(t )
= − km(t )
dt
この式を解くと、
m(t ) = m(0)e − kt
となる。発電所が t=0 で停止したと考える(m(0)=m∞)と、
m(t )
= e − kt = 0.05
m∞
t=
ln 20
k
3.2. アメリカから放出される汚染大気の換気
1. 右図の様なボックスモデルを考える。
τ out = LWh / UWh
= 5000(km) / 10(ms −1 )
Fin: U=10m/s
Fout: U=10m/s
= 5 × 10 ( s )
= 5.8(days)
5
h
W
L=5000 km
2.
dm
m
m
=E−
−
dt
τ chem τ out
E=
m
τ chem
+
m
τ out
1
m
f =
0.8
τ chem
0.6
E
f
m
=
0.4
τ chem
m
τ chem
+
m
τ out
1
=
1+
τ chem
τ out
0.2
0
0
1
τ
OUT
2
/τ
3
4
CHEM
グラフ化すると右図になる。τCHEM がτOUT (~6days)よりも長い物質に対しては f>0.5 となり、
効率的に輸送されることが分かる。
3.3. 成層圏−対流圏交換
1.
dmS
= −k ST mS + kTS mT − k d mS
dt
dmT
= + k ST mS − kTS mT − k d mT − k D mT
dt
ここで、kd は放射壊変による消失速度、kD は湿性沈着による消失速度である。
2.
1.で与えられた式において、kTS は無視できると仮定すると、以下の式が与えられる。
dmS
1
= −( + k d )mS
dt
τS
1
τS
+ kd =
1
τS
+
1
28
= 0.77
τ S = 1.36
3.
定常状態を考えると以下の式が成り立つ。
m S ' k ST = mT ' k TS
よって、τT は以下の式により求まる。
τ T = 1 / k TS
=(
mT '
) / k ST
mS '
1000 − 150
) / 1.33
150 − 1
= 7.6( years)
=(
4. 放出された HCFCs が成層圏に輸送される割合 f は以下の式で求まる。
f =
1/τ T
1 / τ T + 1 τ chem
τchem=1.4 years で f=16%
τchem=5.9 years で f=44%
3.4. 両半球間の交換
1.
南北半球それぞれの質量保存の方程式は以下で表される。
dm N
= E − k c m N − km N + kmS
dt
dmS
= − k c mS − kmS + km N
dt
上式の引き算を行い、
k=
d (mN − mS )
= 0 を代入すると以下のように k が求まる。
dt
E
k
− c
2(mN − mS ) 2
= 1.04
τ = 0.96( yr )
d (m N − mS )
= E (t ) − (2k + k c )(m N − m S )
dt
E
+ Ae − kt
k
τ = 1/ k
(m N − m S ) =
= 1 /( 2k + k c )
= 0.47( years)
mN-mS は、85Kr の排出量の変化と比べて短時間(0.5 年)で安定するので、mN-mS は一定である
という仮定は妥当である。
d [ SO2 ]
= − k1 [ SO2 ]
dt
d [ H 2 SO4 ]
= k1 [ SO2 ] − k 2 [ H 2 SO4 ]
dt
[ SO2 ] = [ SO2 ]0 e − k1t
[ H 2 SO4 ] =
[SO ]
2 0
[SO ]
2
[H SO ]
Concentrations
3.5. 酸性物質の長距離輸送
k1[ SO2 ]0 −k1t
(e − e −k2t )
k1 − k2
2
0
500
1000
[H2SO4]が最大となるのは、グラフと d[H2SO4]/dt より
t =1/(k1-k2)ln(k1/k2)
=3.05 days
x=Ut をもちいて距離に換算すると、
x=5(m/s)×3.1(days)
=1300 (km)
3.6. 都市大気のボックスモデルとコラムモデル
(1) この都市を一つのボックスと考えると、以下の式が成り立つ。
d ([ X ]( LWh))
= E ( LW ) − [ X ](UWh)
dt
d[ X ] E U
= − [X ]
dt
h L
ここで d[X]/dt=0 とすると、
X=EL/Uh (molecules m-2s-1)
(2) パフモデルを用いると、
d ([ X ]](∆LWh))
= E (∆LW )
dt
E
[ X ] = t (0 < t < L / U )
h
1500
4
2000
Length (km)
2500
3000
数密度の平均は、以下となる。
∫
t =L /U
t =0
[ X (t )]dt L U =
EL
2Uh
3.7. モントリオール議定書
1.
CFC-12 の質量保存の方程式は以下となる。
dm
= E − km
dt
これを解くと、
m(t ) = m(0)e −kt +
m (∞ ) =
E
(1 − e −kt )
k
E
k
E=2×108(kg yr-1)に減らすと、
m(∞) = 2 × 1010 (kg )
2.
E
E
m(t) = (m(1989) - )e -k((t -1989) +
(t : 1986 ~ 1996)
k
k
m(t) = m(1996)e -k((t -1996) (t : 1996 ~)
m(1996) = 1.20 × 1010 (kgyr −1 )
m(2050) = 7.0 × 10 9 (kgyr −1 )
m(2100) = 4.2 × 10 9 (kgyr −1 )
3.
E
E
m(t) = (m(1989) - )e-k((t-1989) +
(t : 1986 ~ 2006)
k
k
m(t) = m(2006)e-k((t-2006) (t : 2006 ~)
m(2006) = 1.47 × 1010 (kgyr −1 )
m(2050) = 9.5 × 109 (kgyr −1 )
m(2100) = 5.7 × 109 (kgyr −1 )
対策が 10 年遅れると、結果として CFC の減少は 50 年遅れることになる！

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