30 研究資料 バレーボール研究 第16巻 第1号 June 2014 Bradley-Terry モデルを用いたバレーボールの試合の ラインアップ分析論に関する研究 島津大宣 A Study of Volleyball Match’s Line-up Analysis Theory Using by Bradley-Terry Model Daisen Shimazu Abstract In league games, Takeuchi and Fujino reported a method for estimating each team’s strength by the Bradley-Terry（BT）model from the results of games. The similar manner was also applied to estimate parameters denoting attack and defense capabilities with respect to each volleyball team’s rotations. In the analysis using the BT model, a computer program on the basis of a repetition algorithm was indispensable to estimate parameters. Instead of such the algorithm, Shimazu proposed another simple estimation method called "Shimazu model", which is derived from the ratio of the number of success plays against the number of all attack plays or all defense plays. Afterwards it found that the parameters estimated by the BT model and Shimazu model are not always compatible. This paper examined the difference between the two models. As the results, it is reported that the BT model is a general model which includes Shimazu model. If the rotations constitute a single stream, parameters estimated by both models are same. Further, the estimation of the probability that a team acquires a set is reported by computer simulation with applying parameters obtained by BT model. Key words : Volleyball, Bradley-Terry model, Game analysis, Set gain ratio キーワード：バレーボール，Bradley-Terry モデル，ゲーム分析，セット取得率 Ⅰ. は じ め に 推定法（Maximum Likelihood））を示しており，本研究では， このBTモデルによる手法を適用し，その分析論と手法に おいて検討してみた． バレーボールのゲーム分析において，対戦前における分 島津ら4,5）は，最尤法で攻撃力と守備力を推定する代わ 析とセット進行中（オンサイトリアルタイム）における分析 りに，回のサービスに対して得点した回数の比で攻撃力を， に区分できる．対戦前における分析においては，ビデオテー 回のサーブレシーブに対してレシーブに成功した回数の比 プによる分析や収集したデータによる分等があり，各チー で守備力を表すモデル（以下，島津モデル）を提案している． ムにおいて，該当のチーム特有の分析において成果をあげ 島津モデルでは，単純に比を計算することにより，推定値 ている．しかし，セット進行中における分析においては， が求められるところに特徴があるが，島津モデルにおいて データバレー等による分析で，分析の手法として，多くな も，分析論と手法において検討してみた． いのが現状である． また，次のセットにおけるスターティングラインアップ 本研究では，セットの進行中において，6 選手がサービ の選択において，いかなる手法を用いたら，チームにとっ スをするが，どの選手がサービスをする際に連続得点の可 て最善のスターティングラインアップが選択できるかにつ 能性が高いか，あるいは低いかをいかに推定したらよいか． いては，推定した攻撃力と守備力の値を用いて，シミュレー 一方、レセプションの場合には，どの選手がライトバッ ションによりセットを取得する割合（セット取得率）を推定 クでレセプションとなる場合に，連続失点の可能性が高い する方法についても検討した． か，あるいは低いかを，同様に，いかに推定したらよいか． （なお，本論では，分析論とその手法の特徴についての 竹内・藤野 は，リーグ戦方式で勝敗を争うスポーツに 記述にとどめた．連続得点と連続失点の推定の実際につい おいて，対戦成績のデータからBradley-Terryモデル（以下， ては，別の機会とした） 6） BTモデル）1）を用いて各チームの強さを推定する方法（最尤 日 本 女 子 大 学 体 育 研 究 室 Department of Physical Education, Japan Women’s University （受付日：2013 年3 月25 日、受理日：2013 年8 月30 日） ࡇ ࡇ ࡛ 㸪6 㸦 㸳 㸧 㸦 㸳 s x 㸦 i 㸧 ij sii j 1 㸦 㸳 㸧 si ¦ 6 jj 11 ijij ¦ xij j 1 ࢸࡢ࣮➨ ࢩࣙ %࣮ࢳ ࣮ ࣟࢳ࣮࣮ࢸ࣒࣮ࡢࢩྛ࣮ࣙࣟࣥ ࢸ ᑐ࣮ ࡍࡿ ࡣ 㸪$ ࢳ ࣮ ࣒ࡣ ࡢ➨ i ࣮࣮࣒ࣟ ࣟࣥ ࣮ࡢ ࢸ1࣮ ࢩ ࣒ࣙ ࣥࡢ ࡢྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ %% ࢳ ࣮࣒ࡢ ࣮ ࢩࢩ ࡣ㸪 㸪$$ ࢳ ࢳ࣮ ࣒ࡢ 第➨16i 巻 第 号 （2014） 31 ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣟ㸬 ࣮ࡲ ࢸࡓ ࣮㸪 ࢩࣙ ࣥ ࡢ % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ 㸪 ࢳࡢ ࣮ྜ ࣒ィ ࡢ ➨࠶i ࡿ ⤖ ࡧ ࡘ ࠸ࡣ ࡓ ᅇ$ᩘ ࡓ࡛ ᅇᩘ ᩘࡢ ࡢྜ ྜィ ィ࡛ ࡛࠶ ࠶ࡿ ࡿ㸬 㸬ࡲ ࡲࡓ ࡓ㸪 㸪 ⤖ ⤖ࡧ ࡧࡘ ࡘ࠸ ࠸ࡓ ᅇ ⤖ࡧࡘ ࠸ ࡓ ᅇ ᩘ ࡢ ྜ ィ ࡛ ࠶ ࡿ 㸬 ࡲ ࡓ 㸪 6 バレーボール研究 66 ¦ xx ¦ 6 㸦 㸴 㸧 㸦 㸴 t j 㸧 ( nij xij ) 66 ( n x ) ( nijij xijij) （6） 㸦 㸴 㸧 i 1 tt jj 㸦㸴㸧 t j i 1 i 1 ( nij xij ) ϩ 㸬 ศ ᯒ ㄽ ศ ᯒⅡ．