円柱のまわりの流れの解析について: 中程度のレイノルズ数領域の場合

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円柱のまわりの流れの解析について : 中程度のレイノル
ズ数領域の場合
奥田, 教海; 沢田, 敬; 一場, 久美
室蘭工業大学研究報告.理工編 Vol.8 No.3, pp.689-694, 1976
1976-01-30
http://hdl.handle.net/10258/3621
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Muroran Institute of Technology
円柱のまわりの流れの解析について
一中程度のレイノルズ数領域の場合
奥田教海・沢田
敬*・一場久美
NumericalAnalysisfortheFlowarounda Cylinder
In the Flow Region with medium Reynolds Number
chiba
KyδkaiOkuda，TakashiSawadaandHisayoshiI
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example，w
1 . 緒言
非圧縮性，粘性，一様流中に置かれた円柱のまわりの流れは，ナビエ・ストークス方程式
により表わされるが，非線型のため，直接に厳密解を得ることはできない。レイノルズ数が極
めて小さい範囲ではストークスやオゼーンの式のような近似式で解が得られ，極めて大きい範
囲では境界層近似が適用されている。しかし，中程度のレイノルズ数領域においてはまだ解析
的に解く方法は確立されておらず，数値解析が最も有効な方法となっている。それ故，近年の
大型電子計算機の発達と相侯って省略きれないところのナビエ・ストークス方程式の種々の数
値解法が試みられてきた。本研究はハイブリッドメッシを用いた陽解法により，レイノルズ数
40と 500において数値計算を試みたものである。
I
I
.
支配方程式
2次元非圧縮性，一様流中の粘性流れはナビエ・ストークス方程式と連続式により表わさ
れる。
*松下電器産業株式会社
(
157)
奥H
l教海・沢田
6
9
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敬*・一場久美
2
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u
一一 +u = 一
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(
1
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(
2
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V
V
V
θ t θx ' ay
ρδ y
V
¥
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¥
ぴx' 'ay“/
au θu
+一一二 0
ax ay
(
3
)
上式より圧力 Pを消去し
i
尚度どに関する j
品輸送式を導く。
QL十s
J
一回+豆 v?;)二
at'
ax ' a y
渦度どを流れ関数
三止
ム芝止ー
2
ax 'ay2-
r
v~2~十ど引
axz 'ayZ)
V
(
4
)
¥
ψを用いて表わすと次式のようなポアソン型の方程式を得る。
ν
，
;
(
5
)
式 (4)， (5) を円筒座標系に変換すると
J
n
2
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V
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(
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V
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無限遠速度，円柱の直径，動粘性係数を基本単位にとり無次元化すると
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三正ムど正
(
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二、で Re はレイノルズ数を表わし， ρ， νはそれぞ、れ密度および動粘性係数を表わす。
Iし数値計算
差分化は不等間隔格子における l次および 2次の差分公式を用いて行った。円筒座標系、に
おける渦輸送式およびポアソン式は次のようである。
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V
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円柱のまわりの流れの解析について
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川T
/
J
Sは座標間距離を表わし， αはセルとセルの座標間距離の比，DRはセルの半径方向jの長さを表
わす。
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f
i
tれ場の計算領域は 1
3dx1
0dの長方形であり，円柱の近くは
円筒座標系が￨直交座標系と重複するようにとった。図 lに簡単化した
流れ図を示す。初期値としてポテンシヤル流れの値を用い，次の境界
保件を満足するように繰り返し計算を行った。
，
1.流入端で渦度および y方向速度が 0
2
. 流出端で、 y方向の速度および渦度の x方向に関する変化が 0
，
3
. 上端および下端では y方向速度は Oであり， X方向速度は無
限遠速度である，
4
. 円柱表面で
計算は初めに直交座標系て、行なわれ，その値から円筒座標系の最
も外側のセルに補間される。つぎに外側のセルの値を境界値として円
筒座標系における値が計算される。更に重複する部分の直交座標系に
おける値が円筒座標系の値から補間される。補聞は求めようとするセ
ルに最も近い他の座標系の 4つのセルの値から行われる。直交座標系から円筒座標系への補聞
を考えると，いま求める値を Ajr，
i
O，そのセルの直交座標系における座標値を (Xc
，Yc) とする。
，Ai
+1
，
j
， Ai
，
J
+
l，Ai+l，
j+l とし座標債を (
Xi，Y
j
)，(
x 1，
直交座標系の 4つのセルの持つ値を A，ij
什
y
J， (Xi，Yi+l)，(Xj+l，
Yj+l) とすると
y方向に関して
)
(
)
E4
唱
ハ
リ
'i
噌
1E4
j+主 E二主j (Ai+1.i+l-Ai+1J)
A2=Ai+l，
Yi+l-Yc
ザ
(
A 1二 Ai
，
j十皇三二立L (Ai
，j
十 l-A )
u
Yi+l-Yj
-
"
上の 2つの値を x 方向に関して補間すると，結局，求める値はっき、のようになる。
A
+一+
A
一
一
一
X一X
xC一-Xz
A
+
γ
一
一
A
(
1
2
)
計算結果はファイルに記憶し順次計算を市齢、て、行った。
(
1
5
9
)
6
9
2
奥田教海・沢田
N.
