レッスン 10 ジョルダン分解 Part II

再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
ジョルダン分解
Part II
このレッスンでは、ジョルダン分解の応用として、行列関数の定義、スペクトル写像定
理、微分方程式解法を扱う。行列関数
f ( A) の定義には、最初の節で定義する M 演算による方
法がわかりやすい。直接代入形→ジョルダン分解代入形である M 演算形→コーシーの積分公式
1
f (λ )(λ I − A) −1 dz の順に一般化していく。ここに、f (λ ) は A のスペクトル（固
∫
C
2π i
有値全体）を含む、複素領域内でいたるところ微分可能な関数、 C は A のスペクトルを内部に
f ( A) =
含むその領域内の閉積分路、を表す。 M 演算形からスペクトル写像定理
「 det( A − λ I ) = (λ1 − λ )
(λn − λ ) なら、 det( f ( A ) − λ I ) = ( f (λ1 ) − λ )
( f (λn ) − λ ) 」が
tA
簡単に出る。最後に、行列関数 e の定係数線形微分方程式解法への応用を示す。複素解析から
の必要な知識はその都度のべる。
10.1
M 演算
f (λ ) を微分可能な複素関数とし（今はどんな集合上で微分可能かは問題としない）、
f (λ ) に対応して次の n 次上三角行列を定義する（ n = 1, 2, ）：
⎡f
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
(n)
(n)
(1) M ( f (λ )) ≡ M ( f ) ≡ M ( f ) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣ 0
f (1)
f (2) / 2!
f
f (1)
f (2) / 2!
f
f ( n −1) /(n − 1)! ⎤
⎥
f ( n − 2) /(n − 2)!⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
(1)
(2)
f
f / 2! ⎥
⎥
f
f (1)
⎥
f
⎥⎦
ただし、記号 M ( f ) は、 n の値が前後関係から明らかな場合にのみ使う。 M ( f ) の主対角成分
f (λ ) 、その一本上の対角成分はすべて 1 階微分 f (1) (λ ) ≡ f ' (λ ) 、その一本上の対角
(2)
成分はすべて 2 階微分 f (λ ) / 2! 、
・・・である。演算 f → M ( f ) を仮に M 演算 M operation
はすべて
と呼んでおく。
例1
f (λ ) = 0 なら、 M ( f ) = M (1) = 0
⎡1
f (λ ) = 1 なら、 M ( f ) = M (1) = ⎢
⎢
⎢⎣0
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0⎤
⎥ = I （単位行列！）
⎥
1 ⎥⎦
1
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0⎤
⎡λ 1
⎢
⎥
⎢
⎥ ≡ J ( n ) (λ ) （ジョルダンブロック！）■
f (λ ) = λ なら、 M ( f ) = M (λ ) =
⎢
λ 1⎥
⎢
⎥
λ⎦
⎣0
M 演算の価値は次の算法が成立する点にある：
(2) M ( f ± g ) = M ( f ) ± M ( g )
(3) M (cf ) = cM ( f ) （ c は複素定数）
(4) M ( fg ) = M ( f )M ( g ) = M ( g )M ( f ) （積の高階微分に関するライプニッツの定理）
M ( f −1 ) = M −1 ( f ) （ f ≠ 0 ）
−1
−1
(6) M ( f / g ) = M ( f )M ( g ) = M ( g )M ( f ) （ g ≠ 0 ）
(5)
証明
(2)(3)は明らか。(4)は積の高階微分に関するライプニッツの定理
n
( fg )( n )
f ( k ) g ( n−k )
−1
=∑
から出る。(5)は I = M (1) = M ( f ⋅ f ) に(4)を適用すればよい。最
n!
k = 0 k ! ( n − k )!
−1 *
−1 *
* −1
。■
後の関係は ( f / g ) = ( f ⋅ g ) = f ( g ) （(4)による） = f ( g ) （(5)による）
*
*
*
例 2 (5)より M (λ ) = M (λ ) が成り立つ。展開すれば
−1
−1
⎡λ 1
⎢
λ
(J ( n ) (λ )) −1 = ⎢
⎢
⎢
⎣0
（∵ (λ )
−1 ( k )
⎡λ −1 − λ −2
⎢
−1
λ −1
0⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ =⎢
1⎥
⎢
⎥
⎢
λ⎦
⎢
⎢0
⎣
/ k ! = (−1) k λ −1− k , k = 1, 2,
λ −3
(−1) n −1 λ − n ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ （λ ≠ 0）
λ −3 ⎥
⎥
− λ −2 ⎥
λ −1 ⎥⎦
）■
例 3 公式(4)より
M (a0 λ p + a1λ p −1 +
+ a p −1λ + a p )
= a0 M (λ ) p + a1M (λ ) p −1 +
= a0 J p + a1J p −1 +
例4
M(
+ a p −1M (λ ) + a p M (1)
+ a p −1J + a p I （ J ≡ J ( n ) (λ ) →例 1 参照）■
前例の結果と公式(6)より
a0 λ p + a1λ p −1 +
+ a p −1λ + a p
b0 λ + b1λ
+ bq −1λ + bq
q
q −1
+
= (a0 J p + a1J p −1 +
)
（ただし、 b0 λ + b1λ
+ a p −1J + a p I )(b0 J q + b1J q −1 +
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q
q −1
+
+ bq −1λ + bq ≠ 0 ）
+ bq −1J + bq I ) −1
2
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= (b0 J q + b1J q −1 +
10.2
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+ bq −1J + bq I ) −1 (a0 J p + a1J p −1 +
+ a p −1J + a p I ) ■
多項式 P ( A)
いま、 P (λ ) = a0 λ + a1λ
p
p −1
+
+ a p −1λ + a p を与えられた多項式とし、 P( A) について
考える。ここに、 A は与えられた n 次行列をあらわし、そのジョルダン分解を
A = VJV −1 、ここに
⎡ J ( n1 ) (λ1 )
⎢
J=⎢
⎢0
⎣
⎤
⎥
( n1 )
⎥ ≡ diag{J (λ1 ),
J ( nr ) (λr ) ⎥⎦
0
, J ( nr ) (λr )}
0⎤
⎡λk 1
⎢
⎥
⎥ （ n は次数、 k = 1,
J ( nk ) (λk ) = ⎢
k
⎢
λk 1 ⎥
⎢
⎥
λk ⎦
⎣0
, r 、前節例 1 で使った記法と同じ）
とする。ゆえに、 A の特性多項式は det( A − λ I ) = (λ1 − λ )
n1
(λr − λ ) nr である。
すると次の関係が成り立つ：
(1)
P( A) = V ⋅ diag{ P(J ( n1 ) (λ1 )),
= V ⋅ diag{M ( n1 ) ( P (λ1 ),
ここに、 M
(2)
( nk )
, P(J ( nr ) (λr )) } ⋅ V −1
, M ( nr ) ( P(λr )} ⋅ V −1
( P(λk )) とは M ( nk ) ( P(λ )) に λ = λk を代入した値を意味する。これよりまた
det( P( A) − λ I ) = ( P(λ1 ) − λ )n1
( P (λr ) − λ )nr
が従う。すなわち、 P ( A) の固有値は {P (λ1 ),
る。原行列の固有値 {λ1 ,
λ1 ;
; λr ,
P(λ1 );
; P(λr ),
P(λr )} によって与えられ
λr } と対比する立場から、この事実をスペクトル写像
定理 spectral mapping theorem という。
証明
P ( A) = P(VJV −1 ) = VP(J )V −1 （直接計算）
= V ⋅ diag{ P(J ( n1 ) (λ1 )),
, P(J ( nr ) (λr )) } ⋅ V −1 （直接計算）
= V ⋅ diag{M ( n1 ) ( P(λ1 )),
, M ( nr ) ( P(λr ))} ⋅ V −1 （前節例 1 による）
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3
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これで(1)が示された。最後の式内の diag{
} は {P(λ1 ),
P(λ1 );
; P(λr ),
P(λr )} を対角
成分としてもつ上三角行列を表す。これより(2)が従う。■
以上の結果を見ると、(2)式は P ( A) を前節で定義した M 演算によって表現している（この
点が値打ち！）。第 2 に、この式中における P (λ ) の関与は A のスペクトル（＝固有値全体）上
における P, P ', P
(2)
,
の値だけである。これは多項式以外の複素関数
f (λ ) に対する f ( A) の
定義に役立つ事実である（後ほど示す）
。
例1
いま、 P (λ ) = λ
2
− 2λ − 1 、与えられた 3 次行列 A のジョルダン分解を
⎡α 1 0 ⎤
A = VJ (α )V = V ⎢⎢ 0 α 1 ⎥⎥ V −1
⎢⎣ 0 0 α ⎥⎦
−1
(3)
とする。 A の特性多項式は det( A − λ I ) = (α
− λ )3 によって与えられる。上式(1)により
⎡ P (a ) P '(α ) P ''(α ) / 2 ⎤
P ( A) = VM ( P (α ))V = V ⎢⎢ 0
P (a ) P '(α ) ⎥⎥ V −1
⎢⎣ 0
P (a ) ⎥⎦
0
(3)
−1
⎡α 2 − 2α − 1 2α − 2
⎤
1
⎢
⎥
=V⎢
0
α 2 − 2α − 1 2α − 2 ⎥ V −1
⎢
0
0