分析論 ࡢ ᡭ ἲ ㄽ （分析の手法論） ¦ ¦ ¦ i 1 j ࣮ࣟ ࡣ㸪% ࢳ࣮࣒ ࡢ➨ $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ࣟࢳ࣮࣮ࢸ࣒࣮ࡢࢩྛࣙࣟ ࣥࡽࡢ ࡣ ࣒ࢸ ࡢ࣮ ➨ࢩjjࣙ ࣟࣥ ࣮ࡀ ࢸ࣮ ࣮ ࢩࣙ ࣙࣥ ࣥࡀ ࡀྛ は，Bチームの第 j ローテーションがAチームの各ローテー ࡣ㸪 㸪 %% ࢳ ࢳ࣮ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ ࣟ ࣮ ࢸ ࢩ $$ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ྛ ࣟ ࣮࣮ࢸࢸ࣮࣮ ࡣ㸪% ࢳ࣮࣒ࡢ➨ j ࣮ࣟࢸ࣮ࢩࣙࣥࡀ $ ࢳ࣮࣒ࡢྛ࣮ࣟࢸ࣮ %UDGOH\7HUU\ ࣔ ࢹࣝࡼࡿ᥎ᐃ 1. Bradley-Terryモデルによる推定 ࡚ ࢧ ションからのサービスに対してサーブレシーブに成功して ࣮ࣈࣞࢩ ࣮ ࣈ ᡂ ຌ %ࢳ Ⅼ ࡿࡢ 㸬ྜ ィ ϩ㸬㸬 ศᯒ ㄽ ศ ᯒ ࡢ ᡭ ἲ ㄽ ࡚ ࢧ ࣮ ࣈ ࣞ ࢩࡋ ࣮࡚ ࣈ ᡂ࣮ ຌ࣒ ࡋࡀ ࡚ᚓ ࢳࡋ ࣮ࡓ ࣒ᅇ ࡀᩘ ᚓࡢ Ⅼྜ ࡋィ ࡓ࡛ ᅇ࠶ ᩘ ࡚ࢧ ࢧ࣮ ࣮ࣈ ࣈࣞ ࣞࢩ ࢩ ࣮ ࣈ ᡂ ຌ ࡋ ࡚ %%% ࢳ ࣮ ࣒ ࡀ ᚓ Ⅼ ࡋ ࡓ ᅇ ᩘ ࡢ ྜ ィ ࡚ ࣮ ࣈ ᡂ ຌ ࡋ ࡚ ࢳ ࣮ ࣒ ࡀ ᚓ Ⅼ ࡋ ࡓ ᅇ ᩘ ࡢ ྜ ィ バレーボールにおいて２つのチームＡとＢが対戦するも Bチームが得点した回数の合計である． ࣂ ࣞ ࣮ ࣎ ࣮ ࣝ ࠾ ࠸ ࡚ 㸰 ࡘ ࡢ ࢳ ࣮ ࣒ 㸿 㹀 ࡀ ᑐ ᡓ ࡍ ࡿ ࡶ ࡢ ࡍ ࡿ 㸬 $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ ࣟ ࣮ ࢸ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ ࡢ ᥎ ᐃ i ࡢ 㛵 ᩘ ࡳ ࡞ ࡍ ࡁ ᑬ ࡉ ࡚ 㸪 ᘧ 㸦 㸲 㸧 ࡣ 㸪 ᮍ ▱ ẕ ᩘ S , T , ( i , j 1 , 2 , 㺃㺃㺃 , 6 ) ϩ 㸬 ศ ᯒ ㄽ ศ ᯒ ࡢ ᡭ ἲ ㄽ ࡉ ࡚ 㸪 ᘧ 㸦 㸲 㸧 ࡣ 㸪i ᮍ j▱ ẕ ᩘ S i , T j , (i, j 1,2,㺃㺃㺃,6) ࡢ 㛵 ᩘ ࡉ࡚ ࡚ 㸪ᘧ ᘧ㸦 㸦㸲 㸲㸧 㸧ࡣ ࡣ㸪 㸪ᮍ ᮍi ▱ ▱ ẕ ，θ ， （i のとする．Aチームの第 i ローテーションがBチームの第 さて，式 （4） は，未知母数π SS ii， ,,TTj＝1 ,,22,,㺃㺃㺃 ࡢ㛵 㛵ᩘ ᩘ ࡳ ࡉ 㸪 ẕjᩘ ᩘ , j2j ，11…，6） 㺃㺃㺃,,66))ࡢ jj ,, ((ii,， 㸬 ࣝ ᐃࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ᑐ ࡋ ࡚ ࢧ ࣮ ࣅ ࢫ ࢆ ⾜ ࠸ 㸪 ᡂ ຌ 㸦 ᚓ Ⅼ 㸧 ࡍ ࡿ ☜ ࣮ ྛ%UDGOH\7HUU\ ࣮ࣟ ࣮ࡀ ࢩ ࣙ%ࣥࢳ ࡢࣔ ᨷࢹ ᧁ Ᏺࡼ ഛjࡿ ຊ ࡢ࣮ ᥎ ᐃ ࣟ᥎ ࢩ ࣙࢸࣥ ࣮ ࣒ຊ ࡢ ➨ ࡿ 㸬࠸ ࡲ ẕᩘ 㛵 ಀ 㒊 㸪ᘧ㸦 㸳࠾ 㸧࠾ ࡼ （関数） と呼ばれる．いま，未知母 j ローテーションに対してサービスを行い，成功（得点）す ࡤ ࢀ の関数とみなすとき尤度 ࡤ㸪ᮍ ࢀ ࡿ▱ 㸬࠸ ࡲ 㸪ᮍ ▱࡞ ẕ࠸ ᩘ ศ 㛵ࢆ ಀFRQVW ࡞ ࠸ 㒊 ศ࠾ ࢆࡁFRQVW ࡁ 㸪ᘧ ࡤࢀ ࢀࡿ ࡿ㸬࠸ 㸬࠸ࡲ ࡲ㸪ᮍ 㸪ᮍ ▱ ▱ẕ ẕᩘ ᩘ ࡤ 㛵 㛵ಀ ಀ࡞ ࡞࠸ ࠸㒊 㒊ศ ศࢆ ࢆ FRQVW FRQVW࠾ ࠾ࡁ ࡁ㸪ᘧ 㸪ᘧ 㸬 %UDGOH\7HUU\ ࣔ ࢹ ࣝ ࡼ ࡿ ᥎ ᐃ ࣂ⋡ ࣞࢆ ࣮࣎ ࣮ ࣝ ࠾ ࠸ ࡚ 㸰 ࡘ ࡢ ࢳ ࣮ ࣒ 㸿 㹀 ࡀ ᑐ ᡓ ࡍ ࡿ ࡶ ࡢ ࡍ ࡿ 㸬 $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ ࣟ ࣮ ࢸ i j とする． ，失敗 −p （5）および式（6）に対 る確率を p i jኻ Ⅼ 㸧 （失点） ࡍ ࡿ ☜ ⋡する確率を ࢆ qij 1 qpiijj＝1 ࡍ ࡿi㸬 ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 $ 数と関係ない部分をconst.とおき，式 ࢳ࣮࣒ࡢ➨ i࣮ࣟࢸ࣮ࢩ pij 㸪 ኻ ᩋ 㸦 ࡍࡿ☜⋡ኚᩘ ࡍࢆ ࡿࡑ ☜ࢀ ⋡ࡒ ኚࢀ ᩘ㸪 ࢆࡑ ࢀ ࡒ ࢀ 㸪 ࣂ ࣞ ࣮ ࣎ ࣮ ࣝ ࠾ ࠸ ࡚ 㸰 ࡘ ࡢ ࢳ ࣮ ࣒ 㸿 㹀 ࡀ ᑐ ᡓ ࡍ ࡿ ࡶ ࡢ ࡍ ࡿ 㸬$ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ i ࣟ ࣮ ࢸ ࡍࡿ ࡿ☜ ☜⋡ ⋡ኚ ኚᩘ ᩘࢆ ࢆࡑ ࢀ ࡒ ࢀ 㸪 i ，B ここで，Aチームの第 ࡍ ࡿ ☜ ࢩࣙࣥᑐࡋ࡚ࢧ࣮ࣅࢫࢆ⾜࠸ 㸪 ᡂ ຌ 㸦応する確率変数をそれぞれ， ᚓⅬ㸧ࡍ ࣮ࢩࣙࣥࡀ % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸi࣮ローテーションの攻撃力をπ ࣮ࢸ࣮ࢩࣙࣥࡢᨷᧁຊᏲഛຊࡢ᥎ᐃ ྛࣟ 各ローテーションの攻撃力と守備力の推定 j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ Ᏺ ഛ ຊ ࢆ T j ࡍ ࡿ6 ࡁ 㸪 6 6 ¦1Xij SSi ¦ ¦ XXijij ii j 1 ij ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ ࢆ Si 㸪 % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ Ᏺ ഛ ຊ ࢆ T j ࡍ ࡿ ࡁ 㸪 jj 11 ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ ࢆ Si 㸪 % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ Ᏺ ഛ ຊ ࢆ T j ࡍ ࡿ ࡁ 㸪 Tj Si ࠾ ࡼ ࡧ 㸪 㸦 㸯（1） 㸧 ࡢ ࣔ pࢹijࣝࣝ qij 1 pij ࠾ࡼ ࡼ ࡧ㸪 㸪 %UDGOH\7HUU\ ࡢ ࣔࢹ ࡞ ࡽ, ࠉࠉ ࡗ࡚㸪 %UDGOH\7HUU\ および， ࠾ Si࡞ࡽTࡗj ࡚ 㸪 Si T j ࠾ ࡼࡧ ࡧ 㸪 6 Tj SSi T 6 i , ࠉࠉq 㸦㸯 㸧 j pij ij q1 p1 ij p 㸦㸯 㸧ᡂ ࡾ ❧ ࡘ , ࠉࠉ p 㸦 㸶 㸧 T (nij TX ij ) 66 (n X ) ij ij ij ࡀ ࡶ ࡢ ௬ ᐃ ࡍ ࡿ 㸬 SSi TT Si TS ¦ j㸧 㸦 㸶 㸧 が成り立つものと仮定する． （8） j j 㸦 㸶 T (nijij X ijij ) ¦ j i j i T j 㸦 㸶 㸧 i 1 Tjj ¦ (nij X ij ) ii 11 いま，Aチームの第 i ローテーションがBチームの第 j ࡀ ᡂ࠸ ࡾ❧ ࡶ ࡢࢳ ࣮ ௬ᐃ ࡿ➨ 㸬 i ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡀ % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ᑐ ࡋ ࢧ ࣮ ࣅ ࢫ ࢆ ࡲࡘ㸪$ ࣒ࡍࡢ i 1 ࣙࣥࡢᨷᧁຊࢆ Si 㸪 % ࢳ࣮࣒ࡢ➨ ࣮ࣟࢸ࣮ࢩࣙࣥᑐࡋ࡚ࢧ࣮ࣅࢫࢆ⾜࠸㸪ᡂຌ㸦ᚓⅬ㸧ࡍࡿ☜ jとするとき， チームの第 j jローテーションの守備力をθ ⋡ ࢆ pij 㸪 ኻ ᩋ 㸦 ኻ Ⅼ 㸧 ࡍ ࡿ ☜ ⋡ ࢆ qij 1 pij ࡍ ࡿ 㸬 ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 $ ࢳ ࣮ ࣒ 㸦ࡢ㸵➨㸧i ࣟ ࣮ ࢸ 㸦࣮㸵 Sࢩ i㸧 ࡢࡍࣔࡿࢹ ࣝࢆq 㸪㸬ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ i ࣟ ࣮ ࢸ ࣮（7） ⋡%UDGOH\7HUU\ ࢆ pij 㸪 ኻᩋ㸦ኻⅬ㸧 ☜⋡ ࡚ ࡍࡿ ࢩ 1 ࡽpijࡗ ij ࡞ 㸦 Bradley-Terryのモデル化にならって， 㸦㸵 㸵㸧 㸧j ࣮ࢩࣙࣥࡀ % ࢳ࣮࣒ࡢ➨ ¦ ࡀᡂࡾ❧ࡘࡶࡢ௬ᐃࡍࡿ㸬 ࢀ ࡤ 㸪 ᑬ ᗘ ij ࣙ のうち，成 ローテーションに対しサービスを行う回数 nࢩ とすれば，尤度Lを次式で表すことができる． Lࢆ ࣥ ᑐ ࡋ ࢧ ࣮ ࣅࡍ ࢫࢆ ࠸ ࡲ 㸪$ ࢳ࣮࣒ࡢ➨ i࣮ࣟࢸ࣮ࢩࣙࣥࡀ % ࢳ࣮࣒ࡢ➨ j ࣮ࣟࢸ࣮ ࢆࡇ ḟ ᘧࡀ ࡛࡛ ⾲ࡁ ࡍࡿ ࡇ㸬 ࡀ ࡀ࡛ ࡛ࡁ ࡁࡿ ࡿ㸬 㸬 ࡍ ࡍࢀ ࢀ ࡤḟ 㸪ᘧ ᑬ࡛ ᗘ⾲ ࢆ ḟ ᘧ ࡛ ⾲ ࡍ ࡇ 㸪 ᑬ ᗘ LLࡍ xࡤ ᩘ࣮n࣒ ࡢ ࠺ ࡕ 㸪ᡂ ຌ㸦 ᚓࣙⅬࣥ㸧ࡍ ࡿࢳᅇ ᩘ ࢆ ⾲ ࡍ ☜࣮ ⋡ࢸ ኚ࣮ᩘࢩࢆ 㸪ࡑ ࡢࢧ ᐇ࣮⌧ࣅ ್ ࢆ 㸪 ࡍᑬ ࡿᗘ 㸬L ࢆ ḟ ᘧ ࡛ ⾲ ࡍ ࡇ ࡀ ࡛ ࡁ ࡿ 㸬 X ij ࡍ ࢀ ࡤ j ij ij ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࡀ % ࣮ ࣒ ࡢ ➨ ࣟ ࣙ ࣥ ᑐ ࡋ ࢫ ࢆ ࠸⾜ ࡲ࠺ 㸪$ᅇ ࢳ ࡢ ➨ i 功（得点）する回数を表す確率変数を Xij ，その実現値を x i j 6 nij ࡢ ࠺ ࡕ 㸪ᡂ ຌ㸦 ᚓ Ⅼ 㸧ࡍ ࡿ ᅇ ᩘ ࢆ ⾲ ࡍ ☜ ⋡ ኚ ᩘ ࢆ X ij 㸪ࡑ ࡢ ᐇ ⌧ ್ ࢆ xij ࡍ ࡿ 㸬 ࡀ 㡯 ศ ᕸ 㸪 ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 ☜ ⋡ ኚ ᩘ X 㸦 㸷 㸧 ij が二項分布， とする．ここで，確率変数 X （9） L const . u ij ⾜࠺ ᅇ࡛ ᩘ㸪n☜ ࠺ᩘ ࡕX㸪ᡂ ຌ㸦 ᚓ Ⅼ 㸧ࡍ ࡿ ᅇ ᩘ ࢆ ⾲ ࡍ ☜ ⋡ ኚ ᩘ ࢆ X ij 㸪ࡑ ࡢ ᐇ ⌧ ್ ࢆ xij ࡍ 㸦 㸷 㸧 㸦ࡿ 㸷㸬 㸧 L L ࡇࡇ ⋡ኚ ij ࡢ ij ࡀ 㡯 ศ ᕸ 㸪 ⾜࠺ᅇᩘ 6 6 66 n66 6 T 66 66 Si ij TT (S i ..uuT Tnnijj 6 SiSiSi 6j ) 6 6 T i T const ((SSSii const T TTjjj j jj )) nijj S S i i 1 jconst 1 1 T j )1 㸦㸷㸧 L . u ii 11 jj 11 i(S ii 11S i jj 11T j i j 㸪 x nnij ! x ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 ☜ ⋡ ኚ ᩘ X ij ࡀ 㡯 ศnᕸ x n x ij ! i j i j 1 1 1 1 㸦㸦 㸰㸰 㸧 （2） 㸧 Pr [X ij P [xijX] 㺃pij qij , ( xij 㺃p0,1,2q,㺃㺃㺃, nij,;(i,xjij 1,㺃㺃㺃 0,1,6,2) ,᭱ n᥎ij ᐃ ; i,ἲ j᭱ 1ᑬ ,㺃㺃㺃 ,ᐃ 6㸦) ἲ 㺃㺃㺃 i ，θj （9） の尤度を最大にするようなπ r ij x !x ij ] ᑬ, 最尤推定法は，式 ࡣ 㸪 ᘧ 㸷 㸧 ࡢ ᑬ ᗘ ࢆ ᭱ ࡍ ࡿ ࡼ ࠺ ࡞ Sࡍ Tࡿjࡼ (i,࠺ j࡞ ,S2i,,㺃㺃㺃 )! !( n x )! ij ij ᥎ ࡣ 㸪 ᘧ 㸦 㸷 㸧 ࡢ ᑬ ᗘ ࢆ ᭱ T (,6i,) ᭱ ᑬ ᥎ ᐃ ἲ ࡣ 㸪 ᘧ 㸦 㸷 㸧 ࡢ ᑬ ᗘ ࢆ ᭱ ࡍ ࡼ ࠺ ࡞1S i ,ࡿ ij ( nij x ijx i , T jj (i, nij !ij ij x ij n x （i ， j＝1 ， 2 ， … ， 6） を求めて，それぞれを未知母数の推 ᭱ ᑬ ᥎ ᐃ ἲ ࡣ 㸪 ᘧ 㸦 㸷 㸧 ࡢ ᑬ ᗘ ࢆ ᭱ ࡍ ࡿ ࡼ ࠺ ࡞ S , T 㸦㸰 㸧࠺ ࡶࡢ ࡍ qij࡛ ࠼ , (ࡽ xijࢀ ࡿ0㸬 ,1,2,㺃㺃㺃, nij ; i, j 1,㺃㺃㺃,6) Prࢀ [ Xࡤij㸪 ☜x⋡ij ]ኚ ᩘ X ࡢ ྠ ☜ ⋡㺃ࡣpḟ i j (i, ij ᘧ ᚑ ˆ᥎(iᐃ ˆˆ ((,ii6,,)jj ࡍ ^ ࢆ ij( n x )! ˆ ࡒ ࢀ ࢆ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ ᥎ ᐃ 㔞 ࡿ ᪉ἲ ࡛ ࠶ ࡿ 㸬᪉ ලἲ య࡛ ⓗ࠶ S , T , j 1 , 2 , 㺃㺃㺃 ^ ࡒ ˆ ࢀ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ 㔞 ࡍ ࡿ S T 1 , 2 , 㺃㺃㺃 , 6 ) x ! ˆ ࡒ ࢀ ࢆ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ ᥎ ᐃ 㔞 ࡍ ࡿ ᪉ ἲ ࡛ i j S , T 1 , 2 , 㺃㺃㺃 , 6 ) ij ij ij i j ᚑ࠺ ࡶ ࡢ ࡍ ࢀ ࡤ 㸪 ☜ ⋡ ኚ ᩘ ࡢ ྠ ☜ ⋡ ࡣ ḟ ᘧ ࡛ ࠼ ࡽ ࢀ ࡿ 㸬 X ij Xij の同時確率は次式で与 定量πi ，θj（i ，j＝1 ，2 ，… ，6）とする方法である．具体 に従うものとすれば，確率変数 i j ˆ 6 6 nij ! ࡒ ࢀ ࢆ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ ᥎ ᐃ 㔞 Sˆ i , T j (i, j 1,2,㺃㺃㺃,6) ࡍ ࡿ ᪉ ἲ ࡛ ࠶ x n x えられる． 的には，たとえば，式 （10）のように未知母数の初期値を 㸦㸱 ࡍ ࡿ㸬 [ Xࡤ ; i,⋡ 2,㺃㺃㺃 ] ྠ Pr ࢀ xij☜ j ኚ1,ᩘ 㺃pij q࠼ ᚑ ࠺㸧 ࡶࡢ ☜⋡ࡣḟᘧ X ,ij6ࡢ ij 㸪 ij ࡽ ࢀ 6 ࡛6 nij ! i 1 j 1 xij !( nij xij )! x n x 㸦 㸱 㸧 Pr [ X ij ,6]6 xij ; i, j 1,2,㺃㺃㺃 㺃pij q決める． ij 6 n 1! ࡇxij!(ࡀn࡛ ࡿxn ij㸬 )! x㸦 㸯 㸮 㸧 ࡢ ࡼ ࠺ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ ึ ᮇ ್ ࢆ Ỵ ࡵ ࡿ 㸬 ᘧ 㸦 㸯 㸧 ࡢ ௬ ᐃ ࡀ ᡂ ࡾ ❧ ࡘ ࡍ ࢀ ࡤ 㸪 ᘧ 㸦 㸱 㸧 ࡣ ḟ ࡢ ࡼ ࠺i ᘧ 1 ⾲j ijࡍ ij xࡁ ij ij ij ij ij ij ij x !