合格への鉄則集 数学ⅠA 竹鉄ⅠA-01～18 竹鉄ⅠA-01 因数分解(1) 鉄則型 鉄則に則った因数分解（主に２次式） • まずは共通因数のくくり出し • ひとつの文字に着目（できるだけ低次の文字） • 最後にたすきがけ 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 2 竹鉄ⅠA-02 因数分解(2) 特殊型 特殊な因数分解（主に高次式） • 3次式 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) ，a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3項3次式 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) • 複2次式は2タイプ x2=t とおいて因数分解できるタイプ A2-B2 の形に変形するタイプ • 剰余定理を用いた解法 • 対称式は鉄則（竹鉄01）で解けるが、剰余定理なら超簡単！ 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 3 竹鉄ⅠA-03 絶対値問題 絶対値問題 • • • • 基本は場合分け グラフを使うと明快で正確！ 両辺を２乗する方法 絶対値の意味から解く方法 |x|<a， 原点との距離がa以下 → -a<x<a 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 4 竹鉄ⅠA-04 論証 命題のストレートな証明が難しいときは次の３つの方法 • 対偶 • 背理法 • 最後の手段は全ケースの洗い出し（&整理） 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 5 竹鉄ⅠA-05 ２次関数とグラフの総括 ２次関数とグラフについての総まとめ • ３つの処理内容 ①平方完成 ②因数分解 ③x,yの置換 • 一般形式：３つの型 【A】y=a(x-p)2+q 【B】y=a(x-α)(x-β) 【C】 y=ax2+bx+c • 出題内容は主に ①方程式･不等式 ②決定問題 ③最大･最小問題 ④解の範囲問題 ⑤移動問題（平行移動，対称移動） 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 6 竹鉄ⅠA-06 ２次関数(1) 方程式 不等式 因数分解して(x-α)(x-β) の形に表す 【一般形式B 型】 • 因数分解できる/できない の判断は b2-4ac で èb2-4acがn2の形にならないときは解の公式を使う • 関数f(x)がすべての実数xに対して正または負のとき èD<0 （x軸と交わらない） • 不等式はグラフで解く（ケアレスミスをなくす） グラフにx軸との交点を明記すること 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 7 竹鉄ⅠA-07 ２次関数(2) 決定問題 一般形式【A型，B型，C型】の選択が勝負 • y=a(x-p)2+q 【A型】 軸，頂点，最大値，最小値等が与えられたとき • y=a(x-α)(x-β) 【B型】 x軸との交点が与えられたとき • y=ax2+bx+c 【C型】 上記２形式で表現しないとき，３点が与えられたとき 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 8 竹鉄ⅠA-08 ２次関数(3) 最大最小問題 平方完成してy=a(x-p)2+q の形に表す 【一般形式A 型】 （以下はa>0の場合） • 軸に近いほど，小さくなる • 軸から遠いほど，大きくなる • xの範囲の<左端，中心，右端> と 軸との位置関係で 場合分けする 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 9 竹鉄ⅠA-09 ２次関数(4) 解の範囲問題 ２つの解法 [解法１] グラフで考えるè判別式，軸，f(α)お薦め [解法２] 解と係数の関係を使って解く グラフによる解法（a>0の場合） ２つの解が 正正 負負 正負 ２つの解がある値αより ２つの解が 大大 小小 大小 αとβ，βとγの間 軸：正 軸：負 --軸>α 軸<α --f(γ)>0 f(0)>0 f(0)>0 f(0)<0 f(α)>0 ※ 判別式はいずれの場合も正 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 f(α)>0，f(β)<0， f(α)>0 f(α)<0 10 竹鉄ⅠA-10 ２次関数(5) 移動問題 ２つの解法 解法１ 図形的方法（幾何学的解法） y=a(x-p)2+q の形に表す（平方完成） 【一般形式A型】に変 換 è頂点の位置と凹凸の向きからグラフの式を求める 解法２ 計算的･機械的方法（解析学的解法） y=ax2+bx+c の形のまま解く 【一般形式C型】のまま [平行移動] x軸方向にx1，y軸方向にy1だけ平行移動 x→ x-x1 ， y→ y-y1 [対称移動] x軸に対称 y軸に対称 原点に対称 y→ -y x→ -x x→ -x， y→ -y ※参考 回転移動は複素数を使うと簡単！ 