α 2 − 2α − 1⎥⎦
⎣
ゆえに、 P ( A) = A
− 2A − I の特性多項式は確かに
det( P( A) − λ I ) = (α 2 − 2α − 1 − λ )3 = ( P(α ) − λ )3 によって与えられる。■
例 2 A, P ( A) は一般に異なるジョルダン標準形をもつ。実際、
2
⎡0 1 0 ⎤
⎡0 0 1⎤
⎢
⎥
2
A = ⎢0 0 1 ⎥ なら、A = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , A 3 = 0 である。A, A 2 , A 3 の一次独立な固有ベクトル
⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
は、それぞれ、1、2、3 個存在する。ゆえに、レッスン 9 の結果により、ジョルダンブロック
の総数は、それぞれ、1、2、3 である。すなわち、 A, A
2
, A3 のジョルダン標準形は、 A 自体、
⎡0 0 0⎤
⎢ 0 0 1 ⎥ 、 0 である。■
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
10.3
分数関数 P( A)Q −1 ( A )
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P (λ ) = a0 λ p + a1λ p −1 +
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+ a p −1λ + a p 、 Q(λ ) = b0 λ q + b1λ q −1 +
+ bq −1λ + bq を与えら
れた多項式、 A を与えられた n 次行列とすれば、 P (λ )Q (λ ) = Q(λ ) P (λ ) が成り立つから、
P ( A)Q( A) = Q( A) P( A) も成り立つ。 Q −1 ( A) が存在すれば、これより
Q −1 ( A) P( A) = P( A)Q −1 ( A) も出る。そこで、これを分数関数 R (λ ) ≡ P(λ ) / Q(λ ) 中の“ λ に
A を代入したもの”と定義する。すなわち、
−1
−1
(1) R ( A) ≡ Q ( A) P ( A) = P ( A)Q ( A)
そして、 A のジョルダン分解を考慮すれば、
Q −1 ( A) が存在する ↔ Q( A) の固有値はすべて非零 ↔ Q(λ1 ),
(2)
, Q(λr ) ≠ 0
（最後の同値性は前節で得られたスペクトル写像定理による）
いいかえれば、
「Q
−1
( A) が存在する」と「 A の固有値はどれも Q(λ ) の零点ではない」は同値
である。
A のジョルダン分解を前節で与えた形とすれば、同様の計算によって次式が従う：
R( A) = V ⋅ diag{ R(J ( n1 ) (λ1 )),
(1)
= V ⋅ diag{M ( n1 ) ( R(λ1 )),
, R(J ( nr ) (λr )) } ⋅ V −1
, M ( nr ) ( R(λr ))} ⋅ V −1
R( A) の特性多項式は
det( R( A) − λ I ) = ( R(λ1 ) − λ )n1
(2)
によって与えられる。仮定により、 λ1 ,
( R (λr ) − λ )nr
, λr はどれも R(λ ) の分母を 0 にしない。これは前節
のスペクトル写像定理の拡張を表す。
以上の証明は練習問題とする。
⎡α 1 0 ⎤
f (λ ) = 1/ λ 、A = VJ (α )V = V ⎢⎢ 0 α 1 ⎥⎥ V −1 とする。10.1 節例 2 を利用すれば、
⎢⎣ 0 0 α ⎥⎦
(3)
例
−1
⎡α −1 − α −2 α −3 ⎤
⎢
⎥
α −1 − α −2 ⎥ V −1
f ( A) = A −1 = V[M (λ −1 )]λ =α V −1 = V ⎢0
⎢0
α −1 ⎥⎦
0
⎣
det( A −1 − λ I) = (α −1 − λ )3
■
10.4
コーシーの積分公式
前 2 節において、 f (λ ) ＝多項式または分数関数の場合は関係式
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(1)
f ( A) = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
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, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1
の成立することが示された。ここに、与えられた n 行列 A のジョルダン分解形を以前の形を引
き継いで（→10.2 節）
⎡ J ( n1 ) (λ1 )
⎢
−1
(2) A = VJV 、 J = ⎢
⎢0
⎣
としている（ n1 +
⎤
⎥
( n1 )
⎥ ≡ diag{J (λ1 ),
J ( nr ) (λr ) ⎥⎦
0
, J ( nr ) (λr )}
+ nr = n ）。
f , f (1) , f (2) ,
の値のみを与えれば確定することが看てとれる。そこで分数関数以外の関数 f (λ ) に対しても、
(1)を f ( A) の定義として採用するのが自然であろう。そして、 f (λ ) の範囲をどこまで広げる
1)式を見ると、右辺は A のジョルダン分解形と A のスペクトル上における
かは、むしろ、応用性の問題である。
そこで以下では与えらた A に対して、
(3)
f (λ ) ＝ A のスペクトルを含む複素平面上のある領域 G 内の各点で微分可能な関数
のみを考えることにする。解析学の教えるところによれば、(3)型の関数は G 内の至るところで
無限回微分可能である。
(I) 定義 (3)型の関数
f (λ ) に対して f ( A) を(1)により定義する。
ここに「領域」とは「開連結集合」をいう。正確な定義は専門書に譲るが、全平面、実部＞０
を満たす複素数の集合、周を含まない円板、三角形、長方形などの内部、はよく出てくる領域
の例である。
例1
分数関数
f (λ ) = P(λ ) / Q(λ ) に対応する領域 G の例：
●
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
●
●
G（周を含まない）
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●
6
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ここに、●印＝ A の固有値、x 印＝分母 Q(λ ) の零点、を表す。分母 Q(λ ) の零点はすべて G 外
にあるので、f (λ ) は G 内の各点で微分可能である。また、A のスペクトルは G 内にあるため、
Q(λ ) の各零点は A のどの固有値とも重ならない。ゆえに、Q −1 ( A) が存在し、 f ( A) の定義(1)
は意味をもつ。
(3)型の関数の重要な例は、10.2 – 3 節で扱った「 λ の多項式」
、
「分母が G 内の各点で 0 と
ならないような分数関数」の他、「 G 内の定点を中心とし、 G を収束円の内部に含むような冪
（ベキ）級数」が知られている。冪級数については後ほど詳しくのべる。
(II)
スペクトル写像定理
(4)
det( A − λ I ) = (λ1 − λ )
証明
(λn − λ ) なら det( f ( A) − λ I ) = { f (λ1 ) − λ} { f (λn ) − λ}
定義式(1)から明らか。■
(III)
(3)型の関数に対して本節の主題である次のコーシーの積分公式 Cauchy’s integral
formula が成立する：
f ( A) =
(5)
1
2π i ∫
C
f (λ ) ⋅ (λ I − A) −1 d λ
ここに C は A のスペクトルを内部に含む領域 G 内の閉積分路を表す。ここに右辺の積分は成分
ごとの積分、すなわち
f ( A) |( p , q ) =
1
2π i ∫
C
f (λ ) ⋅ (λ I − A) −1 |( p ,q ) d λ ( p, q = 1,
, n)
を表す。
証明
(6)
まず、複素関数論の最重要公式である、コーシーの積分公式
f (λ )
f (a) =
dλ
∫
C
2π i λ − a
1
f
および
(a)
1
f (λ )
d λ (k = 1, 2, )
=
∫
C
k!
2π i (λ − a) k +1
(k )
は既知であるとする。ここに a は C の内部にある任意点を表す。
次に、与えられたジョルダン分解より
(λ I − A) −1 = V (λ I − J ) −1 V −1 = Vdiag{(λ I − J ( n1 ) (λ1 )) −1 ,
(λ I − J ( nr ) (λr )) −1}V −1
これを(5)の右辺に代入すると、積分の線形性により
(7)
1
2π i ∫
C
f (λ ) ⋅ (λ I − A) −1 d λ =V{
= V ⋅ diag{
1
2π i ∫
C
1
2π i ∫
C
f (λ ) ⋅ (λ I − J ) −1 d λ}V −1
f (λ )(λ I − J ( n1 ) (λ1 )) −1 d λ ,
,
1
2π i ∫
C
f (λ )(λ I − J ( nr ) (λr )) −1 d λ} ⋅ V −1
ここで、10.2 節例 2 を利用すると
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⎡(λ − λk ) −1 (λ − λk ) −2
(λ − λk ) − nk ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(λ I − J ( nk ) (λk )) −1 = ⎢
⎥ （ k = 1,
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
(λ − λk ) −1 (λ − λk ) −2 ⎥
⎢
⎥
(λ − λk ) −1 ⎦⎥
⎣⎢0
,r ）
が得られる。これを上式に代入すると
1
2π i ∫C
cnk −1 ⎤
⎡ c0 c1
⎢
⎥
c0 c1
⎢
⎥
( nk )
−1
⎢
⎥
f (λ ) ⋅ (λ I − J (λk )) d λ =
⎢
⎥
c0 c1 ⎥
⎢
⎢0
c0 ⎥⎦
⎣
ここに、コーシーの積分公式(6)により、
1
c0 =
2π i ∫
cm =
1
C
f (λ ) ⋅ (λ − λk ) −1 d λ = f (λk ),
2π i ∫C
f ( m ) (λk )
f (λ ) ⋅ (λ − λk ) d λ =
(m = 1, 2, )
m!