(n ij ij 㺃pij q ij xij )! ij ij ij ij ij ᘧ㸦㸯㸮㸧ࡢࡼ࠺ᮍ▱ẕᩘࡢึᮇ್ࢆỴࡵࡿ㸬 0 㸦⾲ 㸯ࡍ 㸮（10） 㸧 ࡀ ࡛ Sˆࡁ 1㸬 / 12 , (i 1,20,㺃㺃㺃,6), Tˆ 0j 1 / 12, ( j 1,20 ,㺃㺃㺃,6) ᘧ 㸦 㸯 㸧 ࡢ ௬ ᐃ ࡀ ᡂ ࡾ ❧ ࡘ ࡍ ࢀ ࡤ 㸪 ᘧ 㸦 㸱 㸧 ࡣ ḟ ࡢ ࡼ ࠺ ࡇ i ࡿ 㸦 㸯 㸮 㸧 Sˆ i 1 / 12, (i 1,2,㺃㺃㺃,6), Tˆ j 1 / 12, ( j ᘧ㸦㸯㸧ࡢ ௬ （1） ᐃࡀᡂ ࡾ ❧ ࡘ ࡍ ࢀ ࡤ 㸪 ᘧ 㸦 㸱 㸧 ࡣ ḟ（3） ࡢࡼ࠺ ⾲ࡍࡇࡀ࡛ࡁࡿ㸬 ᘧ㸦㸯㸮㸧ࡢࡼ࠺ᮍ▱ẕᩘࡢึᮇ್ࢆỴࡵࡿ㸬 式 の仮定が成り立つとすれば，式 は次のように ᘧ㸦㸯㸮㸧ࡢࡼ࠺ᮍ▱ẕᩘࡢึᮇ್ࢆỴࡵࡿ㸬 ࡘ ࡂ 㸪 ࡘ ࡂ 㸪 表すことができる． つぎに， 0 0 ࡵ1ࡿ ᘧ 㸦 㸯 㸮 ▱ ึ ,ᮇ 㸬, ( j 㸦 SSˆˆi00࠺ 11//ᮍ 12 ,,((iiẕ ᩘ 11,,22ࡢ ,,㺃㺃㺃 66), ),್ ࢆTTˆˆỴ 12 Pr [ X ij xij ; i, j 1,2,㺃㺃㺃,6] j 㸦㸯 㸯㸮 㸮6㸧 㸧㸧 ࡢ n ࡼ 12 㺃㺃㺃 , 1 //12 ,( j i j ij (0) 6 㸦 㸯 㸯 㸧 ri 0 0 n ˆ ˆ( 0()0 ) 1 / 12, (i 1ij ,2,㺃㺃㺃 㸦ࡂ 㸯 㸮㸪 㸧S ( 0) ST ,6), T j 1 / 12, ( j 6 6 nij ! T jࡘ 㸦ࡂ 㸯n 㸯 㸧 ri ˆi j S i x（11） j㸪 1 ˆ ࡘ Pr [ X ij xij ; i, j 1,2,㺃㺃㺃,6] ij ij xij i (0) (0) 6 ij ij S x !( n T x nij ! 6 i 1 j 1 x 6 x !(n （4） 㸦㸲㸧 i 1 j 1 ij ij nij ! S T 㺃 x !( n 㸦 㸲 㸧 nij ! 6 6 j xij i nij xij j 1 nijij j j xij )! i (S1 i T ) ij ¦ ¦ Sˆ Tˆ n n 㸦㸯㸯㸧 ¦ r 㸦 ˆ ࡿn ࢆ㸯 ィ㸯 ⟬㸧 ࡋ ࡚ ḟ ࡢ ್ ࢆ¦ ồS ࡵ 㸬Tˆˆ x n x ˆ S S i T㸦j 㸯 㸰 㸧 ˆ 㸬 S S / r 㸦㸯㸯㸧 r を計算して次の値を求める． ¦ Sˆ (0) 㸬 TTˆ (1) 㺃 㸦 㸯 㸰 㸧 Sˆ S /r ) ࣭( ) ࣭( ࡘ ࡂ 㸪 T S T x S i ijn)! j i j ࢆィ⟬ࡋ࡚ḟࡢ್ࢆồࡵࡿ㸬 r (0 ) i 1 j i 1 ijij ) ࣭( ij ) ࣭( x n x ! ( )! S T S i T j i 1 j 1 ij ij ij i j 6 j ij ij xij ; i, j 1,2,㺃㺃㺃,6] i ij ij 㸦 㸱 㸧 （3） Pr [ X ij ij ij ij ij ij j 1 6 6 i (0) i (0) i i ij ij (1) i nij xij )! (S i ྠTᵝj ) 㸪 (0) 㺃㺃㺃 11,,22,,㺃㺃㺃 1,2,㺃㺃㺃 j (0) (0) i( 0 ) ij j( 0 ) i j i i (0) (0) j 1 i ࢆ ィ ⟬ ࡋ ࡚ ḟ ࡢ i್ ࢆ ồi ࡵi ࡿ 㸬 j ij 1,2,㺃㺃㺃 j 61 j 1 ࢆィ⟬ࡋ࡚ḟࡢ್ࢆồࡵࡿ㸬 1) 0) ྠ㸯 ᵝ㸰 㸧 㸪࡚ ḟ ࡢ ࢆ ィ ⟬ ࡋ ࢆSồ ࡵ(ࡿ 㸬 （12） 㸦 Sˆ i((್ i / ri ( 0 ) 㸬 1) · § 6㸦( 0)㸯s 㸰· 㸧 § 6 6 · §n6ij ! s · § 6 t · 1 § 6 nijStˆj i(·1) S i / ri ( 0) 㸬 nij ! §¨ 6 61 j 㸯 㸱 㸧 ¸ u i ¦ ¨ ¸࣭¨ S i ¸㺃¨ 㺃 T 㸦 jS ¸ ¨ 㺃 㸦 㸯 㸰 㸧 ( 0) T Sjˆˆ(i (0¸0)) S6i / ri n 㸬 ࣭ 㺃 ྠ ᵝ 㸪 ¨ ¸ i ¸ ¨ j ¸ ij i ¸i 1¨S nij ¸ ¨ ¨ ¨ i(S1 i j T1 j x) nijij !¸¹( n¨© 㸦 㸯 㸱 㸧 ˆ j i 1 uT jj¸ i 1 x ¹)! 㸪 © j (1S i ¹ T j ) 同様に， © i 1 j 1 xij !( nij xij )! 1 ᵝ i ྠ © ¹ ij ij ( 0 ) © ¹ i6 1 Sˆ Tˆ ( 0) © ¹ ྠᵝ㸪 i nij j ( 0) ࢆィ⟬ࡋ࡚㸪ḟ ¦ 6 u㸬 㸦ࡢ 㸯್ 㸱ࢆ 㸧ồ ࡵ ࡿ ࡇࡇ࡛㸪 j ( 0 ) nij ˆ ( 0 ) ( 0) ࡿ T㸬j i 61 Sˆ i n u (j0ࡢ 㸦(1)ィ 㸯⟬ 㸱ࡋ 㸧࡚ ( 0㸪 ) ḟ ここで， ࡇ ࡇ ࡛ 㸪 （13） ࢆ ್ ࢆ ồ ࡵ ij ( 0) ˆ 㸯 㸱T 㸧/ u 㸬u ) ¦ ˆ (0) 6 㸦 㸯 㸲 㸧 T㸦 i 1 Sˆ i( 0 ) T j( 0 ) j j j j ˆ 㸦 㸳 㸧 si ¦ xij ˆ S T ( 1 ) ( 0 ) 1 i 6 ˆ ࡢ ್Tࢆ/ồ i ࡵ㸬 j ࢆ ࡿ㸬 㸦ィ 㸯⟬ 㸲ࡋ 㸧࡚ 㸪 ḟ j 1 T u j j j ࡇࢀࡽࡢ ್ࡀ 㸦 㸳 㸧 si xij （5） を計算して，次の値を求める． ࢆ᮰ ィࡍ ⟬ࡿ ࡋࡲ ࡚࡛ 㸪⧞ ḟࡾ ࡢ㏉ ್ࡋ ࢆ㸪 ồᘧ ࡵ㸦 ࡿ㸯 㸬㸳 㸧ᚑࡗ࡚ᇶ‽ࡋ࡚᭱ᑬ᥎ 6 ¦ ¦ ¦ ) 0) ˆ (1ࡢ ࢆ ィ㸲 ⟬㸧 ࡋ ࡚ ḟ ್ ồ ࡵ ࡿࡾ 㸬㏉ ࡋ㸪ᘧ㸦㸯㸳㸧ᚑࡗ࡚ᇶ 㸦 㸯 㸪 T 㸬 u (j࡛ j j /ࡲ ࡇ ࡍTࢆ ࡿ ⧞ 6 ࢀࡽࡢ 6 ್ ࡀ (᮰ 1 ) ( 0) ˆ 㸦㸯 㸲 㸧 ˆ Tˆ (j1) T j / u (j0 ) 㸬 ⤖ࡧࡘ࠸ࡓᅇᩘࡢྜィ࡛࠶ࡿ㸬ࡲࡓ㸪 㸧 ࣮ Sˆ iࡽ ࡢ 㸦 㸯 㸲 㸧್ T ࡍ j ࡿ 㸬 ࡾ ㏉ ࡋ 㸪 ᘧ 㸦 㸯 㸳 㸧 ᚑ ࡗ ࡚ ᇶ （14） T16jࢧ uࡀ ࡀ ᮰ ࡍTࣅ ࡿ ࡛ ⧞Ⅼ ࡣ 㸪$ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ i ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ % ࢳ ࣮ ࣒㸦 ࡢ㸯 ྛ㸳 ࣟ ࣮ࢸ࣮ࡇ ࢩࢀ ࣙ ࣥ ᑐ j /ࢫ j ᚓ 6ࡲ ࡣ 㸪$ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ i ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ % ࢳ ࣮ j ࣒ 1 ࡢྛ࣮ࣟࢸ࣮ࢩࣙࣥᑐࡍࡿࢧ࣮ࣅࢫࡀᚓⅬ ¦ ¦ ˆ j ⧞1ࡾ 㸦ࢀ 㸯ࡽ 㸳ࡢ 㸧್ ࡀ ᮰ ㏉ࡋ㸪ᘧ㸦㸯㸳㸧ᚑࡗ࡚ᇶ Sˆࡍ ࡇ i ࡿ6ࡲT࡛ ࡇ ࢀ ࡽ ࡢ ್ ࡀ 6 ᮰ ࡍ ࡿࡲ࡛ ⧞ࡾ㏉ࡋ㸪ᘧ㸦㸯㸳㸧ᚑࡗ࡚ᇶ i j 1 1 ˆ ࡇࡢࡼ࠺ ࡋ࡚ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛຊ㸦 i 1 S i , T j , (i, j 1,2,㺃㺃㺃,6 㸦 㸯ࣟ 㸳࣮ 㸧ࢸ ࣮ ࢩ 6ࣙSˆࣥ T 1 ションに対するサービスが得点に結びついた回数の合計で これらの値が収束するまで繰り返し，式 （15） に従って基 i j 6 ¦ ¦ ¦ ¦ ˆ ࡣ 㸪 % ある．また， ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡀ $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡽ ࡢ ࢧ ࣮ ࣅ ࢫ準化して最尤推定値とする． ᑐࡋ ࡇ 㸦 㸯 㸳 㸧 ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ 㸦 S , T , ࣮¦ ࡢ ࡼ ࠺ ࡋ ࡚ ࢸT ¦࡛SS࠶ ˆˆࣟࡿ 㸦ࣝ 㸯 㸳ࡼ 㸧ࡿ ᡭ ἲ¦ Tˆ࣮ ࢩ11ࣙ ࡿࡢࡀ㹀㹒ࣔࢹ 㸬 㸦㸴㸧 t ¦ ¦ (n x ) ࡇ ࡢ ࡼ ࠺ ࡋ ࡚ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ 㸦 S ,T , は，Aチームの第iローテーションのBチームの各ローテー 㸦㸴㸧 tj 6 ࡓᅇᩘࡢྜィ࡛࠶ࡿ㸬ࡲࡓ㸪 ( nijࡧ xࡘ ¦⤖ ij )࠸ j 1 i 61 6 j i 1 ij ij ࡚ࢧ࣮ࣈࣞࢩ࣮ࣈᡂຌࡋ࡚ % ࢳ࣮࣒ࡀᚓ i 1Ⅼ ࡋ ࡓ ᅇ ᩘ ࡢ ྜ ィ ࡛ ࠶ ࡿ 㸬 i 1 i 1 i i j 61 j 1 j 1 j j i j i j ࡿࡢࡀ㹀㹒ࣔࢹࣝࡼࡿᡭἲ࡛࠶ࡿ㸬 ࡇ ࡢࡀ ࡼ㹀 ࠺㹒 ࣔ ࡋࢹ ࡚ࣝ ࣟࡼ ࣮ࡿ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ຊᏲഛຊ㸦 ࡉ ࡚ 㸪 ᘧ 㸦 㸲 㸧 ࡣ 㸪 ᮍ ▱ ẕ ᩘ S i , T j , (i , j 1,2,㺃㺃㺃,6) ࡢ 㛵 ᩘ ࡳ ࡞ ࡍ ࡁ ᑬ ᗘ 㸦 㛵 ᩘ 㸧 ࡇ ࡼ ࠺ ࡋ ࡚ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ᑐ ࢩࡋ ࣙ࠶ ࣥࡿ ࡢᨷ ᨷᧁ ᡭ ἲ ࡛ 㸬 ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ 㸦SSii,,TTj j,, ࡣ 㸪 % ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨ j ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡀ $ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ྛ ࣟ ࣮ ࢸࡿ ࣮ࡢ ࢩࣙ ࣥ ࡽ ࡢ ࢧ ࣮ ࣅ ࢫ ࣝ ࡼ ࡿ ᥎ ᐃ 㸬 ᓥ ὠ ࣔ ࢹ ࡤ ࢀ ࡿ 㸬࠸ ࡲ 㸪ᮍ ▱ ẕ ᩘ 㛵 ಀ ࡞ ࠸ 㒊 ศ ࢆ FRQVW ࠾ ࡁ 㸪ᘧ㸦 㸳 㸧࠾ ࡼ ࡧ ᘧ㸦 㸴 㸧 ᑐ ᛂ ࡿ࡛ ࡢ࠶ ࡀࡿ 㹀㸬 㹒ࣔ ࣔࢹ ࢹࣝ ࣝ ࡼ ࡼࡿ ࡀ 㹀 㹒 ࡿᡭ ᡭἲ ἲ࡛ ࡛࠶ ࠶ࡿ ࡿ㸬 㸬 ࡚ ࢧ ࣮ ࣈ ࣞ ࢩ ࣮ ࣈ ᡂ ຌ ࡋ ࡚ % ࢳ ࣮ ࣒ ࡀ ᚓ Ⅼ ࡋ ࡓ ᅇ ᩘ ࡢ ྜࡿ ィࡢ ᓥࢹ ὠࣝ ࣔ ࢹࡼ ࣝࡾ ྛ ࡼࣟ ࡿ࣮ ᥎ࢸ ᐃ࣮ ࢩࣙࣥࡢᨷᧁຊᏲഛຊࢆ᥎ᐃ ࡍࡿ☜⋡ኚᩘࢆࡑࢀࡒࢀ㸪 ᓥ ὠ ࡽ ࡣ㸪㸬 %7 ࣔ 㸦㸯㸱㸧 ( 0) u (j0) 6 ¦ ¦ Sˆ i 1 ( 0) niji Tˆ (j 0 ) 㸦㸯㸱㸧 u j ( 0) 0) Sˆࢆ ࡵ Tˆ (j ࡿ ࢆィ⟬ࡋ࡚㸪ḟࡢ 㸬 i 1್ i ồ 表1 ) 研究資料 島津：Bradley-Terryモデルを用いたバレーボールの試合のラインアップ分析論に関する研究 ˆ (1)ࢆ ồ 32ࢆ ィ㸦 㸬 T jࡵ/ uࡿ(j0㸬 ⟬㸯 ࡋ㸲 ࡚㸧 㸪ḟࡢT್ j ᮰ ࡲ࡛⧞ࡾ㏉ࡋ㸪ᘧ㸦㸯㸳㸧ᚑࡗ࡚ᇶ‽ࡋ࡚᭱ᑬ᥎ᐃ್ࡍࡿ㸬 㸦 㸯ࡇ 㸲ࢀ 㸧ࡽ ࡢ ್ Tˆࡀ Tjࡍ / uࡿ j j 㸬 (1) (0) (b) 成功(得点)本数 6 ࡿࡲ࡛ 6 ⧞ࡾ㏉ࡋ㸪ᘧ㸦㸯㸳㸧ᚑࡗ࡚ ࡇࢀࡽࡢ್ࡀ᮰ࡍ ᇶ‽ࡋ࡚᭱ᑬ᥎ᐃ್ࡍࡿ㸬 Total BR1 BR2 BR3 BR4 BR5 Sˆ i Tˆ j 1 6 6 0 3 0 0 0 AR1 i 1 j 1 㸦㸯㸳㸧 Sˆ i Tˆ j 1 0 6 2 0 0 AR2 j 1 ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ（π 1 ࡚ࣟ ， ຊ 㸦 SAR3 このようにして全ローテーションの攻撃力と守備力 ࡇ ࡢ ࡼ ࠺ i ࡋ Ᏺi ഛ 0 i , T j , (i , j 01,2,㺃㺃㺃0,6) 㸧 2ࢆ ᥎ ᐃ4ࡍ 0 0 0 0 3 AR4 （i ，j＝1 ，2 ，… ，6） ）とを推定するのがBTモデルによ θj， ࡇ ࡢࡿ ࡼࡢ ࠺ࡀ 㹀 ࡋ㹒 ࡚ࣔ ࢹ ࣟࣝ ࣮ ࢸࡼ ࣮ࡿ ࢩᡭ ࣙἲ ࡛ࣥ ࡢ࠶ ᨷࡿ ᧁ㸬 ຊ Ᏺ ഛ ຊ 㸦 S i , T j , (i, j 1,2,㺃㺃㺃,6) 㸧 ࢆ ᥎ ᐃ ࡍ 0 0 0 0 3 AR5 る手法である． 1 0 0 0 AR6 表 02 ࡿ ࡢࡀ 㹀 㹒 ࣔ ࢹ ࣝ ࡼ ࡿ ᡭ ἲ ࡛ ࠶ ࡿ 㸬 1 9 4 4 6 合計 （15） 㸦 㸯 㸳 㸧 ¦ ¦ ¦ BR6 ¦ 2. 島津モデルによる推定 㸬 ᓥ ὠ ࣔ ࢹ ࣝ ࡼ ࡿ ᥎ ᐃ 合計 0 0 0 0 3 0 3 3 8 6 3 6 1 27 島津ら4,5）は，BTモデルにより各ローテーションの攻撃 表2 攻撃力の推定値 ࣝ ࡼ ࡿ ᥎ ᐃ 㸬 ᓥ 表2 攻撃力の推定値 ᓥὠ ὠࣔ ࡽࢹ ࡣ 㸪 %7 ࣔ ࢹ ࣝ ࡼ ࡾ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁຊᏲഛຊࢆ᥎ᐃࡍࡿࡓࡵࡣ 力と守備力を推定するためには反復法のプログラムを必要 Offence BTモデル 島津モデル 本数 ᓥ ὠ ࡽἲ ࡢ ࡣ ࣒ࣔ ࢹࢆ ࣝᚲ せ ࡼ ࡾ ྛࡿ ࣟࡓ ࣮ࡵ ࢸと呼ばれる ࣮ࡇ ࢩࢀ ࣙ ࣥ௦ ࡢࢃ ᨷࡿ ᧁ᪉ ຊἲ Ᏺࡋ ഛ࡚ ຊࠕ ࢆᚓ ᥎Ⅼ ᐃἲ ࡍࠖ ࡿ ࡓ ࡵࡤ ࢀ ࡣࡿ ᥎ 得点 とするため，これに代わる方法として 「得点法」 ࣉ㸪 ࣟ %7 ࢢࣛ ࡍ 㸪 0.011 0.050 3 10 AR1 推定法を提案した．