情報理論入門 解答例 2014.02.12 ■ 赤色，黄色，青色のボールがたくさんあり，これらのボールを使い，ボールを n （n ∈ N）個横一例に並 べる．このとき，赤色のボールが隣り合わない並べ方は何通りあるか調べよ． （解） ボールを n （n ∈ N）個横一例に並べるとき，赤色のボールが隣り合わない並べ方の場合の数を an とする．n = 1 のときには a1 = 3 であり，n = 2 のときには，赤色赤色の並びでなければ良いので， a2 = 3 · 3 − 1 = 8 である．(a) 左から 1 番目のボールが赤色のときには，左から 2 番目のボールは黄色また は青色でなければならない．左から 3 番目から n 番目までの並べ方については，ボールが (n − 2) 個の場合 の並べ方が使える．(b) 左から 1 番目のボールが黄色または青色のときには，左から 2 番目から n 番目まで の並べ方については，ボールが (n − 1) 個の場合の並べ方が使える．したがって， an = 1 · 2 · an−2 + 2 · an−1 = 2 an−2 + 2 an−1 , である．p = 1 − n = 3, 4, 5, · · · √ √ 3，q = 1 + 3 とおくと， an − p an−1 = q (an−1 − p an−2 ) , an − q an−1 = p (an−1 − q an−2 ) , n = 3, 4, 5, · · · と表されるので， an − p an−1 = q n−2 (a2 − p a1 ) , an − q an−1 = pn−2 (a2 − q a1 ) , n = 3, 4, 5, · · · が得られる．したがって，n ≥ 3 のとき √ )n−1 ( √ ) ( √ )n−1 ( √ ) ( 1+ 3 5+3 3 − 1− 3 5−3 3 q n−1 (a2 − p a1 ) − pn−1 (a2 − q a1 ) √ an = = q−p 2 3 である．n = 1 および n = 2 のときも上記の表現は妥当であるから，すべての自然数 n に対して一般項 an は上記で与えられる． 1
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