−m
ゆえに、一つ前の式の右辺は M 演算で書けて
1
2π i ∫
C
f (λ ) ⋅ (λ I − J ( nk ) (λk )) −1 d λ = M ( nk ) ( f (λk ))
これを(7)に代入し、
1
2π i ∫
C
f ( A) の定義式(1)を参照すれば、
f (λ )(λ I − A) −1 d λ = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1 = f ( A) ■
先へ進む前にこれまでに得られた結果を簡単に復習すると、多項式
f (λ ) = a0 λ p + a1λ p −1 +
第 1 は直接代入形
第 2 は M 演算形
+ a p −1λ + a p に対する f ( A) の表現形式には 3 種ある：
f ( A) = a0 A p + a1A p −1 +
+ a p −1A + a p I 、
f ( A) = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
第 3 はコーシーの積分公式
f ( A) =
1
2π i ∫
C
, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1 、
f (λ ) ⋅ (λ I − A) −1 d λ
分数関数に対しても同様である。M 演算形はもともと直接代入形にジョルダン分解を代入して
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再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
得られたものであるが、その形から多項式、分数関数以外の関数族、すなわち、特定の領域内
の至るところで微分可能な関数、に対する
f ( A) の定義式として採用された。コーシーの積分
公式を定義式として採用すれば、 M 演算形は結果となる。分数関数を含み、一定の領域内で至
るところ微分可能な関数族として、応用上重要な冪級数が知られている。ゆえに、 f (λ ) が冪級
数を表す場合は、
10.5
f ( A) の定義が可能となる。そこで、次節以降は行列冪級数の話をする。
行列冪（ベキ）級数
最初に必要な予備知識をのべる。
(I) 冪級数 power series とは
(1)
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 +
∞
= ∑ ck z k
k =0
型の無限級数、すなわち、部分和 partial sum f l ( z ) =
ことをいう。ここに c0 , c1 ,
l
∑c z
k =0
k
k
, l = 0,1, 2,
の（無限）列、の
は与えられた複素数、 z は複素変数を表す。そして部分和の列が
z = a で収束すれば、極限値を冪級数の z = a における和 sum という。慣例により元の冪級数
自体を和の表現としても使う。すなわち、和を f ( a ) = c0 + c1a + c2 a +
2
∞
= ∑ ck a k と書く。
k =0
冪級数論は解析学の教科書に詳しい解説がある。
冪級数の際立った特徴は次の(I)(II)である：
(a) 収束半径の存在： z < R なら収束し、z > R なら(発散する（＝収束しない）ような数 R ≥ 0
が存在し、これを冪級数(1)の収束半径 radius of convergence という。また、 z = R を満たす z
全体を収束円 circle of convergence という。収束半径は R = 1/ lim sup
l →∞
l
cl によって与えられ
ることが知られている（分母 = 0 の場合は R = ∞ 、分母 = ∞ の場合は R = 0 とする）。収束円
上での冪級数の挙動は多様である。
(b)
微分可能性： R > 0 なら、冪級数は収束円の内部（周は除外）で至るところ無限回微分可
能な関数を表し、各階の導関数は項別微分で求めてよく、その収束半径は元の級数と同一であ
∞
= ∑ ck z k の収束半径を R > 0 とすれば、収束円の
る。すなわち、 f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z +
2
k =0
内部で
f (1) ( z ) =
∞
df
( z ) = c1 + 2c2 z + 3c3 z 2 +
dz
f (2) ( z ) = 2c2 + 6c3 z + 12c4 z 2 +
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= ∑ kck z k −1
k =1
∞
= ∑ k (k − 1)ck z k − 2
k =2
9
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が成立し、 f
(1)
( z ), f (2) ( z ),
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もすべて収束半径 R をもつ。
例1 応用上重要な冪級数と収束半径（証明略）
冪級数
収束半径
収束円上の挙動
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ez = 1 + z +
z 2 z3
+ +
2! 3!
sin z = z −
z3 z5
+ −
3! 5!
∞
cos z = 1 −
z2 z4
+ −
2! 4!
∞
∞
1
= 1 + z + z2 + z3 +
1− z
1
z = 1 なら発散
1+ z +
z 2 z3
+ +
2 3
1
z = 1 を除き、 z = 1 上で収束
1+ z +
z2 z3
+ +
22 32
1
z = 1 上の各点で収束
項別微分により
d z
d
d
e = e z , sin z = cos z ,
cos z = − sin z ( z < ∞)
dz
dz
dz
∞
d
(1 − z ) −1 = (1 − z ) −2 = 1 + 2 z + 3 z 2 +
dz
= ∑ kz k −1 ( z < 1)
d
z 2 z3
(1 + z + + +
dz
2 3
) = 1+ z + z2 +
= (1 − z ) −1 ( z < 1)
d
z2 z3
(1 + z + 2 + 2 +
dz
2 3
) = 1+
z 2 z3
+ +
2 3
k =1
( z < 1)
(II) 行列冪級数行列の（無限）列 {A k } ( A k ∈ C
m×n
■
, k = 1, 2, ) が A ∈ Cm×n に収束すると
は成分ごとに収束する to convergence componentwise、すなわち、
A k = ⎣⎡ aij( k ) ⎦⎤ → A = ⎣⎡ aij ⎦⎤ (k → ∞) ↔ aij( k ) → aij (k → ∞) (i = 1,
, m, j = 1,
, n)
を意味するものと定義する。これが任意の行列ノルム ⋅ に関する収束 A k − A → 0 と同値で
あることはレッスン 14 で証明する。無限級数 c0 I + c1A + c2 A
2
+
∞
= ∑ ck A k とは、スカラー
k =0
級数の場合と同じく、部分和の（無限）列を意味するものとし、この列が収束するとき、元の
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10
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
冪級数は収束するといい、級数表現自体を和の表現として使う。極限値を和と呼ぶこともスカ
ーラー級数の場合と同じである。
例2
0⎤
⎡λ 1
⎢
⎥
(n)
k
⎢
⎥
J → 0 (k → ∞) ↔ λ < 1 ここに、 J = J (λ ) =
⎢
λ 1⎥
⎢
⎥
λ⎦
⎣0
証明 10.1 で学んだ M 演算を使えば
⎡c0( k ) λ k c1( k ) λ k −1
cn( k−1) λ k − n +1 ⎤
⎢
⎥
c0( k ) λ k
c2( k ) λ k −1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
J k = M k ( λ ) = M (λ k ) = ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
c0( k ) λ k c2( k ) λ k −1 ⎥
⎢
⎢0
c0( k ) λ k ⎥⎦
⎣
ここに
cl( k ) =
k!
k (k − 1) (k − l + 1)
=
= O(k l ) (k = 0,1,
l !(k − l )!
l!
ゆえに、 k → ∞ のとき、
, l = 0,1,
λ < 1 なら、 cl( k ) → 0 、 λ ≥ 1 なら、 cl( k ) → ∞ 。
, n − 1)
■
(III) 直接代入形の成立いま、 A を与えられた n 次行列、
f (λ ) = c0 + c1λ + c2 λ 2 +
∞
= ∑ ck λ k を A のスペクトルを収束円の内部に含むような冪級数
k =0
とすれば、
(2)
(3)
直接代入形
M 演算形
f ( A) = c0 I + c1A + c2 A 2 +
f ( A) = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
(4) コーシーの積分公式
f ( A) =
1
2π i ∫
C
∞
= ∑ ck A k
k =0
, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1 、
f (λ ) ⋅ (λ I − A) −1 d λ A
はすべて同一の行列を表す。ここに A のジョルダン分解は 10.2 節と同一形にとっている：
⎡ J ( n1 ) (λ1 )
⎢
A = VJV −1 、 J = ⎢
⎢0
⎣
⎤
⎥
( n1 )
⎥ ≡ diag{J (λ1 ),
J ( nr ) (λr ) ⎥⎦
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0
, J ( nr ) (λr )} 、
11
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
0⎤
⎡λk 1
⎢
⎥
⎥ （ n 次行列、 k = 1,
J ( nk ) (λk ) = ⎢
k
⎢
λk 1 ⎥
⎢
⎥
λk ⎦
⎣0
証明
(I)(を受け入れれば、
,r ）
f ( A) は前節で示したように、 M 演算形またはコーシーの積分公
式によって定義でき、両者は等しい。ゆえに、(2) = (3)を示せばよい。冪級数の第 k 部分和
k
f k (λ ) = ∑ cl λ l （ l = 0,1,
）に対しては(2) = (3)が成立しているから
l =0
k
f k ( A) = ∑ cl A l = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f k (λ1 )),
l =0
, M ( nr ) ( f k (λr ))} ⋅ V −1
ここで k → ∞ とすれば、上でのべた冪級数の性質(a)(b)(c)と各 M 演算の形から、右辺は
V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
k
∞
l =0
l =0
, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1 に収束する。ゆえに、
lim ∑ cl Al = ∑ cl A l = = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f k (λ1 )),
k →∞
, M ( nr ) ( f k (λr ))} ⋅ V −1
これは証明すべき式に他ならない。■
tλ
は e 型の数である。 z = a + ib （ a, b は実
z
（注意）一般に A の固有値は複素数だから、 e 1 ,
数）とすれば、 e
例 1
z
= ea (cos b + i sin b) である。
行列指数関数 e
tA
冪級数 e
λ
= 1+ λ +
λ2
2!
+
λ3
3!
+
スカラー定数 t 、任意の複素変数 λ に対して、 f (λ ) ≡ e
る。ゆえに、任意の t 、任意の n 次行列 A に対して
の収束半径は ∞ であるから、任意の
tλ
= 1 + tλ +
t 2 λ 2 t 3λ 3
+
+
2!
3!
f ( A ) = e tA = 1 + t A +
も収束す
t 2 A 2 t 3A3
+
+
2!
3!
も
収束する。すると、上の一般論から
etA = f ( A) = V ⋅ diag{M ( n1 ) ( f (λ1 )),
そして、右辺の各対角ブロック M
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( nk )
, M ( nr ) ( f (λr ))} ⋅ V −1
( f (λk )) は直接計算から次式によって与えられる：
12
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
M ( nk ) ( f (λk )) = etλk
⎡1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
0
⎣⎢
t
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
t nk −1 /(nk − 1)!⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
t 2 / 2!
⎥
⎥
⎥
⎥
1
t
⎥
1
⎦⎥
t 2 / 2!
（k
= 1,
,r ）
例として、 3 次行列 A のジョルダン分解を
⎡ 2 0 0 ⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡ 2 0 0 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤
⎡ J (1) (2) 0 ⎤ −1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−1
A = ⎢0 2 0 ⎥ = ⎢1 0 0 ⎥ ⎢0 2 1 ⎥ ⎢0 0 1⎥ ≡ VJV ≡ V ⎢
⎥V
0
J (2) (2) ⎦
⎣
⎢⎣1 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦
tA
とすれば、 e は次式によって与えられる：
⎡e2t [1]
0 ⎤
⎢
⎥ −1
etA = V ⎢
V
2 t ⎡1 t ⎤ ⎥
0
e
⎢0 1⎥ ⎥
⎢
⎣
⎦⎦
⎣
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎡ 0 0 1⎤
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
2t ⎢
2t ⎢
= ⎢1 0 0 ⎥ (e ⎢ 0 1 t ⎥ ) ⎢ 0 0 1⎥ = e ⎢0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣t 0 1 ⎥⎦
⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦
10.6
定係数線形微分方程式への応用
■
Part I
tA
本節では前節例 1 で定義した行列指数関数 e の応用として、定係数線形同次微分方程式
⎡d
⎤
⎢ dt y0 (t ) ⎥
⎡ y0 (t ) ⎤ ⎡ a11
⎢
⎥ d ⎢
⎥=⎢
(1) ⎢
⎥≡ ⎢
⎥
⎢
⎢d
⎥ dt ⎢ y (t ) ⎥ ⎢ a
⎣ n −1 ⎦ ⎣ n1
⎢ yn −1 (t ) ⎥
⎣ dt
⎦
について考える。ここに a11 ,
a1n ⎤ ⎡ y0 (t ) ⎤
⎥⎢
⎥
⎥⎢
⎥
ann ⎥⎦ ⎢⎣ yn −1 (t ) ⎥⎦
は既知（複素）定数、y1 (t ),
（行列形：
dy (t )
= Ay (t ) ）
dt
は未知関数、t は独立変数を表し、
「行列の微分は成分ごとの微分」と定義する。最初に
(2)
d tA
e = AetA
dt
を示す。実際、前節例 1 で示したように、任意の t 、任意の A に対して、冪級数展開
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13
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
etA = I + tA + t 2
A 2 3 A3
+t
+
2!