得点法は，式 （16） ἲࡢࣉࣟࢢ࣒ࣛࢆᚲせ ࡍ ࡿに示すように，サー ࡓ ࡵ 㸪 ࡇ ࢀ ௦ ࢃ ࡿ ᪉ ἲ AR2 ࡋ ࡚ ࠕ ᚓ Ⅼ ἲ0.042 ࠖࡤࢀࡿ ᥎ 0.078 8 17 ᐃἲࢆᥦࡋࡓ㸬ᚓⅬἲࡣ㸪ᘧ㸦㸯㸴㸧♧ࡍࡼ࠺㸪ࢧ࣮ࣅࢫࢧ࣮ࣈࣞࢩ࣮ࣈࡢᅇᩘ ビスとサーブレシーブの回数に対して，それぞれのラリー 0.149 0.071 6 14 AR3 ᐃἲࢆᥦࡋࡓ㸬ᚓⅬἲࡣ㸪ᘧ㸦㸯㸴㸧♧ࡍࡼ࠺㸪ࢧ࣮ࣅࢫࢧ࣮ࣈࣞࢩ࣮ࣈࡢᅇᩘ ᑐࡋ࡚㸪ࡑࢀࡒࢀࡢ࣮ࣛࣜ࠾࠸࡚ᡂຌࡋ࡚ᚓⅬࡋࡓᅇ ᩘࡢྜࢆࡑ ࢀ ࡒ ࢀ ༢ ⣧0.050 ᨷᧁ において成功して得点した回数の割合をそれぞれ単純に攻 0.023 3 10 AR4 ᑐ ࡋ ࡚ 㸪 ࡑ ࢀ ࡒ ࢀ ࡢ ࣛ ࣜ ࣮ ࠾ ࠸ ࡚ ᡂ ຌ ࡋ ࡚ ᚓ Ⅼ ࡋ ࡓ ᅇ ᩘAR5 ࡢ ྜ ࢆ ࡑ ࢀ0.073 ࡒࢀ༢⣧ᨷ ᧁ 0.077 6 13 撃力および守備力とする点に特徴がある． ຊ ࠾ ࡼ ࡧ Ᏺ ഛ ຊ ࡍ ࡿ Ⅼ ≉ ᚩ ࡀ ࠶ ࡿ 㸬 0.017 0.021 1 8 AR6 ຊ ࠾ ࡼ ࡧ Ᏺ ഛ ຊ ࡍ ࡿ Ⅼ6 ≉ ᚩ ࡀ ࠶ ࡿ 㸬 表 30.347 27（0.375） 0.317 72 合計 S s6i ¦ nij , (i 1,2,㺃㺃㺃,6) °° i nijj6 1, (i 1,2,㺃㺃㺃,6) ¦ ° ° j 1 㸦 㸯 㸴 㸧 （16） ® T j t 6j ¦ nij , ( j 1,2,㺃㺃㺃,6) °T j °¯ t j ¦ niij 1, ( j 1,2,㺃㺃㺃,6) i 1 ¯° S i ® si 㸦 㸯 㸴°㸧 表3 守備力の推定値 表3 守備力の推定値 Offence BTモデル 島津モデル 得点 ࡇ ࠺ ࡋ ࡚ ồ ࡵ ࡓ ್ ࢆ ᘧ 㸦 㸯 㸳 㸧 ࡼ ࡾ ᇶ ‽ ࡋ ࡚ 㸪 ᨷ ᧁ BR1 ຊ Ᏺ ഛ ຊ ࡢ0.110 ᥎ ᐃ ್ ࡍ ࡿ0.146 㸬 7 ࡇ ࠺ ࡋ ࡚ ồ ࡵ ࡓ ್ ࢆ ᘧ 㸦 㸯 㸳 㸧 ࡼ ࡾ ᇶ ‽ ࡋ ࡚ 㸪 ᨷ ᧁ ຊ BR2 Ᏺഛຊࡢ᥎ᐃ ್ ࡍ ࡿ 㸬 0.020 0.078 8 0.134 0.111 8 BR3 こうして求めた値を式 （15）により基準化して，攻撃力 0.237 0.111 8 Ϫ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ ࡢ ᥎ ᐃ ࡢ ᐇ 㝿BR4 と守備力の推定値とする． 0.042 0.090 7 Ϫ ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ Ᏺ ഛ ຊ ࡢ ᥎ ᐃ ࡢ ᐇ 㝿 BR5 0.140 0.117 7 BR6 0.683 0.653 45(0.625） Ⅲ. 各ローテーションの攻撃力と守備力の推定の実際 合計 本数 8 17 12 12 13 10 72 1. BTモデルと島津モデルの相違について 表1 のAR1 とAR4 に注目すると，それぞれのローテー 両モデルにより，各ローテーションの攻撃力と守備力を 2 ションで2 ＋8 ＝10 回のサービスを行い，両方とも3 回 推定するプログラムを開発したので，これを実際の試合で 得点している．このとき，表2 から島津モデルの場合は 得られたデータに適用した結果に基づいて両モデルの相違 両方の攻撃力（AR1 とAR4 は共に0.050）が等しいことが について検討した．用いたデータは，2004 年のオリンピッ わかる．一方，BTモデルの場合，AR4 の攻撃力の方が ク予選日本対イタリア戦（2004OQT）である．表1（a）に日 高く（0.023），AR1 の方が低く（0.011）なっている．そ 本のローテーションAR1 からAR6 がイタリアのローテー の理由は，BTモデルの場合は，相手チームのどのロー ションBR1 からBR6 に対するそれぞれのサービスの回数， テーションに対するサービスが得点に結びついたかを 表1（b）にサービスのうち得点に結びついた回数を示す． 考慮しているからである．つまり，BR2（0.020）とBR5 これらのデータに基づいて，BTモデルと島津モデルによ （0.042）の守備力を比較すると，BR2 より守備力の高い り推定した攻撃力と守備力の値を表2 および表3 に示した． BR5 から3 回得点（AR1 も3 3 回得点）しているため，AR1 よりAR4 の方が攻撃力において高くなっていると考え 表1 日本（A）対イタリア（B）戦の第1 セットから第3 セットにおけ 表1 る日本のサービス状況 (a) サービス本数 Total BR1 BR2 2 8 AR1 0 9 AR2 0 0 AR3 0 0 AR4 0 0 AR5 6 0 AR6 8 17 合計 ることができた． 同様に，表1 のBR3 とBR4 に注目すると，両方とも12 本 のサービスを受け8 本の守備に成功している．表3 より， BR3 0 8 4 0 0 0 12 BR4 0 0 10 2 0 0 12 BR5 0 0 0 8 5 0 13 BR6 0 0 0 0 8 2 10 合計 10 17 14 10 13 8 72 島津モデルの場合，両方の守備力（双方が0.111）が等しい ことがわかる．一方，BTモデルの場合，BR3（0.134）と BR4（0.237）とでは，BR4 の守備力の方が高くなっている． これは，攻撃力の高いAR3（0.149）からのサービスに対し て10 本中6 本の守備に成功していることが影響していると 4 考えられる．また，AR2（0.078）のように島津モデルでは 高い攻撃力を示しているが，BTモデル（0.042）ではそれほ バレーボール研究 第 16 巻 第 1 号 （2014） 33 ど高くない場合がある．これは，BTモデルでは，データ 具体的には，第1 セットにおいて、AR1 がBR1 にサービ 全体から攻撃力や守備力を同時推定しているからだと考え スをしてセットが開始され，第2 セットにおいて，AR6 が られた． BR1 のサービスに対してレセプションをしてセットが開始 ここで，表4（a）および（b）に日本対イタリア戦の第1 セッ された場合は，BTモデルと島津モデルによる攻撃力と守 トについて，表1 と同様にデータを整理して示す．この場 備力の推定値は一致するが，第2 セットにおいて，AR1 が 合，BTモデルと島津モデルのそれぞれによる各ローテー BR1 のサービスに対してレセプションをしてセットが開始 ションの攻撃力と守備力はそれぞれ表5 および表6 のよう された場合は，BTモデルと島津モデルによる攻撃力と守 に求められ，両者の値は一致していることがわかる．以上 備力の推定値は一致しない．AR1 は，第1 セットにおいて により，BTモデルと島津モデルによる攻撃力と守備力の BR1 へのサービスであるが、第2 セットにおいてBR6 への 推定値が一致しないのは，表1 の場合のように，Aチーム サービスとなるからである． のあるローテーションがBチームの複数のローテーション 2012 年7 月から8 月にかけて開催された，ロンドンオ にサービスを行うようなデータが含まれている場合である リンピック大会における，日本対イタリア戦，日本対ロ といえた． シア戦および日本対ブラジル戦において，日本のR1 は， 表4 表4 日本（A）対イタリア（B）戦の第1 セットにおける日本のサービス状況 表4 (a) サービス本数 Total BR1 BR2 BR3 BR4 BR5 BR6 合計 2 0 0 0 0 0 2 AR1 0 9 0 0 0 0 9 AR2 0 0 4 0 0 0 4 AR3 0 0 0 2 0 0 2 AR4 0 0 0 0 5 0 5 AR5 表 40 0 0 0 0 2 2 AR6 2 9 4 2 5 2 24 合計 (b) 成功(得点)本数 Total BR1 BR2 0 AR1 0 AR2 0 AR3 0 AR4 0 AR5 0 AR6 0 合計 相 手 チ ー ム の 複 数 のRフ ェ イ ズ に サ ー ビ ス を し て い た が，韓国戦においては，同じRフェイズにサービスをし ていた． 