敬*・一場久美
計算結果
レイノルズ数 4
0および 5
0
0の場合ともにステッブ数は 2
0
0
0まで実行された。到達した無
0の場合は 2
0
.
3
7， 5
0
0の場合は 2
0
.
3
2であった。全体の計算を通してタイムステソ
元時間は 4
ブの大きさは約 0
.
0
1で，実際の計算機のランニングタイムは北海道大学大型計算機センターの
FAC0M2
3
(
)
6
0を使用して両方ともに約 4
.
5時間であった。ポアソン式の計算繰り返し回
数が l回，つまり流れ関数の値が定常になったと考えられるのはレイノルズ数 4
0では無次元時
間1
7
.
1， 5
0
0の場合は 1
9
.
6であった。
0における抗力係数の圧力成分と摩擦による努断力成分との関係を
図 2はレイノルズ数 4
示している。図 3はレイノルスゃ数 5
0
0の場合についてのそれらである。最終的にはレイノルズ
0の場合は圧力による抗力の全体に占める割合が 68.7%であり， 5
0
0の場合は 91.6%で
数4
あった。このことよりレイノルズ数が大きくなると圧力による抗力が全体の抗力の大部分を占
めることがわかる。
0と 5
0
0の場合の円柱表面の圧力分布を計算時間をパラメーター
図 4，5はレイノルズ数 4
にして f
晶、である。圧力分布は理想、状態の流れの曲線から次第に剥離が生じて平担な部分をも
っ曲線へと変化してゆく。図 6にある剥離点の位置と比較してみる E圧力分布曲線の平担な部
Re~500
R
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B
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出
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図3
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BlITION
PRESSURED
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Tニ 20dm
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ノク吾妻、
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Cp
0
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0
1
3
.
0
図4
図5
(
1
6
0
)
0
.
6
2
0
6
9
3
円柱のまわりの流れの解析について
分が剥離した部分に一致するということがより明確に理解できる。結局剥離点の位置はレイノ
0で 1
2
0， 500では 1
0
5であった。
ルズ数 4
0
0
0の場合は無次元時間 8
.
0を超
図 7は後流渦の成長を示すグラフであるが，レイノルズ数 4
えるとほぼ一定の長きになるのに対して，レイノルズ数 5
00の場合は成長を続けている。
図 8はレイノルズ数 4
0で無次元時間 20.0における流線模様であり，図 9はレイノルズ数
500で無次元時間 20.0の場合のそれで、ある。
DOWNSTREAM STAGNATIONPOINTDISTANCE
TPANSIENTSEPARK
f
JONPOINTS
60
同
J
Re 40，500
二
Re=40，500
5
0
凶υZ︿トの -Q
5
9
0
Z
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〈
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己
〈
，
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) 180
T
20
T
2
0
図7
図6
STREAMLINE，Re=500，T=20
STREAMLINE，Reニ 40，T=20
Uo
Uo
匡三T
図9
図8
V.
結言
レイノルズ数 4
0および 5
0
0のいずれの場合においても計算は極めて安定して進められた。
本研究は陽解法を用いたのでタイムステップの大きさが制限されたが，無次元時間 5Oを超え
司
ると繰り返し計算の数も急激に少なくなり適当な初期値が与えられれば極めて有利な手法であ
ることがわかった。しかし厳密解が求められていないため，計算の精度の比較が困難なこと，
またカルマン渦の発生という点に関して大きな問題を残している。おわりに北海道大学大型電
子計算機センターの各位，本学流体機械学，流体工学両講座の関係教職員各位に深甚なる謝意
を表する。
(昭和 50年 5月 20日受理)
(
16
1
)
694
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(出
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文献
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(3) Son，
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