(SUR) モデルにおける最良共変推定量

相関係数が既知の見かけ上無関係な回帰 (SUR) モデルにおける最良共変推定量
東京大・教養倉田博史
慶應義塾大・理工松浦峻
本発表では，互いに相関を持つ p 個の重回帰式
yi = Xi βi + εi (i = 1, . . . , p) with E(εi ) = 0m , V(εi ) = σii Im and Cov(εi , εj ) = σij Im
（ここに，yi : m × 1, Xi : m × ki , rankXi = ki ）からなる見かけ上無関係な回帰（seemingly unrelated
regression, SUR）モデルにおける偏回帰係数ベクトルの最良共変推定量を導出する．このモデルは，n = mp,
∑p
k = i=1 ki と置くと，次のように表現出来る：
y = Xβ + ε with E(ε) = 0n , V(ε) = Σ ⊗ Im .
ここに，y = (y1′ , . . . , yp′ )′ : n × 1, X = diag{X1 , . . . , Xp } : n × k, Σ = (σij )（p × p 正値定符号）
である．観測値ベクトル y の分布は Rn 上のルベーグ測度に関して f (y|(β, Σ)) = |Σ ⊗ Im |−1/2 h((y −
ˆ (β, Σ)) =
Xβ)′ (Σ−1 ⊗ Im )(y − Xβ)) なる楕円対称な密度関数を持つものとする．損失関数は，L(β,
(βˆ − β)′ X ′ (Σ−1 ⊗ Im )X(βˆ − β) を用いる． √
本発表では，相関係数行列 Λ = (ρij ) : p × p（但し ρij = σij / σii σjj ）は既知とし，位置尺度変換群
G = G1 × . . . × Gp （但し，Gi = (0, ∞) × Rki ）の作用
yi → ai yi + Xi gi ; βi → ai βi + gi , σij → ai aj σij ((ai , gi ) ∈ Gi ; i, j = 1, . . . , p)
に関する β の最良共変推定量を導く．相関係数行列 Λ はこの作用に関する最大不変パラメータである．従っ
て，本発表は最大不変パラメータが既知のモデル（パラメータ空間が唯一つの G-軌道からなるモデル）の
下での共変推定問題と捉えることが出来る（基礎となる先行研究として Kariya, T. (1987, Ann. Statist.)）．
各重回帰式の残差ベクトル : [Im − Xi (Xi′ Xi )−1 Xi′ ]yi を ei : m × 1 とし，e = (e′1 , . . . , e′p )′ : n × 1 と置
ˆ
くと，G 共変推定量 β(y)
は，任意の関数 d : Rn → Rk を用いて，
ˆ
β(y)
= (X ′ X)−1 X ′ y + R(e)d(u), d : Rn → Rk
と書ける．ここに，R(e) = diag{∥e1 ∥Ik1 , . . . , ∥ep ∥Ikp } : k × k ，u = (e′1 /∥e1 ∥, . . . , e′p /∥ep ∥)′ : n × 1 とす
る．u は最大不変量である．以下，
H = X ′ (Λ−1 ⊗ Im )X, S = H(X ′ X)−1 X ′ [In − X(X ′ (Λ−1 ⊗ Im )X)−1 X ′ (Λ−1 ⊗ Im )]
と置き，最適な d(u) = d∗ (u) を求める．
定理 1. 最良共変推定量は
βˆ∗ (y) = (X ′ X)−1 X ′ y + R(e)d∗ (u), d∗ (u) = −D(u)−1 F (u)u
で与えられる．但し，D(u) = X ′ (Λ−1 ◦ T (u) ⊗ Im )X : k × k （ここに ◦ はアダマール積），
T (u) = (tij (u)) : p × p, tij (u) = E(β,Σ)=(0,Λ) [∥ei ∥∥ej ∥|u],
であり，F (u) = [tij (u)Sij ] : k × n と置く（Sij : ki × m は S の (i, j) ブロックである）．
（定理終）
全て無相関（Λ = Ip ）のときは，最良共変推定量は OLSE: (X ′ X)−1 X ′ y に一致する．また，重回帰式
が 2 個（p = 2）でかつ，y の分布が多変量正規分布 Nn (Xβ, Σ ⊗ Im ) のときは，T (u) の陽的表現が得ら
れる（定理 2，当日報告）．また，導出された最良共変推定量が不偏でかつ有限な 2 次モーメントを持つ一
般化最小 2 乗推定量であることも示される（定理 3，当日報告）．数値によるリスクの比較については当日
報告する．

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