攻撃力と守備力の予測において，島津モデルでは，高 いRフェイズと低いRフェイズとの差が少ないが，BTモデ ルでは，高いRフェイズは高く，低いRフェイズは低く， 最尤法を用いている特徴がよく表れており，攻撃力と守 備力の予測の精度からみると，島津モデルよる分析より も，BTモデルによる分析の方が，予測の精度は高いと言 えた． （BTモデルでは，強さおよび弱さを推定するもので， 攻撃力が0.700 以上の場合もあり，0.800 以上の場合もみ BR3 0 6 0 0 0 0 6 BR4 0 0 2 0 0 0 表5 2 BR5 0 0 0 0 0 0 0 BR6 0 0 0 0 3 0 3 合計 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 0 3 0 11 表2 の攻撃力の推定値と表3 の守備力の推定値において， BTモデル（Aの攻撃力：0.317，Bの守備力：0.683）でも， 島津モデル（Aの攻撃力：0.347，Bの守備力：0.653）でも， 攻撃力の推定値と値守備力の推定値を加算すると「1」とな る．（表示はないが、Bの攻撃力とAの守備力を加算すると 「1」となる） 深瀬4）は，マルコフモデルを用いて，自チームのサービ 表5 攻撃力の推定値 表5 攻撃力の推定値 Offence BTモデル 島津モデル 得点 0.000 0.000 0 AR1 0.111 0.111 6 AR2 0.083 0.083 0 AR3 0.000 0.000 0 AR4 0.100 0.100 3 AR5 0.000 0.000 0 AR6 0.294 0.294 11（0.458） 合計 られる） ス時におけるスパイク，ブロック，サービスおよびミス， 本数 2 9 4 2 5 2 24 表6 相手チームのレセプション時におけるスパイク，ブロック およびミスの各々の項目において数値化して，総合計を 「1」する手法を用いていた．相手チームにおいても同様で ある． 遠藤ら2）も，深瀬3）と同様に，マルコフモデルを用い， オペレーションズ・リサーチ法により「1」とし，数値の変 換をして， 「1」以上にし，相手チームに勝つ手法であった． 島津ら4,5）の，BTモデルおよび島津モデルによる分析で 表6 守備力の推定値 表6 守備力の推定値 5 Offence BTモデル 島津モデル 得点 0.167 0.167 2 BR1 0.056 0.056 3 BR2 0.083 0.083 2 BR3 0.167 0.167 2 BR4 0.067 0.067 2 BR5 0.167 0.167 2 BR6 0.707 0.707 13(0.542） 合計 6 は，スパイクおよびブロック等の項目ではなく，各ローテー 本数 2 9 4 2 5 2 24 ションフェイズに区分したところが特徴である． 双方を加算して「1」にする手法においては，3 者共に同 じであった． 研究資料 島津：Bradley-Terryモデルを用いたバレーボールの試合のラインアップ分析論に関する研究 34 2. 各 ローテーションの攻撃力と守備力を基にしたセッ ト取得率の予測 （1）各ローテーションの組合せにおける得点率 予測を行った．5000 回のシミュレーションのうち，日本（A チーム）が15 点先取した回数を求めた結果を表8 に示した． 第5 セットは日本からサービスが行われたので，イタリア 各ローテーションの攻撃力と守備力の推定値から，式 （1） によりローテーションの組合せ36 通りの得点率を求める ことができる．AチームがBチームにサービスを行う場合， がサービスを行ったときのセット取得率は省く．ここで， 「*」は実際にセットが開始されたローテーションの組合せ を表す． 表7（a）と表7（b）にそれぞれBTモデルおよび島津モデルに 表8（a）よ り， 日 本 と し て は， 平 均 取 得 率 に お い て， よって求めた得点率を示した． （第3セットが終了した際の、 AR3 が58.1%，AR2 が57.6%となっており，AR3 かAR2 を 表2 の攻撃力の推定値と表3 の守備力の推定値を用いたも 選択するのがよいと考えられる．これに対して，イタリア のであり，BTモデルでは，強さおよび弱さを推定するも は，日本のセット取得率が最も低いBR4（46.9%）から開始 ので，70.0 以上もある一方で，10.0 未満もある．島津モデ するのが最良であった．日本としては，AR6 対BR4 で始 ルでは最高値が50.0，最低値が12.6 である．BTモデルで まるローテーションの組合せは，セット取得率が29.4%と は，強さおよび弱さを推定する範囲が島津モデルに比べて 36Rフェイズのなかで，最も低いセット取得率に該当して 表7 高い） 表8 おり，避ける必要がみられた． 表7 ローテーションの組合せごとの得点率（Aチームがサービス） 表7 (a) BTモデル Pij BR1 9.1 AR1 27.6 AR2 57.5 AR3 17.3 AR4 40.5 AR5 13.4 AR6 27.6 平均 (b) 島津モデル Pij BR1 25.5 AR1 34.8 AR2 32.7 AR3 25.5 AR4 34.5 AR5 12.6 AR6 27.6 平均 BR2 35.5 67.7 88.2 53.5 78.9 45.9 61.6 BR2 39.1 50.0 47.7 39.1 49.7 21.2 41.1 BR3 7.6 23.9 52.7 14.6 35.9 表7 11.3 24.3 BR3 31.1 41.3 39.0 31.1 41.0 15.9 33.2 表8 第4 セットまでのデータから推定したセット取得率 BR4 4.4 15.1 38.6 8.8 24.0 6.7 16.3 BR5 20.8 50.0 78.0 35.4 64.1 28.8 46.2 BR6 7.3 23.1 51.6 14.1 34.9 10.8 23.6 平均 14.1 34.6 61.1 24.0 46.4 19.5 33.3 表8 (a) BTモデル Sij BR1 72.6 AR1 54.4 AR2 49.7 AR3 69.7 AR4 52.0 AR5 51.6 AR6 58.3 平均 BR4 31.1 41.3 39.0 31.1 41.0 15.9 33.2 BR5 35.7 46.4 44.1 35.7 46.1 18.9 37.8 BR6 29.9 40.0 37.8 29.9 39.7 15.2 32.1 平均 32.1 42.3 40.0 32.1 42.0 16.6 34.2 (b) 島津モデル Sij BR1 62.1 AR1 56.0 AR2 55.6 AR3 57.8 AR4 57.4 AR5 56.2 AR6 57.5 平均 （2）得点率に基づくセット取得率の予測 BR2 59.7 76.0 55.2 47.9 69.8 52.2 60.1 BR3 *50.2 53.4 70.5 36.9 40.4 表8 51.4 50.5 BR4 53.7 48.7 50.5 63.7 35.2 29.4 46.9 BR5 38.7 61.4 51.6 52.1 65.5 33.2 50.4 BR6 53.3 51.6 70.8 53.0 52.9 66.9 58.1 平均 54.7 57.6 58.1 53.9 52.6 47.4 54.1 BR2 61.8 63.9 58.2 57.0 62.1 57.5 60.1 BR3 *58.6 58.1 59.6 54.4 58.5 56.6 57.6 BR4 58.9 56.1 54.7 56.8 54.1 52.5 55.5 BR5 57.5 59.8 54.6 55.0 59.0 53.2 56.5 BR6 58.1 57.8 58.3 56.5 58.2 60.3 58.2 平均 59.5 58.6 56.8 56.3 58.2 56.1 57.6 日本のAR1 からAR6 が，イタリアのBR1 からBR6 へ ローテーションの組合せにおける得点率を用いて実際 のサービスに対して，平均のセット取得率では，BTモ の試合をシミュレーションすることによってセット取得 デ ル で は，AR3 が 平 均 の セ ッ ト 取 得 率 で58.1%と 最 も 率を予測することができる．