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『公共経済学講義：理論から政策へ』
第 4 章のウェブ補論
須賀晃一［編］
c
⃝Koichi
Suga, 2014
発行所：有斐閣
2014 年 6 月 25 日初版第 1 刷発行
ISBN 978-4-641-16445-1
1
第 4 章のウェブ補論
定理 4.1 の証明
表記上の注意：この補論では，表記の簡略化のため，消費バンドルや配分を表すのに太字を用いずに，
通常の太さのフォント（x, xi など）を使う。また，個人 i の消費バンドルを下添字（xi など）で表記
し，上添字は配分の列（x1 , . . . , xk など）を表すのに用いる。また，次の表記法を用いる。
(i) ∀a ∈ A; 条件 G: 集合 A のすべての要素 a に対して，条件 G が成立する。
(ii) ∃a ∈ A; 条件 G: 集合 A の少なくとも 1 つの要素 a に対して，条件 G が成立する。
(iii) not[G]: 条件 G が成立しない。
(iv) G ⇒ H: 条件 G が成立するならば条件 H も成立する。
(v) G ⇔ H: 条件 G と条件 H は同値である（すなわち，G が成立するならば H が成立し，かつ H
が成立するならば G が成立する）。
定理 4.1 を証明する際に，まず注意しなければならないのは，われわれの経済モデルでは，個人の選好
順序は強単調性・凸性・連続性を満たすので，任意の消費バンドルの集合に対して，どのような選好順
序も有り得るとは限らないということである。たとえば，xi > yi ならば，強単調性により必ず xi Pi yi
であって，xi Ii yi や yi Pi xi は有り得ない。しかし，すべての選好順序が可能であるような消費バンド
ルの集合も存在する。たとえば，集合 {xi , yi } において，2 つの消費バンドルの間にベクトルの不等号
が成立しない場合である。このように，集合 Z ⊂ X において，Z 上のすべての順序 Qi に対して，Z 上
で Qi と一致する Ri ∈ R が存在するとき，Z をフリー・バンドル集合とよび，どの個人の消費バンドル
の組もフリー・バンドル集合であるような配分の集合をフリー配分集合という。特に 3 つの要素からな
るフリー配分集合をフリー・トリプル，2 つの要素からなる集合をフリー・ペアとよぶ。集合 {x, y} が
フリー・ペアであるための必要十分条件は，どの個人 i ∈ N に対しても，xi ̸= yi であって，xi > yi も
yi > xi も成立しないことである。消費集合 X に含まれるフリー・トリプル全体の集合を FT ，フリー・
ペア全体の集合を FP とする。
さて，定理 4.1 の証明は，大きく分けて以下の 3 つの部分から成る。
(I) 定理の条件を満たす集計ルール f と，任意のフリー・トリプル Z ∈ FT に対して，Z 上の独裁者
が存在することを証明する。
(II) FP 上の独裁者が存在することを証明する。
(III) X 上の独裁者が存在することを証明する。
パート (I) の証明
定理の条件を満たす集計ルール f とフリー・トリプル Z = {x, y, z} ∈ FT が与えられたとする。
第 4 章のウェブ補論
2
まず，
「決定権」という概念を導入する。ある選択肢間の評価に関して，人々の意見が 2 つのグループ
に真二つに割れたとき，社会的決定でその意見を尊重されるグループは，その選択肢に関して決定権を
持つという。厳密には，個人の集合 M ⊆ N と配分の順序付けられたペア (a, b) ∈ Z × Z, a ̸= b に対
して，
[∀i ∈ M ; ai Pi bi ] and [∀i ∈ N \ M ; bi Pi ai ] ⇒ a ≻ b
が成立するとき，M は (a, b) に決定権を持つといい，a ̸= b であるすべてのペア (a, b) ∈ Z × Z に対し
て，M が (a, b) に決定権をもつとき，M は Z 上で決定権を持つという。
以下の証明は，7 つのステップからなる。なお，以下のステップ 2-6 は，Mas-Colell, Whinston, and
Green (1995) に依拠している。
■ステップ 1：あるペア (a, b) ∈ Z × Z, a ̸= b, に対して，M ⊆ N が (a, b) に決定権を持つならば，
M は Z 上で決定権を持つ。
証明：
一般性を失うことなく，M は (x, y) ∈ Z × Z に決定権を持つと仮定する。次のような選好プ
ロファイル RN ∈ Rn を考える。
∀i ∈ M ; xi Pi yi Pi zi
∀i ∈ N \ M ; yi Pi zi Pi xi .
