年 教材３－Ａ－（１）の解答 ① 組 名前 角の二等分線 『角の二等分線をかく』の解決のために ∠ＸＯＹの二等分線のかき方 点 Ｏ を中 心に 円を かき その円と辺ＯＸ、ＯＹと が交わるようにする。 辺ＯＸと辺ＯＹとの交点をＡ、 Ｂとし，その 交点Ａ、Ｂから そ れぞ れ中心 とす る円を か き、その交点をＰとする。 点Ｏと点Ｐを結ぶ。 それが∠ＸＯＹの二 等分線である。 たしかめよう （１）∠ＸＯＹの二等分線を作図しなさい。 （２）点Ｐから直線ℓに対する垂線を作図しなさい。 （３）線分ＡＢに対する垂直二等分線を作図しなさい。 1 年 教材３－Ｂ－（１）の解答 組 名前 対称移動 ② 『△ＡＢＣの対称移動』の解決のために ○ ○ 対称移動とは、図形を１つの直線を折り目として折り返す移動のこと。 直線ℓで折り返すと重なる。（例えば：紙相撲の人形） ○ ○ 平行移動とは、図形を一定方向に、一定距離だけ移動すること。 回転移動とは、図形を１つの点を中心に（角度）回転する移動のこと。 たしかめよう （１）下の図の四角形ＡＢＣＤを直線ℓを 対称の軸として対称移動した四角形 Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’をかきなさい。 （２）下の図の△ＡＢＣを点Ｏを中心として １８０°回転移動させた△Ａ’Ｂ’Ｃ’を かきなさい。 Ａ’ Ｄ’ Ｃ’ Ｂ’ 2 年 教材３－Ｃ－（１）の解答 ③ 組 名前 ねじれの位置など 『ねじれの位置』の解決のために Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｆ Ｅ 辺ＡＢと ○ 平行な辺は 辺ＤＥ ○ 垂直な辺は 辺ＡＤ 辺ＢＥ ○ねじれの位置とは、空間内の２本の辺が平行 でなく、かつ、交わっていない、２つの辺の 位置関係のこと。 辺ＤＦ 辺ＥＦ 辺ＣＦ たしかめよう （１）次の直方体について次の各問に答えなさい。 Ｄ Ｃ Ａ 辺と辺の関係（平行、垂直、 ねじれの位置）、を具体物を 使って確認しよう。 Ｂ Ｈ Ｅ Ｇ Ｆ ① 辺ＡＢと平行な辺をすべて答えなさい。 辺ＥＦ 辺ＤＣ 辺ＨＧ ② 辺ＡＢと垂直に交わる辺をすべて答えなさい。 辺ＡＤ 辺ＢＣ 辺ＡＥ 辺ＢＦ ③ 辺ＡＢとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。 辺ＤＨ 辺ＣＧ 辺ＥＨ 辺ＦＧ 3 年 教材３－Ｃ－（２）の解答 ③ 組 名前 ねじれの位置 『ねじれの位置』の解決のために この展開図を組み立てる ○ねじれの位置とは、空間内にある２つの直線が平行でなく、しかも交わらない位置関係にある こと。 よって、この場合辺ＡＤとねじれの位置にある辺は、 辺ＣＧ、辺ＥＩ、辺ＢＣ、辺ＭＮのどれでしょうか。 辺 ＣＧ 次の直方体について次の各問に答えなさい。 Ｄ Ｃ Ａ 辺と辺の関係（平行、垂直、 ねじれの位置）、を具体物を 使って確認しよう。 Ｂ Ｈ Ｅ ① Ｆ 辺ＡＢと平行な辺をすべて答えなさい。 辺ＥＦ ② 辺ＤＣ 辺ＨＧ 辺ＡＢと垂直に交わる辺をすべて答えなさい。 辺ＡＤ ③ Ｇ 辺ＢＣ 辺ＡＥ 辺ＢＦ 辺ＡＢとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。 辺ＤＨ 辺ＣＧ 辺ＥＨ 4 辺ＦＧ 年 教材３―Ｃ－（３）の解答 ③ 組 名前 ねじれの位置など 『ねじれの位置』の解決のために 「ねじれの位置」とは、空間内で平行でなく交わっていない、２つの辺の位置関係のことである。 