例えば，AR1 がBR1 に対す 高く，次いで，AR2 の57.6%であった．島津モデルでは， るサーブからセットが開始されるとする．そうすると， AR1 が59.5%と最も高く，次いで，AR2 の58.6%であっ 表７のAR1 対BR1 の得点率と発生させた乱数と比較して た．このように，スターティングラインアップの選択 得失点を決める．得点となった場合は再び乱数を発生し において，平均のセット取得率で選択する手法もある． て比較し得失点を決定する．失点となった場合は，Bチー 一方，相手チームのレセプションのRフェイズを予測し ムのローテーションとサーブ権が変わるため，一方の て，日本の6Rフェイズのセット取得から選択する手法 BR2 対AR1 の得点率と乱数を比較する．このように，得 もある． 点と失点を決定しどちらかがセットを取得するまで繰り イタリアがBR3 のレセプションと予測すると，日本は， 返す． BTモデルでAR3（70.5%）からのサービスとなり，島津モ デルでもAR3（59.6%）からのサービスとなった． （3）事例（日本対イタリア戦） 9 BTモデルでは，前者の選択手法と後者の選択手法にお （2004OQT）のデータを用いてセット取得率の予測を行っ の選択手法において不一致であった． 2004 年のオリンピック予選日本（A）対イタリア（B）戦 いて一致したが，島津モデルでは，前者の選択手法と後者 11 た．この試合は，第1 セットから第4 セットまでの内容が， 現在では，相手チームのレセプションを予測して，それ 25 −18，23 −25，25 −18，20 −25 となっており，第5 セッ に該当したサービス得点率の高いRフェイズからのサービ トまでもつれ込んだ接戦であった．そこで，第1 セットか スとしており，AR3 のサービスの選択となる． ら第4 セットまでのデータをもとに第5 セットの取得率の 実際の試合は，AR1 とBR3 のローテーションの組合 12 10 バレーボール研究 第 16 巻 第 1 号 （2014） 35 せ で 開 始 さ れ て お り， セ ッ ト 取 得 率 を 見 る と50.2%と 実際の試合結果からローテーションごとの攻撃力と守備 なっており，第5 セットの試合は日本が僅かに有利とな 力を推定し，それらの推定値から得点率を推定すると共 るものの，ほとんど互角の勝負が展開されると予想され に，セット取得率を予測した．さらに，どのローテーショ た．実際でも，日本が15 対13 で，辛くも勝利したセッ ンの組合せから試合を開始すれば有利となるか検討した トであった． 結果についても報告した．第2 セット以降は，予測の精度 Ⅳ．今後の研究への展望 本論では，島津モデルとBTモデルの分析論とその手法 の高いBTモデルを用いて分析をする．BTモデルは島津モ デルを包含した一般的なモデルと考えられることを明ら かにした．また，今後の分析研究に両モデルは，適用で きるものとした． に終始したが，多くの試合の各セットにおいて，セットの 謝 辞 開始から1 回目テクニカルタイムアウト（Te−1）まで，Te −1 から2 回目テクニカルタイムアウト（Te−2）まで，Te− 2 からセット終了までの各々において，連続得点と連続失 山梨大学工学部コンピュータ・メディア工学科の諸先生， 点が予測されると推定した各Rフェイズにおいて，実際に またその関係者には，ご支援を頂き謝意を表します． どの程度，双方のRフェイズにおいて推定できたかを実証 参 考 文 献 する研究へ発展させる． 島 津 モ デ ル の 分 析 論 と そ の 手 法 を 用 い て，3 種 類 の カップリング方式により，対戦前の両チームのLS−1 か 1）Bradley Ralph Allan and Terry Milton E.： Rank analysis らLS−6 におけるサービス得点率とレセプション得点率 of incomplete bloc designs I：The method of paired の算出を図る研究へ発展させる． comparisons. Biometrika, 39, p324 −345,1952 両モデルにおいて，セット取得率を算出したが，対戦前 2） 遠藤俊郎，「バレーボールのゲーム分析—オベレーショ とセットの進行中において，チームにおける最善のスター ンズ•リサーチの手法を利用して—」，体育の科学，36，9， ティングラインアップの選択はいかにすべきかの研究へ発 p693 −698、1986 3） 深瀬吉邦， 「バレーボールに関する一考察（その一）—マ 展させる． 相手チームのマークした選手がレフトフォワード（LF） のポジションとなった際に，自チームのセッターおよび第 一ブロックの選手とが，フロントロウで何回対応するのが， チームにとって最善であるかの研究へ発展させる． 2012 ロンドンオリンピック大会における日本チームの4 試合の分析の研究へ発展させる． 各々の研究において，機会をみて報告するものである． Ⅴ．ま と め BTモデルと島津モデルについて比較検討し両者の相違 を明らかにした．また，開発したプログラムを用いて， ルコフ課程を利用してのゲーム分析—」，都留文化大学 研究紀要，第3 号，p139 −155，1966 4） 島津大宣，泉川喬一，他：国際女子バレーボール試合の ラインアップ分析に関する研究，スポーツ方法学研究， 第14 巻，第1 号，p155 −166，2001 5） S himazu D., Izumikawa K.： “A Study of Line-up Analysis in International Women’s Volleyball Matches. Comparison of Maximum Likelihood and Point Method Analysis “, Journal of Physical Exercise and Sports Science, Vol.8.No.1. p7 −17，2002 6） 竹 内啓・藤野和健：スポーツの数理科学，共立出版， 1989
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