3!
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
が成立する。ゆえに、右辺の各行列成分は t に関して収束半径
∞ の冪級数を表す。ゆえに、各成分の微分は項別微分に等しく、これは etA の微分は右辺を直接
t で微分してよいことを意味する。ゆえに、
d tA d
A 2 3 A3
e = ( I + tA + t 2
+t
+
dt
dt
2!
3!
) = 0 + A + tA 2 + t 2
[
(2)の両辺に右から任意ベクトル c = c1 ,
A3
+
2!
cn ] を乗じると、
T
= AetA
d tA
e c = AetA c となるから、
dt
y = e tA c
(3)
は(1)の解を表すことがわかる。そして、(1)の解はこれ以外にないことは微分方程式論の教える
tA
ところである。結論として、微分方程式(1)の解法は e の計算に帰すことがわかる。
⎡1 0 0 ⎤
⎡2 0 0⎤
dy (t )
⎥
⎢
⎥
tA
2t ⎢
= Ay (t ) の解は
例 1 A = 0 2 0 なら、 e = e 0 1 0 ゆえ（前節例 1）
、
⎢
⎥
⎢
⎥
dt
⎢⎣t 0 1 ⎥⎦
⎢⎣1 0 2 ⎥⎦
⎡ c1
⎤
⎡1 0 0 ⎤
⎥
⎢
⎥
2t ⎢
y = e c = e ⎢ 0 1 0 ⎥ c = e ⎢ c2
⎥ によって与えられる。ここに、 c1 , c2 , c3 は任意定数を
⎢⎣ c1t + c3 ⎥⎦
⎢⎣t 0 1 ⎥⎦
tA
2t
表す。微分方程式に代入すれば検算できる。■
10.7
定係数線形微分方程式への応用
Part II
本節では前節の方法により、定係数常微分方程式
(1)
a0 y + a1 y (1) +
+ an −1 y ( n −1) − y ( n ) = 0 （ y = y (t ), y (1) =
が解けることを示す。ここに a0 ,
(2)
f (λ ) = a0 + a1λ + a2 λ 2 +
dy (1) (t )
,
dt
, an −1 は既知（複素）定数を表す。(1)に対応して多項式
+ an −1λ n −1 − λ n = −(λ − λ1 ) n1
(λ − λr ) nr
を考え、(1)の特性多項式という。ここに右辺の因数分解形における λ1 ,
数を表し、 n1 +
）
, λr は異なる（複素）
+ nr = n としている。
前節の方法を適用するため、まず(1)を次のように行列形に書き直す：
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14
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
⎡
⎢
⎢
⎢
(3) ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
1 0
0 1
0 0
a0 a1
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
⎤
⎡ y ⎤
⎥⎡ y ⎤
⎢ (1) ⎥
⎥ ⎢ y (1) ⎥
⎥ d ⎢y ⎥
⎥⎢
⎥ ： Ay = dy
⎥= ⎢
⎥⎢
dt
⎥
⎥ dt ⎢
⎥⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
0 1 ⎥ ⎢ ( n −1) ⎥
⎢ y ( n −1) ⎥
⎥ y
⎦
⎣
⎦
an − 2 an −1 ⎥⎦ ⎣
0
0
0
0
左辺の n × n 行列 A を(1)のコンパニオン行列 companion matrix という。 A の特性多項式
と微分方程式(1)の特性多項式との間には簡単な関係がある： det( A − λ I ) = ( −1)
f (λ ) （検
算して下さい）。また、 A の任意の固有値 α に対応する固有ベクトルは、 ( A − α I )x = 0 を解
けば簡単に出るように、 ⎡⎣1, −α , α , −α ,
2
3
n +1
T
⎤⎦ のスカラー倍に限られる。ゆえに、各異なる固有
値に対応するジョルダンブロックは 1 個のみ存在する。ゆえに A のジョルダン分解は
(4)
A = VJV −1 = V ⋅ diag{J ( n1 ) (λ1 ),
, J ( nr ) (λr )} ⋅ V −1
すると、前節の結果から(3)の解は
(5)
y = e tA c '
⎡1
⎢
⎢
⎢
⎢
= V ⋅ diag{etλ1 ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣0
t
t 2 / 2!
t n1 −1 /(n1 − 1)!⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
t 2 / 2!
⎥,
⎥
⎥
⎥
1
t
⎥
1
⎥⎦
}⋅ c
よって与えられる。ここに c ' は任意ベクトルを表す（ゆえに c = V
−1
c ' も任意）。求める未知関
数 y (t ) は y の第 1 成分であるから
(6)
y = e1T y = (e1T V ) ⋅ diag{ } ⋅ c （ e1 = [1 0 0
0] ）
T
ゆえに、特性多項式の各零点、その重複度、 V の第 1 行がわかれば未知関数 y が定まることに
なる。さいわい、特性多項式
f (λ ) の零点と重複度がわかれば、 V は陽に記述できる。例によ
って示す。
例1
n = 5 とし、次の微分方程式を考える：
a0 y + a1 y (1) + a2 y (2) + a3 y (3) + a4 y (4) − y (5) = 0 （ a0 ,
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, a4 は既知複素定数）
15
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
特性多項式は次式で与えられる： f (λ ) = a0 + a1λ + a2 λ + a3λ + a4 λ − λ
2
3
4
5
微分方程式を行列形で書くと
⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ a0
⎡y ⎤
0⎤ ⎡y ⎤
⎢
⎥
⎢ (1) ⎥
(1)
1 0 0 ⎥⎥ ⎢ y ⎥
⎢y ⎥
dy
d
0 1 0 ⎥ ⎢ y (2) ⎥ = ⎢ y (2) ⎥ ： Ay =
⎥ dt ⎢
⎥
dt
⎥⎢
0 0 1 ⎥ ⎢ y (3) ⎥
⎢ y (3) ⎥
⎢ (4) ⎥
a2 a3 a4 ⎥⎦ ⎢ y (4) ⎥
⎣
⎦
⎣y ⎦
1 0
0
0
0
a1
0
この場合は det( A − λ I ) =
f (λ ) である。
ここから先の話は f (λ ) の因数分解形に依存する。
f (λ ) = 0 が 5 重根をもつ場合
(A)
f (λ ) = −(λ − α )5 とする。すると、次の 5 式が成立する：
0 = f (α ) / 0! = a0 + a1α + a2α 2 + a3α 3 + a4α 4 − α 5
0 = f (1) (α ) /1! = a1 + a2 2α + a3 3α 2 + a4 4α 3 − 5α 4
0 = f (2) (α ) / 2! = a2 + a3 3α + a4 6α 2 − 10α 3
0 = f (3) (α ) / 3! = a3 + a4 4α − 10α 2
0 = f (4) (α ) / 4! = a4 − 5α
これは次の行列形に書ける：
AV = VJ ：
⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ a0
1
0
0
0
a1
0
1
0
0
a2
0
0 0 ⎤ ⎡1
⎢
1
0 0 ⎥⎥ ⎢α
2
1 0 ⎥ ⎢α 2α
⎥⎢
0 1 ⎥ ⎢α 3 3α 2
a3 a4 ⎥⎦ ⎢⎣α 4 4α 3
0⎤ ⎡ 1
0
⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢α
1
2
1 0 0 ⎥ = ⎢α 2α
⎥ ⎢
3α 1 0 ⎥ ⎢α 3 3α 2
⎥ ⎢
6α 2 4α 1 ⎦ ⎣α 4 4α 3
0
0
0 ⎤ ⎡α
⎥
0⎥ ⎢0
⎢
1 0 0 ⎥ ⎢0
⎥⎢
3α 1 0 ⎥ ⎢ 0
⎥
6α 2 4α 1 ⎦ ⎢⎣ 0
0
0
0
0
0
0
1 0
α 1
0 α
0 0
0 0
0 0⎤
0 0 ⎥⎥
1 0⎥
⎥
α 1⎥
0 α ⎥⎦
これは実際に乗算を実行すれば確認できる。ここに V の各列は各式
0 = f (α ), 0 = f (1) (α ), 0 = f (2) (α ) / 2!,
中における a0 ,
, a4 の係数を読み取って上から順
に並べたものになっている。また、各行は見かけ上、 (α + 1)
, (α + 1)1 , (α + 1) 2 , を展開し左
から降冪順に並べたものになっている。V は可逆行列（∵ det V = 1 ）であるから、上式は A の
0
ジョルダン分解形を与えている。
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16
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
以上により、 y は次式によって与えられる：
⎡1 t
⎢
⎢ 1
y = e1T etα ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
t 2 / 2! t 3 / 3!
tα
t
t 2 / 2!
