脳活動推定のための一般線形モデル 小淵 将吾 廣安 知之 山本 詩子 2015 年 01 月 06 日 IS Report No. 2015010601 Report Medical Information System Laboratory Abstract 脳機能イメージング装置を用いた脳活動推定において，一般線形モデルが広く用いられている．本稿 では，一般線形モデルを含む統計モデルの概略を説明した後に，機能的核磁気共鳴法の脳活動推定で 一般的に用いられている Statistical Parametric Mapping における解析の手順とともに一般線形モデ ルについてを記述する． キーワード: 一般線形モデル, SPM, fMRI 目次 第 1 章 序論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第 2 章 統計モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 第 3 章 一般線形モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第 4 章 Statistical Parametric Mapping における脳活動推定 . . . . . . . . . . . 5 4.1 一般線形モデルによる fMRI データのモデル化 . . . . . . . . . . . . . 5 4.2 統計的推論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第 1 章 序論 自然現象は非常に複雑である．そのため，自然現象を理解し記述するにはまず統計的手法をもって重 要因子を抽出することが必要である．これを統計解析とよび，現在の生態学において王道的な解析方 法となっている．統計解析では，真の分布（確率分布）から観測されたデータに対してモデリングを 行い，統計モデルをたてることによってデータの説明をする． この統計解析は生体情報にも広く応用されている．特に fMRI のデータ処理において脳活動を推定 するために，統計モデルの一手法として一般線形モデルが用いられている．本稿では，統計モデルに ついて説明したのちに，一般線形モデル，そして fMRI データ処理における脳活動推定の流れを記述 する． 2 第 2 章 統計モデル 統計モデルはばらつきや誤差を含むデータの背後にある規則性，そしてデータを発生させる仕組みを 数式で表したものである．この統計モデルの数式を用いて観測誤差を含む観測データから背後にあ る現象を分析・予測する．そしてランダムでない観測値として扱われる説明変数（独立変数：x）に よって，被説明変数（従属変数：y ）とみなす測定値を説明する．統計モデル作成のプロセスを以下 に示す． 1. 被説明変数の主な特徴を記述 2. 尤もらしい関係式と確率分布を特定 3. モデルで用いられるパラメータを推定 4. モデルが現実のデータにどれくらい適合しているかを検討 パラメータを推定したのちに，現実のデータにどれくらい適合しているかを検討するため統計学的 検定を行う．モデルの検討では，帰無仮説と対立仮説を明確にし，検定統計量を計算，そして比較す ることが重要である． 3 第 3 章 一般線形モデル 一般線形モデル（General Linear Model: GLM）とは，統計モデルをたてて統計解析を行う一手法 で，説明変数（X）と被説明変数（Y ）の間の関係を線形式 3.1 で表現するモデルである． Y = Xβ + (3.1) Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + · · · + +βp Xp + (3.2) β は回帰係数， は誤差である．式 3.1 より一般線形モデルは回帰分析（= 線形モデル）の拡張で あるといえる．したがって，被説明変数の測定値と被説明変数の推定値の差の 2 乗平均を最小にする 最小自乗法を用いて，回帰係数（β ）を求めることが目的となる．回帰係数（β ）を求めることで，説 明変数から被説明変数の推定が可能となる． 一般線形モデルは基本的にすべてのパラメータが正規分布に従うことを仮定している．そのため， 従属変数（Y ）などが正規分布に従わない場合は一般線形モデルは使用すべきではない． 4 第 4 章 Statistical Parametric Mapping における脳活動推定 fMRI データの処理は Statistical Parametric Mapping (SPM) 1) を用いて多く行われている．した がって本稿では SPM の処理について述べる．SPM における脳活動推定の手順を以下に示す． 1. 位置補正（realignment） 計測中の体動による雑音の除去． 2. 標準化（normalization） 複数の被験者の同じ座標のボクセルを対応させるため，各被験者のデータを標準脳に合わせて， 大きさと形を同じにする． 3. 平滑化（smoothing） 雑音の多い fMRI データにガウスフィルターを適用する． 4. 一般線形モデル（GLM） 各ボクセルごとに回帰分析などの統計的処理を行うために，fMRI の時系列データをモデル化 する． 5. 統計的推論（statistical inference） 各ボクセルごとに統計的検定をおこなう． 本章では，時系列データをモデル化する一般線形モデルと統計的推論について記述する． 4.1 一般線形モデルによる fMRI データのモデル化 SPM において，一般線形モデルは脳活動を推定するために用いられる．賦活領域を検出するには， ボクセルごとに実験課題を行っているとき（タスク）と行っていないとき（レスト）の fMRI 出力の 差をとることが最も簡単である 2) ．しかし，これだけでは雑音等の影響により，正しく賦活部位を 検出することは困難である．SPM では，賦活を推定するためのモデルを仮定し，fMRI データからそ のモデルの回帰係数をボクセル毎に推定する．