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 11 竹鉄ⅠA-11 図形と計量(1) 図形問題 • 正弦定理，余弦定理が中心 • 直線の問題はtanで • 三角形の面積４公式を使いこなす • 立体図形は球と正四面体が中心 正四面体 重心に注目（高さの1/4の点） 内接球と外接球の半径の比は１：３ 球 球の表面積=円柱の側面積 <体積比>円錐：球：円柱=１：２：３： 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 12 竹鉄ⅠA-12 図形と計量(2) 面白い性質 図形の面白い性質に興味を持とう！ • 内接円と内接球 多角形とその内接円の周の長さの比 = 面積比 多面体とその内接球の表面積の比 = 体積比 • 微積分 球の体積を半径 r で微分すると 円の面積を半径 r で微分すると 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 → 球の表面積 → 円周の長さ 13 竹鉄ⅠA-13 順列 組合せ 確率(1) 柔軟な発想と急所を見抜く力 • いろいろな思考法を育てる • 最後の手段は 『はじから数える』 (ただし数える規則を明確に！ もれなく、重複なく） • 余裕があれば、２通りの方法で解いて、答え合わせ • 組分け問題（名前のあり/なし）と部屋割り問題（空屋 の可/不可）に要注意 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 14 竹鉄ⅠA-14 順列 組合せ 確率(2) 基本的な考え方 • • • • • はじめ名前（順番）をつけて、後ではずす 場所で考えるか、物で考えるか 直接の事象を求めるか、余事象を求めるか 純粋に確率的に考えるか、場合の数で考えるか 限定箇所は先に考える 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 15 竹鉄ⅠA-15 整数問題 真の思考力が問われる分野（公式を覚えていても解けない） • • • • 倍数約数問題 余りに関する問題（合同式） 分数と循環小数、有限小数 ２元１次不定方程式 ※ 素因数分解とユークリッドの互除法を活用する 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 16 竹鉄ⅠA-16 図形の性質(1) 基本定理 『三平方の定理』と『円周角の定理』が証明できれ ば（図形の本質が理解できれば），図形はできる。 三角形系３定理、円系３定理の原理を理解すること！ 定理の証明にこそ図形の本質がある。 【基本６定理】 • 三角形系３定理 角の二等分定理/チェバの定理／メネラウスの定理 • 円系３定理 方べきの定理/接弦定理/内接四角形の定理 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 17 竹鉄ⅠA-17 【基本４条件】 ◇４点内接条件 図形の性質(2) 基本条件 円周角の定理の逆 内接四角形の定理の逆 方べきの定理の逆 ◇１点で交わる条件 (共点条件) チェバの定理の逆 ◇１直線上にある条件 (共線条件) メネラウスの定理の逆 ◇接線条件 接弦定理の逆 方べきの定理の逆 他① 2直線の交点を第3の直線が通る 他② 2直線ずつの交点が一致する 他① 直線AB上にCがある 他② ∠ABC=180° 他③ AB∥AC 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 18 竹鉄ⅠA-18 図形の性質(3) 五心 五心は知れば知るほど奥が深い。 興味を持って追求しよう。 • 内心 辺からの距離が等しい • 外心 頂点からの距離が等しい • 重心 面積が等しい • 垂心 内積が等しい • 傍心 辺からの距離が等しい ※ 他にも九点円等がある。 竹田式数学 ©2013 Takeda 鉄則集 19
© Copyright 2024 ExpyDoc