Z はフリー・トリプル配分であるから，上の条件を満たす RN が存在する。M は (x, y) に決定権を持
つから，x ≻ y である。また，弱パレート条件より，y ≻ z であり，したがって推移性より x ≻ z であ
る。二項独立性により，[∀i ∈ M ; xi Pi zi ] かつ [∀i ∈ N \ M ; zi Pi xi ] を満たすすべての RN ∈ Rn に
対して，x ≻ z である。すなわち，M は (x, y) の第 2 成分を z に置き換えた (x, z) に決定権を持つ。
同様の論法により，M は (x, y) の第 1 成分を z に置き換えた (z, y) に決定権を持つことも示される。
さて，M は (x, z) に決定権を持つから，上の証明を (x, z) に適用すると，(x, z) の第 1 成分を y に
置き換えた (y, z) にも決定権を持つことが示される。同様に，M は (z, y) に決定権を持つから，(z, y)
の第 2 成分を x に置き換えた (z, x) にも決定権を持ち，さらには，(z, x) の第 1 成分を y に置き換えた
(y, x) にも決定権を持つ。これで，M はすべてのペア (a, b) ∈ Z × Z, a ̸= b, に決定権を持つことが示さ
れた。
■ステップ 2：集合 M ⊆ N および L ⊆ N がともに Z 上で決定権を持つならば，M ∩ L もまた同様
の決定権をもつ。
証明：
以下のような選好プロファイルを考える。
∀i ∈ M ∩ L; xi Pi zi Pi yi
∀i ∈ M \ (M ∩ L); zi Pi yi Pi xi
∀i ∈ L \ (M ∩ L); yi Pi xi Pi zi
∀i ∈ N \ (M ∪ L); yi Pi zi Pi xi .
M は (z, y) に決定権を持つから，z ≻ y であり，一方，L は (x, z) に決定権を持つから，x ≻ z である。
したがって，推移性により，(x, y) である。二項独立性により，M ∩ L は (x, y) に決定権を持つ。よっ
て，ステップ 1 により，M ∩ L は Z 上で決定権を持つ。
■ステップ 3：任意の M ⊆ N に対して，M またはその補集合 N \ M のどちらか一方が Z 上で決定
権を持つ。
3
証明：
以下のような選好プロファイルを考える。
∀i ∈ M ; xi Pi zi Pi yi
∀i ∈ N \ M ; yi Pi xi Pi zi .
完備性により，x ≻ y または y ≿ x のどちらかが成立する。x ≻ y ならば，二項独立性により，M は
(x, y) に決定権を持ち，したがってステップ 1 より Z 上で決定権を持つ。y ≿ x であるとする。弱パ
レート条件により，x ≻ z であるから，推移性により y ≻ z である。よって，二項独立性より N \ M は
(y, z) に決定権を持ち，したがってステップ 1 より Z 上で決定権を持つ。
■ステップ 4： M ⊆ N が Z 上で決定権を持つならば，任意の L ⊇ M もまた Z 上で決定権を持つ。
証明：
ステップ 3 より，N \ L が Z 上で決定権を持たないことを言えばよい。仮に決定権を持つとす
ると，ステップ 2 より，M ∩ (N \ L) = ∅ が決定権を持つことになり，これは弱パレート条件に矛盾
する。
■ステップ 5： M ⊆ N が Z 上で決定権を持ち，かつ #M ≥ 2 ならば，M の厳密な部分集合
L ⊂ M, L ̸= M, で，Z 上で決定権を持つものが存在する。
証明：
M のメンバーの 1 人を i ∈ M とする。M \ {i} が Z 上で決定権を持つならば証明は終わりで
ある。M \ {i} が Z 上で決定権を持たないならば，ステップ 3 より N \ (M \ {i}) = (N \ M ) ∪ {i} が Z
上で決定権を持つ。したがって，ステップ 2 より，[(N \ M ) ∪ {i}] ∩ M = {i} が Z 上で決定権を持つ。
■ステップ 6：唯 1 人の個人からなる集合で，Z 上で決定権を持つものが存在する。
証明：
ステップ 3 より，N の部分集合で Z 上で決定権を持つものが存在する。この集合から始めて，
ステップ 5 を繰り返し適用することにより，ある個人のみからなる集合が決定権を持つことが示される。
■ステップ 7：
Z 上で決定権を持つ唯 1 人の個人からなる集合を {d}, d ∈ N, とすると，d は Z 上の
独裁者である。
証明：
任意に与えられた選好プロファイル RN ∈ Rn および a, b ∈ Z に対して，ad Pd bd であると
する。≿ = f (RN ) とする。a ≻ b であることを証明すればよい。上の a, b 以外で Z に属する配分を
c ∈ Z, c ̸= a, b, とする。
集合 M ⊆ N \ {d} を，M := {i ∈ N \ {d} | ai Ri bi } と定義する。このとき，N \ ({d} ∪ M ) = {i ∈
N \ {d} | bi Pi ai } である。
′
次に，以下の選好プロファイル RN
∈ Rn を考える。
ad Pd cd Pd bd
∀i ∈ M ; ai Ri bi Pi ci
∀i ∈ N \ ({d} ∪ M ); bi Pi ci Pi ai .
