LMSR-method による多変量非線形回帰とその応用島根大・総合理工学研究科内藤貫太島根大・総合理工学研究科清水祥太 LMSR-method は，Cole (1990, EJCN) や Cole and Green (1992, Statist.Med.) で議論された LMSmethod の多変量回帰への一般化であり，(x, y) の観測値であるデータ (x1 , y 1 ), ..., (xn , y n ) に適用される．ここで，xi ∈ R であり，y i = (yi1 , ..., yid )T ∈ Rd+ である．各共変量 xi において，パラメータ (Lj (xi ), Mj (xi ), Sj (xi )), i = 1, ..., n; j = 1, ..., d, Rkℓ (xi ), 1 ≤ k < ℓ ≤ d で制御される多変量べき変換を対応する y i , i = 1, ..., n に適用する．これらのパラメータには Nat- ural Cubic Spline (NCS) の構造を仮定し，まずは罰則付き尤度法を用いて (Lj (xi ), Mj (xi ), Sj (xi )) および Rkℓ (xi ) の推定量 ˆ j (xi ), M ˆ j (xi ), Sˆj (xi )), i = 1, ..., n; j = 1, ..., d, (L ˆ kℓ (xi ), 1 ≤ k < ℓ ≤ d R ˆ j (xi )), i = 1, ..., n に NCS 平滑化を適用し，成を得る．このようにして作られるデータ (xi , L ˆ ˆ j (x) が求められ，これらから d 次元空間における 1 次元曲線 L(x) 分ごとの滑らかな曲線 L = ˆ (x) = ˆ 1 (x), ..., L ˆ d (x)) が構築される．同様にして，d 次元空間における 2 つの 1 次元曲線 M (L ˆ ˆ 1 (x), ..., M ˆ d (x))，S(x) ˆ kℓ (x), 1 ≤ k < ℓ ≤ d も得られる． (M = (Sˆ1 (x), ..., Sˆd (x)) も得られ，曲線 R ˆ j (x) は多変量べき変換のべきパラメータであり，本質的には y の第 j 成分 yj の分布の歪度曲線 L ˆ j (x) であり，変動係数が Sˆj (x) となっている．更に，曲線 R ˆ kℓ (x) を示す．yj の分布のメジアンが M ˆ ˆ (x), S(x) ˆ ，R ˆ kℓ (x), 1 ≤ k < ℓ ≤ d は， yk と yℓ の相関となっている．得られた全ての曲線 L(x), M を用いて， (x, y) の多変量構造が説明される． ˆ (x) であり，多次元応答 y のトレンドを d 次元空間におこの方法の最も重要な利点は，曲線 M ける 1 次元曲線で捉えているものとなっている．これは生物の多次元的成長を見る際の，スタンダード曲線を得ることにも応用される． ˆ 2 つ目の利点として，多変量べき変換を施された y に正規性を仮定することで，曲線 L(x), ˆ (x), S(x), ˆ ˆ kℓ (x), 1 ≤ k < ℓ ≤ d で特徴付けられた分布を求めることができる．このことは， M R 新たに得られた d 次元のデータが正常値かどうかを，その分布の領域に入るか入らないかで判断するルールを提供する． ˆ kℓ (x), 1 ≤ k < ℓ ≤ d の利用である．これらの LMSR-method の 3 つ目の利点は，相関の曲線 R 相関曲線によって y の相関構造が x と共にどう変化するかがわかり，y の背後にある構造についてより深い洞察が可能となる．実データへの適用を通し，LMSR-method の有用性を紹介する． References 1. Cole,T.J.(1990). The LMS method for constructing normalized growth standards,European Journal of Clinical Nutrition,44,45-60. 2. Cole,T.J. and Green,P.J.(1992). Smoothing reference centile curves: the LMS method and penalized likelihood,Statistics in Medicine,11,1305-1319.