図の三角柱において Ｃ Ｂ 辺ＡＢと ○ 平行な辺は 辺ＤＥ Ａ Ｆ 辺ＡＣ、辺ＢＣ、辺ＡＤ 辺ＢＥ ○ 交わる辺は ○ したがって、ねじれの位置にある辺は Ｅ Ｄ 辺ＣＦ、辺ＤＦ、辺ＥＦ たしかめよう 右の三角柱について次の各問に答えなさい。 Ａ Ｂ ①辺ＡＢと平行な辺をすべて答えなさい。 辺ＣＤ、辺ＥＦ ②辺ＡＢと交わる辺をすべて答えなさい。 Ｃ Ｅ 辺ＡＥ、辺ＡＣ、辺ＢＦ、辺ＢＤ ③辺ＡＢとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。 辺ＣＥ、辺ＤＦ 5 Ｄ Ｆ 年 教材３－Ｄ－（１）の解答 ④ 組 名前 円すいの底面積、体積 『底面積、体積』の解決のために 円すいの底面積を求めるには、円の面積を求めればよい。 × 半径 円の面積の公式＝ 半径 ただし 、 円周率 × 円周率 π は 3.14 を使うのではなく 高さ 円すいの体積の公式＝ 底面積 × を使う。 １ ３ × 高さ ５cm ４cm 母線 ６cm 直径 半径＝ 上の公式を使って（円すいの底面積）＝（円の面積）＝ （円すいの体積）＝ ９π×４× １ ＝12π ３ 直径 ÷２ ３×３×π＝９π ｃｍ２ ｃｍ3 たしかめよう （１）次の円すいは、底面の半径が４㎝、高さが３㎝です。次の各問に答えなさい。 ５㎝ 円柱の体積の公 式は底面積×高 さです。 ３㎝ ４㎝ ① 底面積を求めなさい。 円すいの体積の 16π ｃｍ２ ４×４×π ＝16π 公式は １ ３ をわす れないように注意 しましょう 6 年 ② 組 名前 体積を求めなさい。 16π×３× １ ３ ＝16π 16π ｃｍ３ （２）下の立体は、底面の半径が３㎝、高さが４㎝の円すいです。①～③の各問に答えなさい。 ５㎝ ４㎝ ３㎝ ① 弧の長さとおうぎ 形から求められる 円すいの側面積の中心角を求めなさい。 ２×３×π＝６π（弧の長さ） ２×５×π× ② 中心角 ＝6π 360 216° 中心角＝216 円すいの展開図として最も適当な図をア～ウの中から一つ選びなさい。 ア イ ウ ア ③ 円すいの表面積を求めなさい。 ５×５×π× 216 ＋３×３×π＝24π 360 24π ｃｍ２ 7 年 教材３－Ｅ－（１）の解答 組 名前 とうえいず 投影図 ⑤『投影図』の解決のために （ 立 面 図 ） （ 平 ○ 立面図は 正面 から見た図で ○ 平面図は 真上 から見た図で 二等辺三角形 長方形 ○ この投影図は、直方体、三角すい、三角柱、四角すい のどれでしょうか。 面 図 ） 」 四角すい たしかめよう 次の投影図で示された立体の名称は、直方体、三角すい、三角柱、円すい、球のうち、どれ でしょうか。 ① 三角柱 ② ③ 直方体 8 球 年 教材３－Ｅ－（２）の解答 組 名前 とうえいず 投影図 ⑤『投影図』の解決のために （ 立 ○ 立面図は 正面 から見た図で 二等辺三角形 面 図 ） ○ 平面図は 真上 から見た図で ○ この投影図は、直方体、三角すい、三角柱、 四角すいのどれでしょうか。 三角すい （ 平 面 図 ） たしかめよう めいしょう 次の投影図で示された立体の 名 称 を書きなさい。 ① 名称 ② 円すい 三角柱 9 三角形 年 教材３―Ｅ－（３）の解答 組 名前 投影図 ③ 『投影図』の解決のために 立体を、正面から見た図と真上から見た図の２つを組み合わせて表すことがあり、 そのような図を投影図という。 （ 立 ○ 立面図は 正面 から見た図。 面 図 ） （ 平 ○ 平面図は 真上 から見た図。 この立体は、正面からは二等辺三角形、 真上からは対角線の入った長方形に見える ので、 面 図 ） 四角すい 右の正三角柱は、正面からは中央に縦の線が入った 正三角形 正三角形 長方形 、真上からは 長方形 ので、投影図は ① とわかる。 