そのモデルが一般線形モデルである． fMRI の場合には，式 3.1 における Y は fMRI データであり，X は計画行列（実験課題の ON/OFF）， β は回帰係数， は誤差（モデルでは説明できないゆらぎ）である．一般にブロックデザインは，何 種類かのタスクブロックとその合間のレストから構成される．そして，1 種類のタスクブロックは 1 つの条件（説明変数）に対応する．つまり，計画行列（X）はタスクの種類だけ実験課題の ON/OFF が存在するため，回帰係数の数はタスクの数と同じになる．レストは一般に計画行列には入れ込まな い方がよいとされている．理由としては，レストはコントロールが難しく，ノイズが多いからである 3) ．仮定として， は正規分布に従い，平均は 0 で分散は σ 2 である．さらに，どんな 2 つの誤差も無 相関である．これは通常 ∼ N (0, σ 2 I) と記述される．N は多変量正規分布で I は単位行列である． 5 4.2 統計的推論 第 4 章 Statistical Parametric Mapping における脳活動推定 実験課題の ON/OFF のみによる計画行列は矩形的な変化を示すことになるが，実際に計測される BOLD 信号の時間波形はこの限りではない．そこで SPM では，基底関数を脳から出力される基本的な 反応波形としてモデル化している．動物実験などから，脳から計測される BOLD 信号が時間的にどの ような変化を示すのかが明らかにされてるため，SPM では，この反応波形を参考にし，Hemodynamic Response Function (HRF) とよばれる関数を基底関数として用いている．HRF は，BOLD 信号の 時間的変化を特徴として，刺激提示後 4∼6 秒でピークを形成し，20∼30 秒でベースラインに戻ると いうような変化を示す．この HRF を脳から出力されるインパルス応答と考えることにより，刺激に よってどのような反応が脳から出力されているかが計算できる．実際は HRF と計画行列（実験課題 の ON/OFF）との畳み込み積分により，タスクによる脳からの出力反応波形を計算する． ˆ ）と ˆ = Xβ 脳活動推定のため，実際に観察された fMRI データと誤差のない推定されるデータ（Y の差が最小となるように線形式の回帰係数（β ）を求め，統計的検定を行う．回帰係数（β ）は最尤 推定法を用いて次のように推定する． ˆ = (X0 X)−1 X0 Y β 4.2 (4.1) 統計的推論 一般線形モデルにデータをモデル化した後に，脳活動推定のため，一般線形モデルによって求めら れた回帰係数（β ）に対して仮説検定を行う 4) ．仮説検定とは，ある仮説が正しいといってよいかを 統計学的に判断するものである．仮説が正しいと仮定した上で，それに従う母集団から実際に観察さ れた標本が抽出される確率を求めて，その値により判断を行う．その確率が十分に小ければ仮説は成 り立たないと判断できる． 例えば一つの実験においてタスクが 4 種類ある場合，つまり回帰係数（β ）が 4 つあり，[β0 β1 β2 β3 ] と示される場合において，β0 が 0（ベースライン）と異なることを示したい場合では，帰無仮説 （H0 ）はβ0 = 0，コントラスト（c）は c = [1 0 0 0] とし，cβ = β0 となる．また β2 と β3 が異なる ことを示したい場合，帰無仮説（H0 ）はβ2 = β3 となる．つまり，H0 はβ2 − β3 = 0 となりコントラ スト（c）は c = [0 1 − 1 0] となる．どちらの場合においても，帰無仮説（H0 ）はcβ = 0となる． ˆ の分布は知っておかなければならない．cβ ˆ このような帰無仮説において仮説検定を行う場合，cβ ˆ ∼ N (0, c(X0 X)−1 c0 σ 2 ) と表せる．推定さ の平均は cβ で分散は c(X0 X)−1 c0 σ 2 であることから，cβ れるエラーの分散をeはβ を算出した際の残差， Tはデータ数， p+1は回帰係数の数，つまりT-(p+1)は 自由度として以下に示す． σˆ2 = e0 e T − (p + 1) (4.2) 帰無仮説を t 統計量で評価する場合，t 統計量は β を β の標準誤差で除算したものとなる．つまり 以下のようになる． t= √ ˆ cβ (4.3) c(X0 X)−1 c0 σˆ2 この t 統計量を用いて仮説検定を行い，帰無仮説が棄却されれば，脳活動が生じたと推定される． 6 参考文献 1) William D. Penny, Karl J. Friston, John T. Ashburner, Stefan J. Kiebel, and Thomas E. Nichols. Statistical Parametric Mapping: The Analysis of Functional Brain Images. Academic Press, 1 edition, 2011. 2) 月本洋, 菊池吉晃, 妹尾淳史, 案保雅博, 渡邉修, 米本恭三. 脳機能画像解析入門 CD-ROM 付 – SPM で fMRI，拡散テンソルを使いこなす. 医歯薬出版株式会社, 第 1 版, 2007. 3) 菊池吉晃, 妹尾淳史, 案保雅博, 渡邉修, 米本恭三. SPM8 脳画像解析マニュアル – fMRI，拡散テ ンソルへの応用. 医歯薬出版株式会社, 第 1 版, 2012. 4) Russell A. Poldrack, Jeanette A. Mumford, and Thomas E. Nichols. Handbook of Functional MRI Data Analysis. Cambridge University Press, 1 edition, 2011. 7
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