1
t
1
tα
2 tα
3 tα
t 4 / 4!⎤
⎥
t 3 / 3! ⎥
t 2 / 2!⎥ c = etα ⎡⎣1, t , t 2 / 2!, t 3 / 3!, t 4 / 4!⎤⎦ c
⎥
t ⎥
⎥
1 ⎥
⎦
4 tα
すなわち、 y (t ) は e , te , t e , t e , t e の任意の一次結合によって与えられる。念のため
( D − α )5 (t k etα ) = 0 (k = 0,1, 2,3, 4) （ D = d / dt ）を検算して下さい。
(B) f (λ ) = 0 が単根 5 個をもつ場合 f (λ ) = −(λ − α )(λ − β )(λ − γ )(λ − δ )(λ − ε )
とする。すると次の 5 式が成立する：
0 = f (α ) = a0 + a1α + a2α 2 + a3α 3 + a4α 4 − α 5
0 = f (ε ) = a0 + a1ε + a2ε 2 + a3ε 3 + a4ε 4 − ε 5
行列形に書けば
AV = VJ ：
⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ a0
1
0
0
0
a1
0
1
0
0
a2
0 0⎤
0 0 ⎥⎥
1 0⎥
⎥
0 1⎥
a3 a4 ⎥⎦
⎡1
⎢
⎢α
⎢α 2
⎢ 3
⎢α
⎢ 4
⎣α
1 1 ⎤ ⎡1
⎥ ⎢
β γ δ ε ⎥ ⎢α
β 2 γ 2 δ 2 ε 2 ⎥ = ⎢α 2
⎥ ⎢
β 3 γ 3 δ 3 ε 3 ⎥ ⎢α 3
⎥ ⎢
β 4 γ 4 δ 4 ε 4 ⎦ ⎣α 4
1
1
1 1 ⎤ ⎡α
⎥
β γ δ ε ⎥ ⎢0
⎢
β 2 γ 2 δ 2 ε 2 ⎥ ⎢0
⎥⎢
β 3 γ 3 δ 3 ε 3 ⎥ ⎢0
⎥
β 4 γ 4 δ 4 ε 4 ⎦ ⎢⎣0
1
1
0 0 0⎤
β 0 0 0 ⎥⎥
0 γ 0 0⎥
⎥
0 0 δ 0⎥
0 0 0 ε ⎥⎦
0
α , , ε は相異なる数だから、 V （ヴァンデルモンド行列！）は可逆行列を表し、この式は A
のジョルダン分解を与えている。実際、
det V = (α − β )(α − γ )(α − δ )(α − ε )( β − γ )( β − δ )( β − ε )(γ − δ )(γ − ε )(δ − ε ) ≠ 0
解 y は次式によって与えられる：
y = [1 1 1 1 1] diag{⎡⎣ etα ⎤⎦ ⎡⎣et β ⎤⎦ ⎡⎣etγ ⎤⎦ ⎡⎣etδ ⎤⎦ ⎡⎣ete ⎤⎦}c = ⎡⎣etα et β etγ etδ ete ⎤⎦ c
tα
tβ
tγ
tδ
te
すなわち、 y は e , e , e , e , e の任意一次結合によって与えられる。
(C) （中間的場合の例）
f (λ ) = 0 が異なる 2 重根 2 個と単根をもつ場合
f (λ ) = −(λ − α ) (λ − β ) 2 (λ − γ ) （ α , β , γ は相異なる数）とすれば、次の 5 式が成立する：
2
0 = f (α ) / 0! = a0 + a1α + a2α 2 + a3α 3 + a4α 4 − α 5
0 = f (1) (α ) /1! = a1 + a2 2α + a3 3α 2 + a4 4α 3 − 5α 4
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17
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レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
0 = f ( β ) / 0! = a0 + a1β + a2 β 2 + a3 β 3 + a4 β 4 − β 5
0 = f (1) ( β ) /1! = a1 + a2 2β + a3 3β 2 + a4 4β 3 − 5β 4
0 = f (γ ) / 0! = a0 + a1γ + a2γ 2 + a3γ 3 + a4γ 4 − γ 5
行列形に書けば
AV = VJ ：
⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ a0
1
0
0
0
a1
0 0⎤
0 0 ⎥⎥
1 0⎥
⎥
0 1⎥
a3 a4 ⎥⎦
0
1
0
0
a2
⎡1
0
⎢
1
⎢α
2
＝ ⎢α 2α
⎢ 3
⎢α 3α 2
⎢ 4
3
⎣α 4α
⎡1
0
⎢
1
⎢α
2
⎢α 2α
⎢ 3
⎢α 3α 2
⎢ 4
3
⎣α 4α
1 ⎤ ⎡α
⎥
β
γ ⎥ ⎢0
⎢
β 2 2β γ 2 ⎥ ⎢0
⎥⎢
β 3 3β 2 γ 3 ⎥ ⎢ 0
⎥
β 4 4β 3 γ 4 ⎦ ⎢⎣0
1
0
1
1 ⎤
⎥
β
γ ⎥
β 2 2β γ 2 ⎥
⎥
β 3 3β 2 γ 3 ⎥
⎥
β 4 4β 3 γ 4 ⎦
1
0
1
1 0 0 0⎤
α 0 0 0 ⎥⎥
0 β 1 0⎥
⎥
0 0 β 0⎥
0 0 0 γ ⎥⎦
ここに V は可逆行列を表し、上式は A のジョルダン分解を表すことになる。実際、
det V = (α − β ) 4 (α − γ ) 2 ( β − γ ) 2 ≠ 0 。この関係の導出には、det V = F = F (α , β , γ ) とおき、
V の構成法から
∂F
∂2 F
∂3 F
)α = β = ( 2 )α = β = ( 3 )α = β
∂α
∂α
∂α
∂F
∂F
= ( )α =γ 、 0 = ( F ) β =γ = ( ) β =γ
∂β
∂α
0 = ( F )α = β = (
0 = ( F )α =γ
が成立することを確かめ、 det V は α , β , γ に関する多項式であることに着目すればよい（詳細
略）
。行列式の微分法についてはレッスン 6、問題 6.12 参照。
以上から、解 y は次式によって与えられる：
⎡1 t ⎤ t β ⎡1 t ⎤ tγ
y = [1 0 1 0 1] diag{etα ⎢
,e ⎢
, e [1]}c = ⎡⎣etα tetα et β tet β etγ ⎤⎦ c
⎥
⎥
⎣ 0 1⎦
⎣0 1⎦
tα
tα
tβ
tβ
tγ
すなわち、 y は e , te , e , te , e の任意一次結合によって与えられる。■
以上から得られる一般的結論は次の通りである：
特性多項式の因数分解形(2)が知られれば、(1)の解は次の n 個の解（基本解）
etλk , tetλk ,
, t nk −1etλk (k = 1,
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, r)
18
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レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
の任意一次結合によって与えられる。
この結論は次のようにして検算できる： D ≡
f ( D) y = −( D − λ1 ) n1
と書くと、(1)は
( D − λr ) nr y = 0 と書ける。各基本解を代入すれば、
( D − λk I ) nk eλk t = 0,
が成り立ち、 D − λ1 ,
d
d d
d2
2
,D =
( )= 2,
dt dt
dt
dt
, ( D − λk I ) nk t nk −1eλk t = 0 （ k = 1,
,r ）
, D − λr は可換であるから（作用させる順序を変えてよいから）、結局基
本解はすべて(1)を満たし、その任意一次結合も(1)を満たす。念のため、簡単な例を追加する：
−2 y + 7 y (1) − 9 y (2) + 5 y (3) − y (4) = 0
f (λ ) = −2 + 7λ − 9λ 2 + 5λ 3 − λ 4 = −(λ − 1)3 (λ − 2)
t
t
2 t
2t
ゆえに解 y は次の 4 個の基本解の任意一次結合によって与えられる： e , te , t e , e
■
この節で示した行列法による解法が複雑化したのは、解 y を求める問題を未知ベクトル
例2
T
⎡⎣ y y (1)
y ( n −1) ⎤⎦ を求める問題として定式化したからである。
最後にひとこと：このレッスンの華は、「行列関数 f ( A) 」の定義に 3 種あることを示す過
tA
程、その副産物である「スペクトル写像定理」、
「行列指数関数 e 」の定係数微分方程式解法へ
の応用である。
腕試し問題
問題 10.1 M 演算（→10.1 節）を利用して次の関係を証明せよ：
(1)
k
k
⎡λ 1 0 ⎤ ⎡λ
⎢0 λ 1 ⎥ = ⎢0
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣ 0 0 λ ⎥⎦ ⎢ 0
⎣
(2)
⎡λ 1 0 ⎤
⎢0 λ 1 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 0 λ ⎥⎦
−k
k λ k −1 {k (k − 1) / 2}λ k − 2 ⎤
⎥
λk
k λ k −1
⎥ （ k = 1, 2,
⎥
0
λk
⎦
）
⎡ λ − k − k λ − k −1 {k (k + 1) / 2}λ − k − 2 ⎤
⎢
⎥
=⎢0
− λ − k −1
λ −k
⎥ （ λ ≠ 0 、 k = 1, 2,
⎢0
⎥
0
λ −k
⎣
⎦
）
A 2 = A を満たす 2 次行列 A をすべて求めよ。
（略解： A の特性方程式を det( A − λ I ) = (λ1 − λ )(λ2 − λ ) とすれば、スペクトル写像定理によ
問題 10.2
り、B ≡ A
2
− A = 0 の特性多項式は det(B − λ I ) = (λ12 − λ1 − λ )(λ2 2 − λ2 − λ ) 。B = 0 だから
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19
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λi 2 − λi = 0 、すなわち λi = 0,1 (i = 1, 2) 。ゆえに、 A のジョルダン分解を A = VJV −1 とすれ
⎡0 0 ⎤
⎡1 0 ⎤
⎡1 1 ⎤
⎡0 1 ⎤
⎢0 0 ⎥ , (c) ⎢0 0 ⎥ , (d ) ⎢0 1⎥ , (e) ⎢0 0 ⎥ の 5 種
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
2
のみである。このうち、最後の二つの場合は A = A が満たされない。最初の三つの場合は
⎡1 0 ⎤ −1
2
A = I, 0, V ⎢
⎥ V となり A = A は確かに満たされる。この最後の場合は、
0
0
⎣
⎦
⎡a b ⎤
⎡ d − b⎤
V=⎢
, V −1 = (ad − bc) −1 ⎢
⎥
⎥ ( ad − bc = 1) と仮定しても一般性を失わないこと
⎣c d ⎦
⎣ −c a ⎦
⎡1 0 ⎤
⎥ , (b)
⎣0 1⎦
ば、可能な J の形は J = ( a ) ⎢
= (kV )J (kV ) −1 ）、結局求める A は次の 5
α ⎤ ⎡0 α ⎤ ⎡α α (1 − α ) / β ⎤
,
,
⎥ （ β ≠ 0, α は任意） ■）
0 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ β
1−α
⎦
に注意すると（∵ 任意の定数 k ≠ 0 に対して VJV
⎡1
⎣0
種となる： A = I, 0, ⎢
問題 10.3
−1
2 次行列のジョルダン分解
⎡ − 6 4 ⎤ ⎡ 2 1 ⎤ ⎡ 4 1 ⎤ ⎡ 3 − 1⎤
−1
2
A≡⎢
⎥ = ⎢5 3⎥ ⎢ 0 4 ⎥ ⎢ −5 2 ⎥ ≡ VJV を利用し、 X = A を解け。
25
14
−
⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
⎦⎣
⎦
⎡ 2 1/ 4 ⎤
−1
2
（略解： X = VZV とおけば、 Z = J 。これを解けば、 Z = ± ⎢
⎥ が得られる。ゆ
⎣0 2 ⎦
⎡ −2 4⎤
⎡ 2 1 ⎤ ⎡ 2 1/ 4 ⎤ ⎡ 3 − 1⎤
2
−1
えに X = A の解は X = VZV = ± ⎢
= ± (1/ 4) ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥ 。■）
⎣5 3⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣ −5 2 ⎦
⎣ −25 18⎦
問題 10.4
⎡2 0 0⎤
A のジョルダン標準形が J = ⎢⎢0 − 1 1 ⎥⎥ であることを知って、
⎢⎣0 0 − 1 ⎥⎦
h( A) = ( A − I )( A 2 + A + I ) −1 の特性多項式 det{h( A) − λ I} を求めよ。
2
（略解： det( A − λ I ) = (2 − λ )(−1 − λ ) 、 h(λ ) = (λ − 1) /(λ + λ + 1) だから、スペクトル写像
1
2
− λ )(− − λ ) 2 ■）
7
3
問題 10.5 （プロジェクト型問題）この問題では「 A を n 次行列とすれば、 f ( A) はかなら
定理により、 det{h( A ) − λ I} = ( h(2) − λ )( h( −1) − λ ) = (
2
ず A に関する高々 n − 1 次多項式によって表現できる」を示す。
実際、 A を n 次行列、ジョルダン分解を
(1)
A = Vdiag{J ( n1 ) (λ1 ),
とすれば（→10.2 節）、
(2)
, J ( nr ) (λr )}V −1 ≡ VJV −1 （ n1 +
+ nr = n ）
f ( A) は次式によって定義されている（→10.4 節(1)式）
f ( A) = V ⋅ diag{M ( n1 ) f (λ1 ),
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, M ( nr ) f (λr )} ⋅ V −1
20
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⎡f
⎢
⎢
⎢
M ( nk ) ( f (λk )) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣0
(k
= 1,
f (1) /1!
