ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... . . 卒研説明会 (小池研究室) 2014 年 1 月 25 日ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... 目次 . ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等 2. ゼミで研究する内容 1 . 平均曲率流・リッチ流の研究へと · · · (リッチ流は 3 次元ポアンカレ予想の証明に用いられた) 3 ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... 1. ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等 . ゼミを行う曜日および時間帯 . 金曜日１４：３０∼１７：３０ . . 教科書 . . 幾何学的変分問題 (西川青季著, 岩波書店) 第 1,2 章曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式第3章写像のエネルギーと第 1,2 変分公式第4章熱流の方法による (自由ホモトピー類内での) 調和写像の存在性証明ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等ゼミを行う曜日および時間帯 & 使用する教科書等 . ゼミの進め方 . 毎週、1 人か 2 人の方に発表をしてもらいます。前後期、各々、2 度、簡単な試験 (30 分程度) を行います。 . ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... 2. ゼミで研究する内容ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 Ωp.s. (M ; p, q) : リーマン多様体 (M, g) 上の点 p から q への区分的に C ∞ 級の ([0, 1] を定義域とする) 曲線の全体 . 定義 . L : Ωp.s. (M ; p, q) → R ∫ 1√ ⇐⇒ L(c) := g(c0 (t), c0 (t))dt (c ∈ Ωp.s. (M ; p, q)) def . 0 E : Ωp.s. (M ; p, q) → R ∫ 1 ⇐⇒ E(c) := g(c0 (t), c0 (t))dt (c ∈ Ωp.s. (M ; p, q)) def 0 ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 c ∈ Ωp.s. (M ; p, q) を固定する。 cs (−ε < s < ε) : c0 = c となる Ωp.s. (M ; p, q) 上の C ∞ 級の曲線ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 R cε/2 V p (M, g) c c−ε/2 q E のグラフ E(c) V c cs Ωp.s. (M ; p, q) ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 c が滑らかであるとする。 . L の第 1 変分公式 . ∫ 1 dL(cs ) 1 dLc (V ) = =− g((∇c0 c0 )t , Vt )dt ds s=0 L(c0 ) 0 ( ) dcs V := ds s=0 . . E の第 1 変分公式 . ∫ 1 dE(cs ) dEc (V ) = =− g((∇c0 c0 )t , Vt )dt ds 0 ( s=0 ) dcs V := ds s=0 . ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式注意 Ωp.s. (M ; p, q) : 無限次元フレシェ多様体 E : Ωp.s. (M ; p, q) −→ R dEc : Tc Ωp.s. (M ; p, q) −→ TE(c) R = R ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 . 定義 . c : L の臨界点 ⇐⇒ def dL(cs ) ds = 0 (∀cs s.t. c0 = c) s=0 dE(cs ) c : E の臨界点 ⇐⇒ = 0 (∀cs s.t. c0 = c) def ds s=0 . . 定理 . c : L の臨界点 ⇐⇒ . c : E の臨界点 ⇐⇒ ∇c0 c0 = 0 (c : 測地線) ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容 R E のグラフ ∞ 次元有限次元 (r) c1 c2 c3 Ωp.s. (M ; p, q) c1 , c2 , c3 : E の臨界点 (つまり、測地線) r は臨界点 c2 の指数とよばれる。臨界点 c1 , c2 の指数は 0 である。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 c が測地線であるとする。 . E の第 2 変分公式 . . d2 E(cs ) (∇dE)c (V, V ) = ds2 s=0 ) ∫ 1 ( 2 D V =− g + R(V, c0 )c0 , V dt dt2 0 ( ) dcs V := ds s=0 (R : (M, g) の曲率テンソル場) ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容曲線のエネルギーと第 1,2 変分公式 Xc (M ) : c に沿うベクトル場の全体 Jc : Xc (M ) → Xc (M ) D2 V ⇐⇒ Jc (V ) := + R(V, c0 )c0 (V ∈ Xc (M )) def dt2 この作用素 Jc は、測地線 c におけるヤコビ作用素とよばれる。 Jc を調べることにより、E の臨界点 c における指数を調べることができる。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 (M, g) : コンパクトリーマン多様体 (N, ge) : リーマン多様体 C ∞ (M, N ) : M から N への C ∞ 写像の全体 (これは、無限次元フレシェ多様体) . 定義 . E : C ∞ (M, N )∫ → R ⇐⇒ E(f ) := . def p∈M ||dfp ||2gp ,egf (p) dvg (f ∈ C ∞ (M, N )) ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 f ∈ C ∞ (M, N ) を固定する。 