情報数学Ⅱ
解答)
情報数学ⅡA 問題 2(解答
解答
1.
x ∈ lim inf An
n →∞
∞
∞
⇒ x ∈ U I Ak
n =1 k =n
∞
(1) ⇒ n 0 ∈ N ; x ∈ I Ak
∃
k =n 0
⇒ n 0 ∈ N , k ≥ n 0 ; x ∈ Ak
∃
∀
∞
∞
⇒ x ∈ I U Ak = lim sup An
n =1 k =n
( lim inf A )
n →∞
c
n
c
n →∞
=
=
(2)
=
=
(U I A )
I(IA )
∞
∞
c
k
n =1 k =n
∞
∞
c
k
n =1 k =n
∞ ∞
c
c
I U Ak
n =1 k =n
lim sup An
n →∞
(3) (2)と同様
An ↑ のとき，任意のnに対して,U Ak = U Ai
∞
k =n
∞ ∞
i =1
∞
n =1 i =1
i =1
よって，
lim sup An ≡ I U Ak = IU Ai =U Ai
∞
(4)
∞
n →∞
また, An ↑ のとき，
∞
n =1 k =n
∞
よって,題意を得る．
IA
k =n
k
= Anのため，
lim inf An ≡ U I Ak = U An
n →∞
∞
∞
n =1 k =n
∞
n =1
An ↓ のとき，
U Ak = An
∞
k =n
よって，
lim sup An ≡ I U Ak = I An
∞
∞
∞
n =1 k =n
n →∞
n =1
(5) また, An ↓ のとき， 任意のnに対して,
lim inf An ≡ U I Ak = UI Ai =I Ai
∞
n →∞
∞
n =1 k =n
∞
∞
n =1 i =1
∞
I Ak = I Aiのため，
∞
∞
k =n
i =1
i =1
よって,題意を得る．
2.
σ ({1} ) = {∅ , {1} , {2 , 3 , 4} , Ω}
({{2} , {3}}) = {∅ , {2} ,{3} , {2 , 3} , {1 , 4} , {1 , 3 , 4} , {1 , 2 , 4} , Ω}
σ ({{2, 4} , {1, 2,3}}) = {∅ , {2} , {4} , {2 , 4} , {1 , 3} , {1 , 3 , 4} , {1 , 2 , 3} , Ω}
σ

2006年度・情報数学（後藤）

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