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f ( nk −1) /(nk − 1)!⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ( f = f (λk ), f (1) = f (1) (λk ),
⎥
(1)
f f /1! ⎥⎥
⎥⎦
f
)
,r )
以上の式を見ると、
「与えられた二つの関数
f (λ ), g (λ ) に対して f ( A) = g ( A) が成立する
ための必要十分条件は
M ( nk ) ( f (λk )) = M ( nk ) ( g (λk )), k = 1,
(4)
,r
すなわち、
f (λk ) = g (λk ), f (1) (λk ) = g (1) (λk ),
(5)
, f ( nk −1) (λk ) = g ( nk −1) (λk ), k = 1,
,r
で与えられる」ことがわかる。
ただ、 λ1 ,
, λr はすべて相異なるとは限らないから、(5)の条件の一部は重複している可能
性がある。そこで、λ1 , , λr のうち、相異なるものだけを集めて μ1 , , μ s と書き直し、各 μ1 ,
に対応するジョルダンブロックの最大次数を m1 , , ms と書けば、(5)から重複分を省けば、
f ( μ j ) = g ( μ j ), f (1) ( μ j ) = g (1) ( μ j ),
(6)
, f
( m j −1)
(μ j ) = g
( m j −1)
( μ j ), j = 1,
,s
となる。
例えば、 f (λ ) = ( μ1 − λ )
算により、 f ( μ j ) = f
てに
(1)
m1
(μ j ) =
( μ s − λ ) ms （すなわち、 A の最小多項式）をとれば、直接計
= f
( m j −1)
( μ j ) = 0, j = 1,
, s 。ゆえ(6)を満たす g (λ ) とし
g (λ ) ≡ 0 が取れる。ゆえに、 f ( A ) = g ( A ) = 0 。また、 f (λ ) として特性多項式
f (λ ) = det( A − λ I ) をとれば、やはり、 f ( μ j ) = f (1) ( μ j ) =
= f
( m j −1)
( μ j ) = 0, j = 1,
,s
f ( A) = 0 。これはケイリー・ハミルトンの定理に他ならない。
以下において「与えられた関数 f (λ ) に対して f ( A ) = g ( A ) を満たす高々
（ m1 + + ms − 1 ）
（ ≤ n − 1 ）次多項式 g (λ ) が唯一つ存在する」を示す。このような g (λ ) は
A のスペクトル上における、f (λ ) のエルミート補間多項式 Hermite interpolation polynomial
と呼ばれている。このような g (λ ) は f (λ ) のみならず、 A にも依存することは明らかである。
が満たされる。ゆえに、
例によって証明法を示し、一般化は練習問題とする。
そこで、例として
f ( x) を与えられた関数、a, b, c を異なる 3 点とし、次の 7 個の補間条件
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を満たす 6 次エルミート補間多項式 g ( x) を求める問題を考える：
(7)
(8)
f (a) = g (a ), f (1) (a ) = g (1) (a ), f (2) (a) = g (2) (a), f (3) (a) = g (3) (a),
f (b) = g (b), f (1) (b) = g (1) (b),
f (c ) = g ( c )
まず、 g ( x) は次の形で求まることを示す（一意性の証明は後ほど）
：
g ( x) = ( x − b) 2 ( x − c){α 0 +
α1
1!
+ ( x − a ) 4 ( x − c){β 0 +
ここに α 0 , α1 ,
( x − a) +
β1
1!
α2
2!
( x − a)2 +
α3
3!
( x − a )3 }
( x − b)} + ( x − a) 4 ( x − b) 2 γ 0
, γ 0 は補間条件から決定すべき未定係数を表す。
「 f ( a ) = g ( a ), f
(1)
(a) = g (1) (a), f (2) (a) = g (2) (a ), f (3) (a ) = g (3) (a ) 」
（ x = a における補間
条件）を行列形に書くと、
⎡ f (a) ⎤ ⎡δ 0 0 0 ⎤ ⎡α 0 ⎤
⎢ (1)
⎥
f (a) ⎥ ⎢* δ 0 0 ⎥ ⎢⎢α1 ⎥⎥
⎢
⎥
(9)
=⎢
(δ ≡ (a − b) 2 (a − c))
⎢ f (2) (a) ⎥ ⎢* * δ 0 ⎥ ⎢α 2 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎣ f (3) (a) ⎥⎦ ⎣* * * δ ⎦ ⎣α 3 ⎦
となることを示せ。ここに「 * 」印は既知成分を表す。右辺の 4 x 4（下三角）行列は δ ≠ 0 ゆ
, f (3) (a) の値に対して(11)式を満
え、可逆行列を表す。ゆえに、全く任意に与えられた f ( a ),
たす α 0 ,
, α 3 が一意的に定まる。
同様の手続きによりに、全く任意に与えられた f (b), f
(1)
(b), f (c) の値に対して β 0 , β1 , γ 0
が一意的に定まることを示せ。
次に一意性の証明のために高々6 次多項式 g ( x ) = g1 ( x ), g 2 ( x) がともに(7)を満たせば、
h( x) ≡ g1 ( x) − g 2 ( x) ≡ 0 であることを次の手順によって示せ。まず、 h( x) は次の補間条件を
満たすことを示せ：
(10)
h(a ) = h (1) (a) = h (2) (a) = h (3) (a ) = 0,
h(b) = h (1) (b) = 0,
h(c ) = 0
微積分学におけるテイラーの定理により最初の条件より h( x) = ( x − a ) p ( x ) と書けるこ
4
とを示せ。
（ここに
p( x) は高々3 次多項式を表す）。 a ≠ b ゆえ、続く 2 条件より
p(b) = p (1) (b) = 0 を出し、 p( x) = ( x − b) 2 q ( x)（ q( x) は高々1 次）であることを示せ。a, b, c
は相異なる数だから、(10)式最後の条件より q (c) = 0 、すなわち、 q ( x) = d ⋅ ( x − c) （ d は定
数）が出る。以上を総合すると、 h( x) = d ⋅ ( x − a ) (x − b) ( x − c ) となり、 h( x) は高々6 次だ
4
2
から d = 0 でなければならない。すなわち、 h( x) ≡ 0 でなければならない。■
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レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
⎡ 0 1⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ 2 1⎤ ⎡ 5 − 2 ⎤
=⎢
≡ VJV −1 とする。
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣ −4 4 ⎦ ⎣ 2 5 ⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣ −2 1 ⎦
問題 10.6（前問の応用問題） A = ⎢
(1) (2 A + I )( A − A + I )
2
−1
= α 0 I + α1 ( A − 2I ) を満たす α 0 , α1 を求めよ。
(2) e = β 0 I + β1 ( A − 2I ) を満たす定数 β 0 , β1 を求めよ。
A
（解
A のジョルダン標準形は単一ブロックから構成され、異なる固有値は λ1 = 2 のみである。
(1) f (λ ) = (2λ + 1) /(λ − λ + 1) 、 g (λ ) = α 0 + α1 (λ − 2) とおけば、補間条件は
2
f (2) = g (2) ：
2 ⋅ 2 +1 5
= = α0
22 + 2 + 1 7
f (1) (2) = g (1) (2) ：
−2λ 2 − 2λ + 1
11
= α1
| =−
2
2 λ =2
(λ + λ + 1)
49
これより g (λ ) = α 0 + α1 (λ − 2) =
5 11
5
11
− (λ − 2) 、 g ( A) = I − ( A − 2I ) 得られる。
7 47
7
49
検算：
f ( A) = (2A + I )( A 2 + A + I ) −1
−1
⎡ 1 2⎤ ⎡ − 3 5 ⎤
⎡ 1 2 ⎤ 1 ⎡17 − 5 ⎤ 1 ⎡57 − 11 ⎤
=⎢
=
⎥⎢
⎥
⎢ −8 9 ⎥ ⋅ 49 ⎢ 20 − 3⎥ = 49 ⎢ 44 13⎥
⎣ −8 9 ⎦ ⎣ −20 17 ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
5
11
1 ⎡57 − 11⎤
= f ( A)
g ( A) = I − ( A − 2I ) =
7
49
49 ⎢⎣ 44 13 ⎥⎦
(2) f (λ ) = e , g (λ ) = β 0 + β1 (λ − 2) とおけば、補間条件は f (λ1 ) = g (λ1 ) および
λ
f (1) (λ1 ) = g (1) (λ1 ) によって与えられる。これを解けば、 e 2 = β 0 = β1 が得られる。ゆえに、
⎡ −1 1⎤
e A = e 2 I + e 2 ( A − 2I ) = e 2 ( A − I ) = e 2 ⎢
⎥
⎣ −4 3 ⎦
⎡ e 2 e 2 ⎤ −1 ⎡1 2 ⎤ ⎡ e 2 e 2 ⎤ ⎡ 5 − 2 ⎤ 2 ⎡ −1
検算： e = V ⎢
V =⎢
⎥⎢
⎥ = e ⎢ −4
2⎥
2⎥⎢
⎣ 2 5 ⎦ ⎣ 0 e ⎦ ⎣ −2 1 ⎦
⎣
⎣0 e ⎦
A
1⎤
■）
3⎥⎦
問題 10.7 ジョルダン分解
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レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
⎡ −14 2 3 ⎤ ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 6 − 1 − 1 ⎤
A = ⎢⎢ −26 5 5⎥⎥ = ⎢⎢3 2 − 1 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 2 1 ⎥⎥ ⎢⎢ −11 2 2 ⎥⎥ = VJV −1 を知って微分方程式
⎢⎣ −64 8 14 ⎥⎦ ⎢⎣8 4 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 2 ⎥⎦ ⎢⎣ − 4 0 1 ⎥⎦
⎡ y1 ⎤
⎡ y1 ⎤
d ⎢ ⎥
y2 = A ⎢⎢ y2 ⎥⎥ を解け。
dt ⎢ ⎥
⎢⎣ y3 ⎥⎦
⎢⎣ y3 ⎥⎦
t
⎡ et ⎤
⎡ y1 ⎤
