関数論演習 第 17 回
2014 年 7 月 8 日 担当：中島
留数定理, 実積分の計算 1
17
例題 17.1. n ∈ Z とする. 次の積分の値を求めよ.
∫
1
z n dz
2πi |z|=1
例題 17.2. 次の積分の値を求めよ.
1
2πi
∫
z2
dz
(z + 1)(z − 1)(z − 3)
|z|=2
例題 17.3. 次の積分の値を求めよ.
∫
2π
0
問 17.1. 次の積分の値を求めよ.
∫
1
1
(i)
dz
2πi |z|= 32 sin(πz)
dθ
5 + 3 cos θ
1
2πi
(ii)
∫
|z|=1
eiz
dz
z
問 17.2. 次の積分の値を求めよ.
∫ 2π
dθ
(i)
2 + cos θ
0
(iii)
∫
2π
(ii)
0
レポート A 17.1. 次の積分の値を計算せよ.
∫
eiz − 1
(i)
dz
z2
|z|=3
(ii)
|z|=2
∫
(z 2
2π
(ii)
0
∫
|z|=3
z4
dz
z3 + 1
sin θ
dθ
3 + cos θ
∫
レポート A 17.2. 次の積分の値を求めよ.
∫ 2π
dθ
(i)
4
+
3 sin θ
0
1
2πi
1
dz
+ 1)n
dθ
1 + sin2 θ
レポート A 17.3. n : 自然数. 0 < a < 1 とする.
(i) f (z) =
∫
2π
(ii)
0
zn
とするとき, f (z) の z = a,
(az − 1)(z − a)
1
a
での留数を求めよ.
cos nθ
πan
=
であることを示せ.
2
1 − 2a cos θ + a
1 − a2
レポート B 17.1. P (z), Q(z) はそれぞれ m 次, n 次の多項式とする (m < n). f (z) =
Q の零点 (Q(z) = 0 となる点)a1 , · · · , an が互いに異なるとする. このとき
f (z) =
n
∑
Res(f, ak )
k=1
と書けることを示せ. (Hint: f (z) −
∑n
k=1
Res(f,ak )
z−ak
z − ak
が C で正則であることを示す.)
レポート提出期限: 2014 年 7 月 15 日 (火) 授業開始時まで
提出: 授業開始時に提出
P (z)
とする.
Q(z)

数学I 第10回 ベクトルII

レポート No.5 - So-net