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「一般力学 II」小テスト 1
担当：荒井正純
実施： 2014/10/16
【問題】
ベクトル A, B は t の関数とする．この 2 つのベクトルのベクトル積の微分に関する公式，
d
dA
dB
(A × B) =
×B+A×
dt
dt
dt
(0.14c)
がある．
（「一般力学 I」テキスト「0.1.4 ベクトルの微分」参照）
この公式を，A = (Ax , Ay , Az ), B = (Bx , By , Bz ) と成分を与え，左辺と右辺を別々に計算し，左辺の
x 成分と右辺の x 成分，左辺の y 成分と右辺の y 成分，左辺の z 成分と右辺の z 成分が等しくなることを
示すことによって，証明せよ．
なお，t のスカラー関数 f, g の積の微分についての公式，
d
df
dg
(f g) = g + f
dt
dt
dt
を用いてよい．
【解答】
まず，
A × B = (Ay Bz − Az By , Az Bx − Ax Bz , Ax By − Ay Bx )
である．これを微分する．
(
)
d
d
d
d
(A × B) =
(Ay Bz − Az By ), (Az Bx − Ax Bz ), (Ax By − Ay Bx )
dt
dt
dt
dt
(
=
dAy
dBz
dAz
dBy dAz
dBx
dAx
dBz
Bz + Ay
−
By − Az
,
Bx + Az
−
Bz − Ax
,
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dAx
dBy
dAy
dBx
By + Ax
−
Bx − Ay
dt
dt
dt
dt
)
これは以下のように整理される．
(
)
dAy
dAz
dAz
dAx
dAx
dAy
d
(A × B) =
Bz −
By ,
Bx −
Bz ,
By −
Bx
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(
)
dBz
dBy
dBx
dBz
dBy
dBx
+ Ay
− Az
, Az
− Ax
, Ax
− Ay
(M1.1)
dt
dt
dt
dt
dt
dt
一方，ベクトル A の微分は，
dA
=
dt
(
dAx dAy dAz
,
,
dt
dt
dt
M1
)
であるから，
dA
×B =
dt
(
dAy
dAz
dAz
dAx
dAx
dAy
Bz −
By ,
Bx −
Bz ,
By −
Bx
dt
dt
dt
dt
dt
dt
)
(M1.2)
となる．同様に，ベクトル B の微分は，
dB
=
dt
(
dBx dBy dBz
,
,
dt
dt
dt
)
であるから，
A×
dB
=
dt
(
)
dBz
dBy
dBx
dBz
dBy
dBx
Ay
− Az
, Az
− Ax
, Ax
− Ay
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(M1.3)
となる．(M1.1) 右辺は (M1.2), (M1.3) より，
dA
dB
d
(A × B) =
×B+A×
dt
dt
dt
に帰着する．
M2
(0.14c)

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