⎡ 2 1 0⎤ ⎡e ⎤
⎢ 2t ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ 2t ⎥
（略解：ジョルダン標準形 J の形から一般解は y2 = V ⎢ e ⎥ c = 3 2 − 1 ⎢ e ⎥ c によって
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢te 2t ⎥
⎢⎣ y3 ⎥⎦
⎢⎣8 4 1⎥⎦ ⎢te 2t ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
与えられる。ここに c は 3 × 1 任意行列を表す。■）
問題 10.8 （スペクトル写像定理の応用）
与えられた 3 次行列 A の特性多項式が det( A − λ I ) = (1 − λ )(2 − λ ) であることを知って、
2
次の行列の特性多項式を求めよ。
p( A) = A 2 − I
−1
(b) q ( A ) = ( A − I )( A + I )
cA
(c) r ( A ) = (I − A)e
1
(d) f ( A ) =
f (λ )(λ I − A) −1 d λ
∫
C
2π i
(a)
ただし f (λ ) は点 1, 2 を含む複素領域内で至ると
ころ微分可能とし、閉積分路 C はこの領域内にあって点 1,
2 を内部に含むものとする。
（略解：スペクトル写像定理を使う。
(a)
det( p( A) − λ I ) = ( p (1) − λ )( p(2) − λ ) 2 = (−λ )(3 − λ ) 2
（ p (λ ) = λ − 1 ）
(b)
1
det(q ( A) − λ I ) = (q (1) − λ )(q (2) − λ ) 2 = (−λ )( − λ ) 2 （ q (λ ) = (λ − 1) /(λ + 1) ）
3
2
det(r ( A) − λ I ) = (r (1) − λ )(r (2) − λ ) 2 = (−λ )(−e 2 c − λ ) 2 （ r (λ ) = (1 − λ )ecλ ）
(d)
det( f ( A) − λ I ) = ( f (1) − λ )( f (2) − λ ) 2 ■）
(2)
(2)
問題 10.9 (a) y − y = 0 を解け。(b) − y − y = 0 を解け。
2
（略解：(a) 特性多項式は f (λ ) = 1 − λ = (1 − λ )(1 + λ ) で与えられる。ゆえに、一般解は
(c)
y = c1et + c2 e − t
(b)
一般解は y = c1e + c2 e
ti
特性多項式は f (λ ) = −1 − λ = (i − λ )(i + λ ) で与えられる。ゆえに、
2
− ti
= (c1 + c2 ) cos t + i (c1 − c2 ) sin t = c1' cos t + c2 ' sin t
■）
問題 10.10 次の各場合に対して微分方程式
f ( D) y = a0 y + a1 y (1) + a2 y (2) − y (3) = 0 （ D = d / dt 、 a0 , a1 , a2 は与えられた定数、
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24
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y = y (t ), y (1) = dy / dt ,
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
）のコンパニオン行列のジョルダン分解と微分方程式の解を求めよ。
(a) f (λ ) = a0 + a1λ + a2 λ − λ = (1 − λ ) の場合
2
(b)
(c)
3
3
f (λ ) = (1 − λ )(2 − λ ) 2 の場合、
f (λ ) = (1 − λ )(2 − λ )(−1 − λ ) の場合
−1
（略解：10.7 節の結果を利用する。コンパニオン行列のジョルダン分解を A = VJV と書く。
⎡0 1 0 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
(a) A = 0 0 1 = 0 0 1
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ a0 a1 a2 ⎥⎦ ⎢⎣1 − 3 3 ⎥⎦
⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥
V = ⎢α 1 0 ⎥ = ⎢⎢1 1 0 ⎥⎥
⎢⎣α 2 2α 1⎥⎦ ⎢⎣1 2 1 ⎥⎦
⎡α 1 0 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤
J = ⎢⎢0 α 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 1 ⎥⎥
⎢⎣0 0 α ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
t
t
2 t
一般解 y (t ) は e , te , t e の任意の一次結合で与えられる。
⎡0 1 0 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
(b) A = 0 0 1 = 0 0 1
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ a0 a1 a2 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 − 8 5 ⎥⎦
⎡ 1 1 0 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤
⎢
⎥
V = ⎢α β 1 ⎥ = ⎢⎢1 2 1 ⎥⎥
⎢⎣α 2 β 2 2 β ⎥⎦ ⎢⎣1 4 4 ⎥⎦
⎡α 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
J = ⎢⎢0 β 1 ⎥⎥ = ⎢⎢0 2 1⎥⎥
⎢⎣0 0 β ⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 ⎥⎦
t
2t
2t
一般解 y (t ) は e , e , te の任意の一次結合で与えられる。
(c)
⎡0 1 0 ⎤ ⎡ 0 1 0⎤
A = ⎢⎢ 0 0 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 0 1⎥⎥
⎢⎣ a0 a1 a2 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 1 2 ⎥⎦
⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡1 1 1⎤
⎢
⎥
V = ⎢α β γ ⎥ = ⎢⎢1 2 − 1⎥⎥
⎢⎣α 2 β 2 γ 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 4 1⎥⎦
⎡α 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤
J = ⎢⎢0 β 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 2 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 γ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1⎥⎦
t
2t
−t
一般解 y (t ) は e , e , e の任意の一次結合で与えられる。■）
問題 10.11 次の行列のジョルダン分解を求めよ：
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25
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
⎡ 0 1 0 0⎤
⎢ 0 0 1 0⎥
⎥
(a) A = ⎢
⎢ 0 0 0 1⎥
⎢
⎥
⎣ −1 − 4 − 6 − 4 ⎦
⎡ 0 1 0 0⎤
⎢ 0 0 1 0⎥
⎥
(b) A = ⎢
⎢ 0 0 0 1⎥
⎢
⎥
⎣ −4 − 4 3 2 ⎦
−1
（略解： 10.7 節の方法に従う。ジョルダン分解を A = VJV と書くと：
2
3
4
4
(a) det( A − λ I ) = 1 + 4λ + 6λ + 4λ + λ = (1 + λ )
⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤
⎡α
⎢α 1 0 0 ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ = ⎢ −1 1 0 0 ⎥ J = ⎢0
V=⎢ 2
⎢α 2α 1 0 ⎥ ⎢ 1 − 2 1 0 ⎥
⎢0
⎢ 3
⎥
⎢
⎥
⎢
2
⎣0
⎣⎢α 3α 3α 1⎥⎦ ⎣ −1 3 − 3 1⎦
(b)
1 0 0 ⎤ ⎡ −1 1 0 0 ⎤
α 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 − 1 1 0 ⎥⎥
=
0 α 1 ⎥ ⎢ 0 0 −1 1 ⎥
⎥
⎥ ⎢
0 0 α ⎦ ⎣ 0 0 0 − 1⎦
det( A − λ I ) = 4 + 4λ − 3λ 2 − 2λ 3 + λ 4 = (1 + λ )2 (2 − λ ) 2
⎡1 0 1 0 ⎤ ⎡ 1 0
⎢α 1 β 1 ⎥ ⎢
⎥ = ⎢ −1 1
V=⎢ 2
2
⎢α 2α β 2β ⎥ ⎢ 1 − 2
⎢ 3
⎥ ⎢
2
3
2
⎣⎢α 3α β 3β ⎦⎥ ⎣ −1 3
1 0⎤
⎡α
⎥
⎢0
2 1⎥
J=⎢
⎢0
4 4⎥
⎥
⎢
8 12 ⎦
⎣0
1 0 0 ⎤ ⎡ −1 1
α 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 − 1
=
0 β 1⎥ ⎢ 0 0
⎥ ⎢
0 0 β⎦ ⎣ 0 0
0 0⎤
0 0 ⎥⎥
■）
2 1⎥
⎥
0 2⎦
問題 10.12（プロジェクト型問題）差分商と差分商行列
いま、 n (≥ 2) を与えられた自然数、 z1 , z2 ,
くとも {z1 ,
(1)
を複素平面上の異なる点、 w = f ( z ) を少な
, zn } 上で定義された複素関数とするとき、
f ( zi , z j ) =
f ( zi ) − f ( z j )
zi − z j
(i ≠ j )
型の数を（1 階）差分商 divided difference という。高階差分商は再帰的に次式によって定義さ
れる：
(2)
n − 1 階差分商（ n ≥ 2) ： f ( z1 , z2 ,
そして関数値自体
f ( z1 ),
, zn ) =
f ( z1 ,
, zn −1 ) − f ( z2 ,
z1 − zn
, zn )
は 0 階差分商と見なす。差分商は数値計算上の重要ツールとして古
くからよく知られている。
例1
2 階差分商の例
f ( z1 , z2 , z3 ) =
f ( z1 , z2 ) − f ( z2 , z3 )