′
≿′ = f (RN
) とする。{d} は Z 上で決定権を持つから，c ≻′ b である。ステップ 4 より，{d} ∪ M も Z
上で決定権を持つから，a ≻′ c である。したがって，推移性により，a ≻′ b である。
′
RN と RN
は {a, b} 上で一致しているから，二項独立性により，≿ と ≿′ は {a, b} 上で一致する。し
たがって，a ≻ b である。
これで，パート (I) の証明が完了した。
第 4 章のウェブ補論
4
図 A4.1 フリー・ペアの連結
財2 ✻
xi = a1i
yi = a2i
x′i = a6i
a5i
yi′ = a7i
0
a4i
a3i
✲
財1
パート (II) の証明の概略
任意の 2 つのフリー・ペア {x, y}, {x′ , y ′ } ∈ FP に対して，次の条件を満たす配分の有限列
(a1 , . . . , aK ) ∈ X K が存在する。
(i) すべての k ∈ {1, . . . , K − 2} に対して，{ak , ak+1 , ak+2 } はフリー・トリプルである。
(ii) {a1 , a2 } = {x, y} かつ {aK−1 , aK } = {x′ , y ′ }.
上の主張は，任意の個人の任意の 2 つのフリー・ペア・バンドルが，有限個のフリー・トリプル・バ
ンドルによって連結されることを意味している。その一般的な証明は省略するが，直観的な説明は
図 A4.1 に与えられている。図 A4.1 では 7 つの配分 {a1 , a2 , . . . , a7 } における個人 i の消費バンドル
{a1i , a2i , . . . , a7i } を示している。まず 3 つの消費バンドル {a1i , a2i , a3i } に関するどのような順序も，強
単調性・凸性・連続性を満たす選好順序のもとであり得るから，{a1i , a2i , a3i } はフリー・トリプル・バ
ンドルである。読者は，標準的な無差別曲線を適切に描くことによって，3 つの消費バンドルの間のど
のような順序も構成可能であることを確かめられたい。同様に，3 つの消費バンドルの組 {a2i , a3i , a4i },
{a3i , a4i , a5i }, {a3i , a4i , a5i }, {a4i , a5i , a6i }, {a5i , a6i , a7i } のそれぞれもフリー・トリプル・バンドルである。
したがって，フリー・ペア・バンドル {xi , yi } = {a1i , a2i } とフリー・ペア・バンドル {x′i , yi′ } = {a6i , a7i }
とが，有限個のフリー・トリプル・バンドルによって連結されるのである。同様のことが任意の 2 つの
フリー・ペア・バンドルに対して成立する。
さて，集計ルール f が定理 4.1 の 4 つの条件を満たすとする。任意の 2 つのフリー・ペア
{x, y}, {x′ , y ′ } ∈ FP に対して，上の条件 (i), (ii) を満たす配分の列を (a1 , . . . , aK ) ∈ X K とする。定
理の証明のパート (I) より，すべての k ∈ {1, . . . , K − 2} に対して，{ak , ak+1 , ak+2 } 上の独裁者が存
在する。{a1 , a2 , a3 } 上の独裁者を d ∈ N とする。d は {a2 , a3 , a4 } 上の独裁者でもなければならない。
なぜなら，仮に d′ ̸= d が後者の独裁者であるとすると，a2d Pd a3d かつ a3d′ Pd′ a2d′ であるような選好
プロファイルにおいては，a2 , a3 に関する d と d′ の少なくとも一方の強選好順序は社会的評価の強順
序に反映されないことになってしまい，それはこの個人が a2 , a3 を含むフリー・トリプル上の独裁者
であることに矛盾するからである。この論法を繰り返し適用することにより，d は {aK−2 , aK−1 , aK }
上の独裁者でもあることが示される。したがって，d は {x, y} および {x′ , y ′ } 上の独裁者である。
{x, y}, {x′ , y ′ } ∈ FP は任意であったから，d はすべてのフリー・ペア上の独裁者である。
5
パート (III) の証明の概略
図 A4.2 すべてのペアの連結
財2 ✻
財2 ✻
xi
xi
zi
yi
yi
zi
0
✲
財1
0
✲
財1
ˆ n , {x, y} ∈
すべてのフリー・ペア上の独裁者を d ∈ N とする。{x, y} ⊂ X
/ FP であって，かつ
ˆ n が存在する。
xd Pd yd であるとする。このとき，以下の条件を満たす z ∈ X
(i) {x, z}, {y, z} ∈ FP ,
(ii) xd Pd zd Pd yd .
その直観的な説明は図 A4.2 に示されている。
個人 d は，すべてのフリー・ペア上の独裁者であるから，x ≻ z かつ z ≻ y が成り立ち，推移性より
ˆ n 上の独裁者である。これで，定理 4.1 の証明が
x ≻ y である。よって，d はすべてのペア {x, y} ⊂ X
完了した。

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