【図】 に見える となる。 正面 【投影図】 ① ② ③ 10 ④ 年 組 名前 たしかめよう 次の投影図で示された立体は何でしょうか。考えられる立体の名称をすべて答えなさい。 ① ② ③ 名称 三角柱 四角柱，正四角柱 三角柱，正三角柱 円柱 11 球 年 教材３-Ｆの解答 ⑥ 組 名前 垂直二等分線 『線分ＡＢの垂直二等分線を作図しなさい。』の解決のために 垂直二等分線のかき方 ＡＢの長さにコンパ スを開き、Ａを中心 に半円をかく。 同じ長さに開いたコン パスを用いて、Ｂを中 心に半円をかく。 たしかめよう ① 点Ｐから直線ℓに対する垂線を作図しなさい。 ② 線分ＡＢに対する垂直二等分線を作図しなさい。 12 ２つの半円の交点を結 んだ線が、線分ＡＢの 垂直二等分線です。 年 教材３-Ｇの解答 組 名前 回転移動 ⑦『△ＡＢＣの回転移動』の解決のために ○ 回転移動とは、図形を１つの点を中心として一定の角度だけ回転させる移動のこと。 きょり →図形の各点を同じ角度だけ回転させるから、対応する点は中心からの距離が等しくなる。 ○ ○ たいしょう 対 称 移動とは、図形を１つの直線を折り目として折り返す移動のこと。 平行移動とは、図形を一定方向に、一定距離だけ移動すること。 たしかめよう ① 下の図の△ＡＢＣを点Ｏを中心として１８０°回転移動させた△ＤＥＦをかきなさい。 13 年 組 名前 教材３-Ｈ-(１)の解答円柱の底面積、体積、円柱の体積と円すいの体積の関係 ④ 『底面積、体積』の解決のために １２cm ○ ・ この円柱の底面の形は円形なので、 円の面積を求める公式は、 ８cm 円の面積＝ 半径 × 半径 × 円周率 じこう ※何も注意事項がないときは、円周率はπを用います。 よって、この円柱の底面積は ６ × ６ × π ＝ ｃｍ２ 36π ○ 円柱の体積を求める公式は、 円柱の体積＝ 底面積 × よって、この円柱の体積は ○ 高さ 36π (a) × ８ ＝ ｃｍ３ 288π この円すいの体積を求める公式は、 １０cm ８cm 円すいの体積＝ 底面積 × 高さ × １ ３ １２cm よって、この円すいの体積は ６×６×π×８× １ ＝96π ｃｍ３ ３ ここで上記の(a)と(b)の式を見比べると、円すい（角すい）の体積は、 １ それぞれ底面積が等しく高さも等しい円柱（角柱）の である ３ ことがわかる。 なので、上の円柱の体積は，上の円すいの体積の 14 ３ 倍である。 (b) 年 組 名前 たしかめよう ① 下の円柱は、底面の直径が６㎝、高さが９㎝です。このとき、この円柱の底面積、側 面積、体積をそれぞれ求めなさい。 ・ 上記のことから、底面積は ３×３×π＝９π ｃｍ２ 側面積は ９×６π＝54π ｃｍ２ 体積は ９π×９＝81π ｃｍ３ ② 下の円すいは、底面の直径が９cm、高さが６cm です。この円すいの体積を求めなさ い。 １ 体積は ３×３×π×６× ＝18π ３ 15 ｃｍ３ 年 教材３―Ｈ－（２）の解答 ④ 組 名前 円柱・円すいの表面積、体積 『円柱・円すいの表面積、体積』の解決のために 立体の表面積を求めるには、その立体の 展開図 を考えるとよい。 底面の円の直径が６ｃｍ、高さが４ｃｍの円柱の場合、展開図は 底面の円の 周の長さと等しい 底面 円柱の高さ と等しい ６π ｃｍ 側面 ４ｃｍ 半径 ３ ｃｍ よって、表面積は 側面積 ※ ＋ ＝ ６π×４ ＝ ４２π 円周率 底面積 ＋ は 3.14 ではなく π ×２ ３×３×π ×２ を用いる。 １ 円すいの体積の公式は 底面積 × 高さ × ３ である。 各部分は ５cm 母線 ４cm 高さ 底面の 直径 ６cm 16 半径＝ 直径 ÷２ 年 よって、（円すいの体積）＝ 組 名前 底面の円の面積 １ × 高さ × ３ ３×３×π×４× ＝ ＝ １ ３ １２π チャレンジ （１）アの円柱の体積が３６０πｃｍ３であるとき、次の各問いに答えなさい。 ア イ ６ｃｍ 高さ ㎝ ６ｃｍ 底面が合同で高さが等しいので、 円すいの体積は円柱の １ ① イの円すいの体積を求めなさい。 ３６０π× １ ＝１２０π ３ ３ １２０π㎝３ ② アの円柱の高さを求めなさい。 ３６０π÷（６×６×π）＝１０ ③ 高さは１０㎝ アの円柱の側面積を求めなさい。 側面は、縦１０，横１２πの長方形である。 よって、 １０×１２π＝１２０π 17 側面積は１２０π㎝２ 年 教材３－Ｉ－（１）の解答 ① 組 名前 直線の垂線 調査問題『点Ｐを通る直線ｌの垂線の作図』の解決のために 『直線ℓ上にない点Ｐを通る、直線ℓの垂線』の作図には２通りの方法がある。 【作図方法１】 点 Ｐ を中 心に 円を かき その円と直線ℓとの交点 を そ れぞ れＡ ，Ｂ とす る。 点Ａ，Ｂを中心とする等し い半径の円をかき，その交 点をＣとする。 A 点Ｃと点Ｐを結ぶ。それ が点Ｐを通る直線ℓの垂 線である。 A A P P P ・ ・ ・ C C B B B ℓ ℓ ℓ 【作図方法２】 直線ℓ上に適当な点Ａを とり、点Ａを中心に点Ｐ を通る円をかく。 直線ℓ上に、点Ａとは異な る点Ｂをとり、先ほどと同 様に点Ｂを中心に点Ｐを 通る円をかく。 ２つの円の交点のうち、 点Ｐでない方をＣとし、 点Ｐと結ぶ。それが点Ｐ を通る直線ℓの垂線であ る。 A A P A P P ・ ・ ℓ ・ ・ B ・C B ℓ 18 B ℓ 年 組 名前 たしかめよう （１）次の①，②について、点Ｐを通る直線ℓの垂線を作図しなさい。 ① ・ または ・ ・ ・ ② ・ （２）下の円Ｏの周上の点Ａにおける、円の接線を作図しなさい。 ・ ・ 19 年 組 名前 教材３―Ｊ－（１）の解答 平行移動 ② 『図形の平行移動』の解決のために 「図形の移動」には、次の３種類がある。 平行 ○ 移動とは、図形を一定の方向に、一定の距離だけ移動すること。 移動させる方向と距離は、矢印で示されることが多い。 ○ 対称 移動とは、図形を１つの直線を折り目として折り返す移動のこと。 ○ 回転 移動とは、図形を１つの点を中心に一定の角度だけ回転する移動の こと。 例えば、下の図の△ＡＢＣを、矢印ＡＤの方向に矢印の長さだけ平行移動すると、 △ＤＥＦになる。 Ｄ || A Ｅ Ｆ || B C || ３つの線分ＡＤ，ＢＥ，ＣＦが、３つとも 平行 で長さが 等しく なるように点Ｄ，Ｅ，Ｆの位置を決め三角形を作図していく。 コンパスと定規で作図することになるが、マス目がある場合にはそれを利用してかく ことができる。下の図形では、点ＡがＥの位置になるので、点ＢはＦの位置になる。 点Ｃ，Ｄについても同様に移動させればよい。 点Ｃは点Ｇに、 点Ｄは点Ｈに 移動する ・Ｈ ・Ｇ 20 年 組 名前 たしかめよう 下の△ＡＢＣを、頂点ＡがＰに移るように平行移動し、さらに直線ｌについて対称移動した △ＤＥＦをかきなさい。 ｌ P Ｄ ・ ・ A Ｒ Ｑ ・ ・ ・ Ｆ C B 点Ｂ、Ｃを平行移動した 点Ｑ、Ｒを考えてから、 対称移動しよう 21 ・Ｅ
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