f ( z2 , z3 ) − f ( z3 , z1 )
, f ( z2 , z3 , z1 ) =
,
z1 − z3
z2 − z1
展開すればわかるようにこの両者は相等しい。
(A)
(3)
f ( z1 ,
, zn ) の値は z1 ,
f ( z1 ,
, zn ) =
1
, zn の配列順序に無関係である。実際、
f (λ )
d λ ≡ g ( z1 ,
C (λ − z )
(λ − z n )
1
2π i ∫
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, zn )
26
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
が成り立つことを次の手順に従って示せ。ここに、
ところ微分可能な複素関数、 C は z1 ,
まず、(3)の右辺を g ( z1 ,
1
(λ − z1 )
(λ − z n )
f (λ ) は z1 ,
, zn を含むある領域内で至る
, zn をその内部に含む、その領域内の閉積分路を表す。
, zn ) と呼び、部分分数展開
=
1
1
1
−
{
}
z1 − zn (λ − z1 ) (λ − zn −1 ) (λ − z2 ) (λ − zn )
を代入すると
g ( z1 ,
, zn ) = {g ( z1 ,
コーシーの積分公式
, zn −1 ) − g ( z2 ,
f ( zk ) =
f ( zk ) = g ( zk ), k = 1,
1
2π i ∫
C
, zn )}/( z1 − zn ) がでる。また
f (λ )
d λ (k = 1,
λ − zk
, n) により、
, n が成り立つ。以上と差分商の定義から f ( z1 ,
, zn ) = g ( z1 ,
, zn )
が従う。
(B) 差分商行列（ここから行列の話になる）
10.1-2 節で学んだ行列関数の M 演算の算法によく似た事実が差分商に対しても成立する
ことを示す。差分商は次の表形式で提示されることが多い：
f ( z1 )
f ( z1 , z2 )
f ( z2 )
f ( z1 , z2 , z3 )
f ( z2 , z3 )
f ( z3 )
f ( z 2 , z3 , z 4 )
上の表をいくらか形を変えて次の行列形に書く：
D( f ) ≡ D( f ( z1 ,
⎡ f1
⎢
⎢
⎢
, zn )) = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣0
f12
f123
f2
f 23 f 234
f n −1
f12 n ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ （ f1 ≡ f ( z1 ), f12 ≡ f ( z1 , z2 ),
⎥
f ( n −1) n ⎥
⎥
f n ⎥⎦
）
D( f ) を D 演算 D operation と仮に呼び、この右辺を差分商行列と呼ぶことにする。これは 10.1
節で定義した M ( f ) と深い関係がある。すなわち、「 z = a が考えている領域内に点なら、
z1 , , zn → a のとき、
f (1) (a )
f ( n −1) (a )
、すなわち、
, , f ( z1 , , zn ) →
1!
(n − 1)!
, zn )) → M ( f (a)) ）」が成り立つことが知られている。実際、(3)とコーシーの積分
f ( z1 ) → f (a ), f ( z1 , z2 ) →
D( f ( z1 ,
公式
f
(a)
1
f (λ )
=
d λ (k = 0,1, 2, )
∫
C
k!
2π i (λ − a) k +1
(k )
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27
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
から出るのだが詳細は略する。
例
0⎤
⎡ z1 1
⎢ z 1
⎥
2
⎢
⎥
⎢
⎥
D(0) = 0, D(1) = I, D( z ) =
⎢
⎥
zn −1 1 ⎥
⎢
⎢0
zn ⎥⎦
⎣
（ D( z ) とは
f ( z ) = z のときの D( f ) の意味）
(C) 積の高階差分商に関するライプニッツの法則
f , g を z1 ,
( fg )12
（
（略証
n
, zn 上で定義された関数とすれば次式が成立することを示せ：
= f1 g12
n
+ f12 g 23
f1 = f ( z1 ), f12 = f ( z1 , z2 ),
n
+
+ f12
n −1
g ( n −1) n + f12 n g n
）
厳密には数学的帰納法によるが、まずは n = 2,3 の場合についてやっておく。記号使い
の簡略化のため、以下では "1 − 2" 等とは " z1 − z2 " 等を意味するものとする（混乱は起らない！）
n = 2 の場合：
(1 − 2)( fg )12 = ( fg )1 − ( fg ) 2 = f1 g1 − f 2 g 2 = f1 g1 + (− f1 g 2 + f1 g 2 ) − f 2 g 2
= f1 ( g1 − g 2 ) + ( f1 − f 2 ) g 2 = (1 − 2) f1 g12 + (1 − 2) f12 g 2
ゆえに ( fg )12 = f1 g12 + f12 g 2
n = 3 の場合：
(1 − 3)( fg )123 = ( fg )12 − ( fg ) 23 = f1 g12 + f12 g 2 − ( f 2 g 23 + f 23 g3 )（ n = 2 の場合の結果を利用）
= f1 g12 + (− f1 g 23 + f1 g 23 ) + f12 g 2 − f 2 g 23 + (− f12 g3 + f12 g3 ) − f 23 g3 )
= f1 ( g12 − g 23 ) + ( f1 − f 2 ) g 23 + f12 ( g 2 − g3 ) + ( f12 − f 23 ) g3
= (1 − 3) f1 g123 + (1 − 2) f12 g 23 + (2 − 3) f12 g 23 + (1 − 3) f123 g3
= (1 − 3)( f1 g123 + f12 g 23 + f123 g3 )
ゆえに ( fg )123 = f1 g123 + f12 g 23 + f123 g3
一般化は練習問題とする。■）
f + の算法に関して次式が成立することを示せ：
(a) D( f ± g ) = D( f ) ± D( g )
(b) D(cf ) = cD( f ) （ c は定数）
(c) D( fg ) = D( f ) D( g ) = D( g ) D( f ) （積の高階差分商に関するライプニッツの法則）
(D) 差分商行列
(d)
D( f −1 ) = D−1 ( f ) （ f1 = f ( z1 ) ≠ 0,
(e)
D( f / g ) = D( f )D−1 ( g ) = D−1 ( g )D( f ) （ g1 = g ( z1 ) ≠ 0,
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, f n = f ( zn ) ≠ 0 ）
, g n = g ( zn ) ≠ 0 ）
28
再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
（略証：
例
(d)を
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
(a)(b)は簡単。(c)はライプニッツの法則から出る。それ以外は(c)から出る。■）
f ( z ) = z に適用すると（ただし z1 ,
⎡ z1 1
⎢
z2 1
⎢
⎢
⎢
zn −1
⎢
⎢0
⎣
⎡ y1 − y1 y2 y1 y2 y3
0 ⎤
⎢
y2 − y2 y3
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ =⎢
⎥
⎢
1⎥
⎢
⎢
zn ⎥⎦
⎢⎣ 0
−1
ここに、右辺の ( p, q ) 成分は ( −1)
(E) 直前の式において zk ＝ − xk
p+q
y p y p +1
(≠ 0, k = 1,
, zn ≠ 0 ）、
yn ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ( yk = zk −1 , k = 1,
⎥
− yn −1 yn ⎥
⎥
yn
⎥⎦
(−1) n +1 y1
yn −1
, n)
yq に等しい（ p ≤ q ）。検算して下さい。
, n) と書き変え、次式を導出せよ（後ほど必要と
なる）：
w1 wn ⎤
⎡ w1 w1w2 w1w2 w3
−1
0⎤
⎡ x1 − 1
⎢
⎥
w2 w2 w3
⎢
⎥
⎢
⎥
x2 − 1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ =⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
xn −1 − 1⎥
⎢
⎢
wn −1 wn −1wn ⎥
⎢0
⎢
⎥
xn ⎥⎦
⎣
wn ⎥⎦
⎢⎣ 0
( wk = xk −1 , k = 1,
(F)
, n) 。ここに、右辺の ( p, q ) 成分は wp wp +1
wq に等しい（ p ≤ q ）。
(E)の結果を利用して次式を導け：
−1
0 ⎤
⎡λ − z1 − 1
p1n ⎤
⎡ p11 p12
⎢
⎥
−
−
z
λ
1
⎢
⎥
2
⎢
⎥
p22 p23
⎢
⎥
⎢
⎥
−1
⎢
⎥
(λ I − D( z )) = ⎢
⎥ ≡
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
λ − zn −1 − 1 ⎥
⎢
⎢
⎥
pnn ⎥⎦
⎣0
λ − zn ⎥⎦
⎢⎣0
ここに、
pij =
1
(λ − zi )(λ − zi +1 )
(λ − z j )
(i ≤ j )
(G) 差分商行列に対するコーシー積分公式
D( f )( z1 ,
, zn ) =
1
2π i ∫
C
f (λ )(λ I − D( z )) −1 d λ = f (D( z ))
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再履修線形代数―分解定理を主軸に整理整頓
を導け。ここに、
f (D( z )) は 10.4 節で定義した行列関数の意味である。
左辺の ( p, q ) 成分 ( p ≤ q ) は
（略証
レッスン 10 ジョルダン分解 Part II
f ( z p , z p +1 ,
, zq ) に等しい。また中央の積分の ( p, q) 成
分は、(F)の結果を代入すれば
1
f (λ )
C (λ − z )(λ − z
p
p +1 )
2π i ∫
f ( z p , z p +1 ,
(λ − z q )
d λ に等しい。しかし、この積分値は(A)により
, zq ) に等しい。最後の行列 f (D( z )) は 10.4 節により中央のコーシー積分に等し
い。■）
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30

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