Dr. M. J. Sauer SS 2015 Algebraische Strukturen Übungsblatt 1 Abgabe: 17.04.15, 10:00 Uhr, Briefkasten XXX (Fliednerstraße) Aufgabe 1 (Verknüpfungsgebilde) Prüfen Sie, in welchen der folgenden Fälle ( G, ) ein Verknüpfungsgebilde ist! Hinweis: Bei (a) und (b) bitte eine präzise Begründung geben; bei (c) und (d) bitte die Verknüpfungstafel angeben. (a) { G = x ∈ ℕ 1 11 x 1 ( a + b ) für alle a, b ∈ G 11 1 (a.2) Verknüpfung: a b = ( a ⋅ b ) für alle a, b ∈ G 11 G = {1,… ,1000} (a.1) (b) } Verknüpfung: a b = Verknüpfung: a b = 456 für alle a, b ∈ G . (c) G = {1,33} Verknüpfung: a b = a b für alle a, b ∈ G . (d) { }  4  4  Seien folgende Mengen gegeben: A = ∅ , B = 1,  , C = 1, 3 , D = 1, , 3  .  7  7  Sei G = { A, B, C , D} , also die Menge der Mengen A, B, C , D . (d.1) (d.2) Verknüpfung: a b = a ∩ b für alle a, b ∈ G Verknüpfung: a b = a ∪ b für alle a, b ∈ G Aufgabe 2 (Euklidischer Raum) Zeigen Sie durch Überprüfung aller erforderlichen Eigenschaften, dass ( ℝ n , + ) eine kommutative Gruppe ist! Aufgabe 3 (Restklassenmengen) Sei R7 die Menge der Restklassem modulo 7. (a) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln für ( R7 , + ) auf. Prüfen Sie, ob ( R7 , + ) eine kommutative Gruppe ist. (b) ( {} ) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln für R7 − 0 , ⋅ auf. ( {} ) Prüfen Sie, ob R7 − 0 , ⋅ eine kommutative Gruppe ist. Hinweis: Zum Nachweis der Gültigkeit des Assoziativgesetzes soll in dieser Aufgabe die Angabe eines Beispiels genügen! Aufgabe 4 (Deckabbildungsgruppe des gleichseitigen Dreiecks) Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck. c Seien s1 , s2 , s3 die Spiegelungen an den Symmetrieachsen a, b, c ; seien d 0 , d120 , d 240 die Drehungen um den Symmetriepunkt mit den Winkeln 0° bzw. 120° bzw. 240°. b a Wir betrachten die Menge DECK ( 3) aller Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks, also DECK ( 3) = {d 0 , d120 , d 240 , s1 , s2 , s3 } . (a) (b) Stellen Sie die Verknüpfungstafel für DECK ( 3) bezüglich der Verknüpfung Zeigen Sie, dass DECK ( 3) zusammen mit der Verknüpfung kommutative Gruppe ist. auf! eine nicht- Allgemeiner Hinweis: Sei n ∈ ℕ, n ≥ 3 . Die Menge der Deckabbildungen eines regelmäßiges n -Ecks bezeichnen wir mit DECK ( n ) . Es gilt generell, dass ( DECK ( n ) , Diese Gruppe ( DECK ( n ) , zeichnet. ) zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe ist. ) wird auch Diedergruppe genannt und oft kurz mit ( D , ) ben