2014.5.7    − d dx ( EA(x) du(x) dx ) = b

2014.5.7
計算力学及び同演習
演習 No. 5
演習 (A)
5-A-1 〔演習（2014.5.7 〆切）〕弾性体の静的つり合い問題の支配方程式，
(
)


d
du(x)



−
EA(x)
= b in (0, l)



dx
 dx


u(0) = 0





 u(l) = g
(1)
の弱形式（仮想仕事式）を導出しなさい．ただし，仮想変位（変位）は δu(x) を用い，それ
が満たすべき条件を明記したうえで定式化しなさい．
(1) 式の両辺に仮想変位 δu(x) を乗じて積分すれば，
{ (
)
}
∫ l
d
du(x)
δu(x)
EA(x)
+ b(x) dx = 0
dx
dx
0
(2)
第 1 項を部分積分すると，
[
du(x)
δu(x)EA(x)
dx
]l
∫
−
0
0
l
du(x)
dδu(x)
EA(x)
dx +
dx
dx
∫
δu(x)b(x)dx = 0
(3)
0
となる．ここで，仮想変位が満たす条件は



 u(0) = 0 and ∀δu; δu(0) = 0


 u(l) = g and ∀δu; δu(l) = 0
となるので，整理すると
 ∫
∫l
du(x)

l dδu(x)


EA(x)
dx = 0 δu(x)b(x)dx in (0, l)


0

dx
dx



u(0)
=
0
and
∀δu;
δu(0) = 0




 u(l) = g and ∀δu; δu(l) = 0
となり，弱形式を導出した．
l
(4)
(5)
5-B-1 〔HW（2014.5.14 〆切）〕1 次元弾性体が，下図に示すような 3 ケースの荷重および拘束条
件の下でつり合っているとき，以下の問いに答えなさい．
A
A
b=P ℓ
x
ℓ
A
B
B
B
C
C
P
C
EA = ৻ቯ
P
ࠤ࡯ࠬ A
ࠤ࡯ࠬ B
ࠤ࡯ࠬ C
(1) この 1 次元弾性体に対する微分方程式
(
)
du
d
EA
=b
−
dx
dx
(6)
について，各ケースの境界条件を与えなさい．
基本境界条件は 3 ケースについて共通であり，
u(0) = 0
(7)
である．また，軸力を N(x) とすれば，
N(x) = EA
du(x)
dx
と表すことができ，各ケースの自然境界条件は
du(x) =P
ケース A N(l) = EA
dx x=l
( )
l
du(x) du(x) =0
ケース B N
= EA
= P , N(l) = EA
2
dx x= l
dx x=l
2
du(x) =0
ケース C N(l) = EA
dx x=l
(8)
(9)
(10)
(11)
となる．
(2) 問 (1) で与えた各境界条件の下で微分方程式を手計算で解きなさい．
(6) 式を変形すると，
d2 u(x)
b
=−
2
EA
dx
(12)
となり，これについて積分を実行すれば，
du(x)
b
=−
x + C1
dx
EA
b 2
u(x) = −
x + C1 x + C2
2EA
となる．ただし，C1 , C2 は定数である．また，(9)∼(11) 式の境界条件より，
du(x) P
=
ケース A
dx x=l EA
du(x) P
du(x) =0
ケース B
=
,
dx x= 2l
EA
dx x=l
du(x) =0
ケース C
dx x=l
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
となる．
まず，ケース A について物体力がゼロ (b = 0) であるから，境界条件 (7)，(9) と式
(13)，(14) を用いれば，
P
, C2 = 0
EA
P
x
u(x) =
EA
C1 =
(18)
(19)
と導くことができる．
l
2
l
l
l
と ≤ x ≤ l に分けて考える．0 ≤ x ≤ の場合の変位を u1 (x)， ≤ x ≤ l の場合の変位
2
2
2
を u2 (x) とすれば変位の連続性より，
( )
( )
l
l
u1
= u2
(20)
2
2
次に，ケース B もケース A と同様に物体力がゼロ (b = 0) となるから，領域を 0 ≤ x ≤
が成り立つ．まず，0 ≤ x ≤
れば，
l
の場合は境界条件 (7)，(10) および式 (13)，(14) を用い
2
P
, C2 = 0
EA
(
)
P
l
u1 (x) =
x
0≤x≤
EA
2
C1 =
また，この領域の x =
(21)
(22)
l
において，
2
( )
( )
l
l
Pl
u1
= u2
=
2
2
2EA
(23)
l
≤ x ≤ l の場合，変位の連続性により式 (23) はこの領域でも成立し，
2
この条件に加えて，境界条件 (10) および式 (13)，(14) を用いれば，
となる．次に，
Pl
C1 = 0 , C2 =
( 2EA
)
Pl
l
u2 (x) =
≤x≤l
2EA
2
(24)
(25)
最後にケース C のとき，物体力は b =
(14) を用いれば，
P
であり，境界条件 (7)，(11) および式 (13)，
l
P
, C2 = 0
EA
P 2
P
u(x) = −
x +
x
2EAl
EA
C1 =
(26)
(27)
となり，各ケースの微分方程式が得られた．
(3) 作図ソフトを用いて問 (2) で求めたたわみ u(x) の関数形（たわみ曲線）を図示しなさい．
それぞれのケースで求められた微分方程式の解 (19)，(22)，(25)，(27) を用いて，仮に
材料パラメーターや荷重を
E = 2.0 × 1011 (Pa)
,
A = 0.001(m2 )
(28)
P = 5.0 × 10 (N) , l = 2.0(m)
4
(29)
とすれば，以下の図のような u(x) の関数形が得られる．
u(x) [m]
ーケースA
ーケースB
ーケースC
4.0×10-4
2.0×10-4
0
0
1
ᅛᐃ➃࠿ࡽࡢ㊥㞳 x
2 [m]

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