fs (−ε < s < ε) : f0 = f となる C ∞ (M, N ) 上の C ∞ 級の曲線ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 f が滑らかであるとする。 . E の第 1 変分公式 . dE(fs ) dEf (V ) = ds . ∫ =− s=0 g(τ (f ), V )dVg ) dfs V := ds s=0 M ( 注意 τ (f ) は、τ (f ) := 4g f によって定義される f に沿うベクトル場で、f のテンション場とよばれるものである。特に、f が等長はめ込みのとき、f の平均曲率ベクトル場と一致する。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式注意 E : C ∞ (M, N ) −→ R dEf : Tf C ∞ (M, N ) −→ TE(f ) R = R ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 . 定理 . . f : E の臨界点 ⇐⇒ τ (f ) = 0 (つまり、f : 調和写像) ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 f が調和写像であるとする。 . E の第 2 変分公式 . . d2 E(fs ) (∇dE)f (V, V ) = ds2 s=0 ∫ ( ) e =− g 4g V + Trg R(V, df )df , V dvg M ( ) dfs V := ds s=0 e : (N, ge) の曲率テンソル場) (R ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容写像のエネルギーと第 1,2 変分公式 Xf (M, N ) : f に沿うベクトル場の全体 Jf : Xf (M, N ) → Xf (M, N ) e ⇐⇒ Jf (V ) := 4g V + Trg R(V, df )df (V ∈ Xf (M, N )) def この作用素 Jf は、調和写像 f におけるヤコビ作用素とよばれる。 Jf を調べることにより、E の臨界点 f における指数を調べることができる。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容熱流の方法による自由ホモトピー類内での調和写像の存在性証明 . 定理 (Eells-Sampson) . (M, g) をコンパクトリーマン多様体，(N, ge) を非正曲率をもつリーマン多様体とする。このとき、各 f ∈ C ∞ (M, N ) に対し、 f . と自由ホモトープな調和写像が存在する。証明方法無限次元多様体上のモース理論を参考に、熱流の方法 (heat flow method) とよばれる方法を用いて示される。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容   ∂fs = τ (fs )(= 4g fs ) ∂s  f =f 0 R f E τ (•) = −(grad E)• s 7→ fs C ∞ (M, N ) f∞ ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容熱流の方法による自由ホモトピー類内での調和写像の存在性証明 f∞ (i) f (N, ge) (M, g) (N, ge) (ii) (M, g) f = f∞ ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容熱流の方法による自由ホモトピー類内での調和写像の存在性証明熱方程式 ∂ft = 4g ft ∂t は、非線形放物型偏微分方程式であり、任意の滑らかな初期データに対し、短時間における解の一意存在性が示される。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容平均曲率流大学院進学希望者のために、発展的内容について紹介します。 M : m 次元コンパクト多様体 (N, ge) : n(> m) 次元リーマン多様体 Imm∞ (M, N ) : M から N への C ∞ はめ込みの全体 ft (0 ≤ t < T ) : Imm∞ (M, N ) 上の C ∞ 級の曲線 (1) ∂ft ∂t = Ht (Ht : ft の平均曲率ベクトル場) が成り立つとき、 ft (0 ≤ t < T ) を平均曲率流とよぶ。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容平均曲率流注意 (N, ge) がユークリッド空間のとき、Ht = 4gt ft (gt := ft∗ ge) となり、それゆえ、(1) は、 ∂ft ∂t = 4gt ft となる。これは、非線形放物型偏微分方程式であり、任意の滑らかな初期データに対し、短時間における解の一意存在性が示される。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容リッチ流 M : コンパクト多様体 RM∞ (M ) : M の C ∞ リーマン計量の全体 gt (0 ≤ t < T ) : RM∞ (M ) 上の C ∞ 級の曲線 (2) ∂gt ∂t = Rict (Rict : gt のリッチテンソル) が成り立つとき、gt (0 ≤ t < T ) をリッチ流とよぶ。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容リッチ流 3 次元ポアンカレ予想は、リッチ流を用いて次のように証明された。 Σ3 を 3 次元ホモトピー球面とする。 Σ3 のリーマン計量 g を任意にとり、g0 = g となるリッチ流 gt を考える。 gt は、有限時間 (これを T とする) で爆発をしてしまう。爆発をする寸前に手術をする。そして、その手術をして得られるリーマン計量を g1 とする。ショートタイトル .. ショートタイトル ......................... ゼミで研究する内容リッチ流 g1 を発するリッチ流 (g1 )t を考える。 (g1 )t は、再び有限時間 (これを T1 とする) で爆発をしてしまう。爆発をする寸前に、再び手術をする。そして、その手術をして得られるリーマン計量を g2 とする。この操作を有限回繰り返すことにより、良いリーマン計量に到達する。 Σ3 がその良いリーマン計量を許容することから、3 次元球面 S 3 と同相であることが示される。