問題 (極限の計算 No.1)
数列 {an } が
1
a1 = − ,
3
を満たすとき， lim an を求めよ。
n→∞
an+1 =
1
+1
nan
〔解答〕
a1 = −
1
1
より a2 =
+ 1 = −2
1
3
−
3
1
3
a3 =
+ 1 = , a4 =
2 · (−2)
4
1
3·
3
4
+1=
1
61
+1=
13
52
4·
9
an > 1 (n = 4) を示す。
13
n = 4 のとき，a4 =
であるから成立。
9
n = k (k = 4) で成り立つと仮定すると ak > 1
1
1
ak > 1 ⇐⇒ 0 <
<
kak
k
1
1
⇐⇒ 1 <
+1< +1
kak
k
1
⇐⇒ 1 < ak+1 < + 1
k
n = k + 1 のときも成立。
a5 =
したがって，n = 4 のとき an > 1
n → ∞ より，n = 5 で考えて
1
1
+1<
+1
(n − 1)an−1
n−1
(
)
1
lim
+1 =1
n→∞ n − 1
1 < an =
であるから，はさみうちの原理より lim an = 1
n→∞
13
9

U U IU IU U I UI U

利害関係者でない者等との間における禁止行為 倫理の保持を阻害する